litbook

Non-fiction


Эпизоды из жизни физика-теоретика. Главы из книги0

 

Эпизоды из жизни физика-теоретика
(окончание. Начало в №2/2013 и сл.)


ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ И ГЕОМЕТРИЯ [1]

В конце 70-х годов к электронной теории металлов уже не было приковано внимание Ильи Михайловича Лифшица. Теория неупорядоченных сред и теория биополимеров – вот чему он уделял главное внимание. Должен признаться, я даже несколько ревновал. Меня-то по-прежнему интересовала электронная теория металлов, особенно всё, что связано с геометрией ферми-поверхностей. Мне повезло: Илья Михайлович получил приглашение написать статью в сборник, который готовился в честь Дэвида Шёнберга (1911 – 2004) в связи с его уходом на пенсию. Илья Михайлович с уважением относился к многолетним и плодотворным исследованиям Дэвидом Шёнбергом эффекта де Гааза – ван Альфена. Теорию эффекта де Гааза – ван Альфена, свободную от модельных предположений об энергетическом спектре электронов проводимости и тем самым пригодную для восстановления формы поверхностей Ферми по осцилляционным явлениям, И. М. Лифшиц построил совместно с Арнольдом Марковичем Косевичем. Алик Косевич в те годы, когда создавалась теория эффекта де Гааза – ван Альфена, был аспирантом Ильи Михайловича. Дэвид Шёнберг очень ценил работу Лифшица и Косевича. Отказаться от участия в издании в честь Д. Шёнберга Илья Михайлович не мог и, насколько помню, не хотел. Илья Михайлович предложил мне быть его соавтором. Как всегда, совместная работа с Ильёй Михайловичем доставила мне большое удовольствие. Так родился Обзор. Наш обзор открывал сборник [2].

Илье Михайловичу иногда приходилось преодолевать себя, чтобы сосредоточиться на Обзоре. Однако, писался он так же, как всё, что мы писали вместе. Всё же, одно отличие было: у моего учителя-соавтора не возникло ни одной новой темы. Раньше так никогда не бывало. Для Ильи Михайловича геометризация электронной теории металлов уже была историей.

Обзор – последнее, что Илья Михайлович написал с моим участием. В Обзоре мы изложили наши представления о возникновении геометрического подхода в электронной теории металлов. Сознательно подчёркиваю, что речь идёт о нашем восприятии истории электронной теории металлов. Недаром статья в сборнике в честь Шёнберга имеет иронический эпиграф – цитату из пьесы Бернарда Шоу “Ученик дьявола”: “А что же скажет история? История, как всегда, соврёт”. Но мы, естественно, пытались писать правду – так, как её себе представляли.

В построении электронной теории металлов приняли участие замечательные физики-теоретики: Дебай, Зоммерфельд, Блох, Пайерлс… После работ 50-х годов И. М. Лифшиц приобрёл несомненное право стоять в их ряду.

Работами Ильи Михайловича и его учеников в 50-е – 60-е годы уже прошлого века электронная теория металлов приобрела новый облик, в ней возник геометрический язык. За прошедшие с того времени годы получено много ранее неизвестных сведений о металлах. Одной из важнейших характеристик металла стала поверхность Ферми, и было выяснено, что собой представляют поверхности Ферми практически всех металлов и многих интерметаллических соединений.

Так как поверхность Ферми – поверхность в трёхмерном пространстве, её можно себе представить. В словаре физики металлов появились термины, обязанные геометрическим образам. Приобрело конкретность представление о различии металлов, более того, оно приобрело наглядность, поверхности Ферми стали визитными карточками металлов. Геометрия ферми-поверхностей стала источником новых задач. Появился и утвердил себя новый раздел физики металлов – фермиология. Фермиология с её геометрическими образами стала разделом электронной теории металлов.

В Обзоре есть ссылки на те работы, автором или соавтором которых был Илья Михайлович. Однако академический стиль изложения нивелирует роль соавторов. Хочется уточнить и конкретизировать роль И. М. Лифшица.

Буквальным началом геометризации электронной теории металлов следует считать формулировку И. М. Лифшицем условия квантования площадей сечений поверхностей Ферми плоскостями, перпендикулярными магнитному полю (формула (7) Обзора). Условие Илья Михайлович вывел в 1950 году и в том же году доложил на сессии АН Украины в Киеве.

Вместе с крупным харьковским математиком – геометром Алексеем Васильевичем Погореловым Илья Михайлович показал, как по зависимости магнитного момента от магнитного поля можно восстановить форму поверхности Ферми металла и распределение скоростей на ней. Эту работу следует считать первой из большого числа работ, в которых основное место занимает восстановление энергетического спектра электронов проводимости металлов по данным эксперимента.

В 50-е годы большой интерес привлекало решение обратных задач, и этот тип задач очень интересовал Илью Михайловича. Часто к возможности постановки и решения обратных задач он возвращался в разговорах.

В год публикации работы с Погореловым, вышла из печати работа Лифшица “Об определении энергетического спектра бозе-системы по её теплоёмкости” [3]. Итак, приблизительно в одно время были сформулированы и решены две обратные задачи – для бозе- и для ферми-систем.

Фермиология довольно быстро завоёвывала свои позиции. Использование наглядных представлений и понятий, смысл которых абсолютно ясен: площади сечений, хорды, точки на поверхности Ферми – все термины легко усваивались и появлялись в работах по физике металлов. Не помню сколько-нибудь серьёзной критики. Правда, иногда приходилось выслушивать скептические замечания. Дескать, всё так просто, потому что используется одноэлектронное приближение, а “на самом-то деле” электронную теорию металлов надо строить, не пренебрегая взаимодействием электронов между собой. Иногда добавлялся совсем “сокрушительный” аргумент: без учёта электрон-фононного взаимодействия, "как хорошо известно", невозможно объяснить сверхпроводимость, а в этих работах, если и учитывается существование фононов, то только для того, чтобы объяснить температурную зависимость сопротивления [4].

До появления теории ферми-жидкости Ландау (первая публикация в 1956 году) работы, в которых делались попытки построить многоэлектронную теорию металлов, были так громоздки, что о рассмотрении с их помощью столь сложных эффектов, как, скажем, эффект де Гааза – ван Альфена, нечего было и думать. Теория ферми-жидкости была создана в те же годы. Думали ли мы, что необходимо перейти от рассмотрения свойств электронного газа к рассмотрению свойств ферми-жидкости? По-моему, нет. Конечно, я не могу утверждать, что никто из учеников Ильи Михайловича не думал об этом. Я – нет. И, насколько помню, на эту тему и разговоров в те годы не было. А вот что помню точно: на семинаре Ландау, на котором докладывалась теория гальваномагнитных явлений, о ферми-жидкости никто не говорил. Ни докладчик, ни Л. Д. Ландау. Нас (меня, по крайней мере) устраивало переименование электрона с произвольно сложным законом дисперсии из частицы в квазичастицу. Когда же пришло время осуществить задуманное – написать обзоры, а потом собрать их в книгу “Электронная теория металлов” [5], в большой мере основанную на работах фермиологического толка, то я понял, что Илья Михайлович может чётко ответить на вопрос, как и когда осуществляется переход на “жидкостной” язык (см. монографию 37, §§16 и 23). В §16 речь идёт именно об эффекте де Гааза – ван Альфена, а в §23 – об использовании квазистатического линеаризованного по электрическому полю уравнения Больцмана, как в магнитном поле, так и в отсутствии магнитного поля. Тем самым, в §23 показано, что в теории большинства наиболее характерных фермиологических эффектов – в теории гальваномагнитных и размерных явлений, в теории аномального скин-эффекта, в теории поглощения ультразвука электронами проводимости – можно применять “газовое” описание. При этом полученные формулы включают в себя геометрические характеристики истинной (жидкостной) поверхности Ферми – той, которая учитывает взаимодействие между электронами – поверхности Ферми электронов – квазичастиц.

Книга “Электронная теория металлов” писалась пять лет. Обзоры “Некоторые вопросы электронной теории металлов” (И. М. Лифшиц, М. И. Каганов, УФН, 1959, 1962, 1965) выходили раз в три года. Должен сказать, темп выхода из печати – целиком моя вина. Надо было понимать: важнее, чем сделать ещё одну оригинальную работу, ускорить публикацию обзоров и монографии! В результате мы несколько опоздали. К выходу обзоров, а тем более книги многое было уже усвоено по журнальным публикациям и выступлениям на семинарах и конференциях.

Для популяризации фермиологии более важную роль, чем наша книга, сыграла книга “Введение в теорию нормальных металлов” Алексея Алексеевича Абрикосова (Москва, “Наука”, 1972), вышедшая почти одновременно с “Электронной теорией металлов”. Книга Абрикосова содержит описание многих явлений, чувствительных к геометрии поверхности Ферми. Написанная более доступно, чем наша книга, она стала, по моему мнению, основным учебником по электронной теории металлов даже в тех областях, где приоритет И. М. Лифшица и его учеников общепризнан и подчёркнут Абрикосовым.

Фермиологический подход стал обязательным для основных учебников и монографий по теории нормальных металлов. Соответствующие главы появились в учебниках: “Принципы теории твёрдого тела” Дж. Займана (Москва, “Мир”, 1974, английское издание: “Principles of the Theory of Solids” by J. M. Ziman, Cambridge University Press, 1972), “Физика твёрдого тела” Н. Ашкрофта и Н. Мермина (Москва, “Мир”, 1979, американское издание: “Solid State Physics”, Neil W. Ashcroft, N. David Mermin, Holt, Rinehart and Winston, 1976). Конечно и в курсе теоретической физики Ландау и Лифшица рассмотрение явлений в металлах ведётся с учётом сложной геометрии поверхностей Ферми (см. Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский, том IX, “Статистическая физика”, часть 2, Москва, “Наука”, 1978, гл. VI; том X, “Физическая кинетика”, Москва, “Наука”, 1979, гл. IX).

***

Выбор направления исследования и темы конкретной работы – один из самых важных этапов научной работы. Мы, ученики и особенно сотрудники Ильи Михайловича Лифшица, находились в завидном положении. Главным образом из-за щедрости Ильи Михайловича: он охотно делился темами в той области, которая его в данный момент интересовала. С другой стороны, мы имели свободу выбора, обеспеченную тем, что к проявлению самостоятельности Илья Михайлович относился с уважением. И ещё одно обстоятельство нельзя не учитывать. Когда Илья Михайлович одобрял избранную тобой задачу, возникала уверенность, что ты не попусту расходуешь время. Оценке Ильи Михайловича доверяли не только его ученики и сотрудники, но и начальство. Я не помню ни одного случая, чтобы институтское (УФТИ, ИФП) или университетское (ХГУ, МГУ) начальство было недовольно выбором темы кем-либо из сотрудником И. М. Лифшица. Необходимо добавить, с какой бы задачей ни обращались к Илье Михайловичу за помощью, он всегда помощь оказывал, кто бы задачу ни сформулировал.

В 50-е годы не было того безумного потока информации, который ныне обрушивается на головы научных работников. Мы старались следить за всем, что приносили по избранной нами тематике ежемесячные журналы. Нарочно указал, что журналы выходили раз в месяц, отдельных журналов, специализирующихся на срочной публикации (Phys. Rev. Letters, Письма в ЖЭТФ) ещё не было. Кроме того, мы посещали семинары. В данный момент я говорю не о теоретическом семинаре, руководимом А. И. Ахиезером и И. М. Лифшицем (в Харькове). Его-то мы, конечно, посещали. Присутствовали и выступали на нем не только сотрудники УФТИ, но и все физики-теоретики Харькова. Более того, на него приезжали физики и из других городов СССР. Чтобы семинар был доступен, его заседания проходили вне УФТИ, попасть в который из-за режима секретности было непросто.

Семинар Ландау я бы не отнёс к источникам информации для меня, для нас (я имею в виду харьковчан). Для всех приезжающих на семинар Ландау физиков-теоретиков семинар играл роль высшего авторитета. Если работу кому-либо из нас И. М. Лифшиц (и/или А. И. Ахиезер) советовали доложить на семинаре Ландау, то это означало, что они считают работу этого достойной. Если работа не встретила возражений во время доклада на семинаре Ландау, она как бы приобретала “официальный” знак качества. В кавычках, так как ничего формально официального во мнении Ландау не было. Не помню, чтобы работа, которую Илья Михайлович рекомендовал доложить на семинаре в Институте физических проблем, встретила возражение Ландау (либо перед семинаром, когда Ландау решал, будет ли работа доложена, либо на самом семинаре). Нередки были случаи, когда Ландау осаживал критиков. Работы Ильи Михайловича и выполненные под его контролем, как правило, удовлетворяли требованиям, которые предъявлял к работам Ландау.

Важное место при выборе темы исследования для меня играли семинары Лаборатории физики низких температур УФТИ. Их вёл руководитель лаборатории Борис Георгиевич Лазарев. Криогенная лаборатория, созданная Шубниковым, с конца 30-х годов её руководимая Лазаревым – первая криогенная лаборатория на территории СССР и одна из первых в мире. Исследование металлов и в нормальном, и в сверхпроводящем состояниях – традиционная тематика Криогенной лаборатории УФТИ. Неудивительно, что темы работ по теории металлов Ильи Михайловича и его учеников (мои, в частности) совпадали с темами экспериментальных работ уфтийских криогенщиков [6].

Отправив письмо в Кембридж (Англия), мы получили письмо с замечанием от М. Спрингфорда (M. Springford) – издателя сборника в честь Шёнберга. В нашем тексте было утверждение, что чаще для исследования осцилляционных явлений используют эффект Шубникова – де Гааза (осцилляции сопротивления как функции магнитного поля), чем эффект де Гааза – ван Альфена (осцилляции с магнитным полем магнитного момента). Спрингфорд обратил наше внимание на то, что наш вывод основан на работах, выполненных в УФТИ. В Мондовской лаборатории под руководством Д. Шёнберга и в других местах, по его словам, исследования осцилляций ведутся в основном с помощью измерения зависимости именно магнитного момента металла от магнитного поля. Утверждение мы изъяли.

Гальваномагнитные явления – традиционная тематика физиков, занятых исследованиями при низких температурах. В послевоенные годы, в криогенной лаборатории УФТИ гальваномагнитные явления изучал Евгений Станиславович Боровик с несколькими сотрудниками. Результаты часто обсуждались на семинаре.

Теорией гальваномагнитных явлений заинтересовались мы, теоретики, в связи с работами Е. С. Боровика. Безуспешно я пытался решить кинетическое уравнение Больцмана в магнитном поле для электронов с произвольным законом дисперсии. У меня ничего не получалось, я часто отвлекался на упрощения (следы этого остались в виде публикаций). Задачей заинтересовался Марк Азбель и уравнение Больцмана решил. Его решение показалось мне несколько неуклюжим. Я даже сомневался в его правильности. Естественно, мы обратились к Илье Михайловичу. И… тут произошло чудо (именно так я воспринимал это тогда): появились удобные переменные, решение стало очевидным, выяснилось, что “необъяснимое” различие поведения металлов в сильных магнитных полях имеет естественное объяснение и зависит от топологии поверхности Ферми. Первые очертания открытых поверхностей Ферми, соответствующие периодичности кристаллов, Илья Михайлович набрасывал при нас. С каждым разговором работа становилась всё более интересной и приобретала всё большее значение.

Несомненно, главный результат теории – выяснение роли открытых, бесконечно протяжённых поверхностей Ферми и открытых траекторий на них. О различии асимптотики магнетосопротивления у металлов, поверхности Ферми которых замкнуты, и у металлов с открытыми поверхностями Ферми, сказано уже в первой нашей (трёх авторов: Лифшица, Азбеля, Каганова) публикации [7] в ЖЭТФе. Но подробный анализ анизотропии магнетосопротивления металлов с открытыми поверхностями Ферми, дававший возможность определять топологию поверхностей Ферми по анизотропии компонент тензора магнетосопротивления, – заслуга Ильи Михайловича и Валентина Григорьевича Песчанского (работа И. М. Лифшица и В. Г. Песчанского стала в дальнейшем частью диссертации Вали Песчанского – аспиранта Ильи Михайловича в те годы).

Исследованиями гальваномагнитных явлений на весьма чистых кристаллах ряда металлов в эти же годы занимались Николай Евгеньевич Алексеевский и Юрий Павлович Гайдуков в Институте физических проблем АН СССР в Москве. Была редкая возможность совместной работы по сопоставлению теоретических и экспериментальных результатов. В работе Н. Е. Алексеевского, Ю. П. Гайдукова, И. М. Лифшица и В. Г. Песчанского авторы попытались определить топологию поверхности Ферми олова. Пожалуй, в данном случае существенен не столько конкретный результат, сколько то, что была показана возможность восстановления электронного энергетического спектра нормальных металлов с помощью гальваномагнитных явлений. Было понято и показано, что квантовые осцилляции – отнюдь не единственный источник знаний о геометрии поверхностей Ферми.

Дальнейшие исследования показали, что существуют разнообразные явления, чувствительные к форме и связности поверхностей Ферми. Все они могут быть основой разных экспериментальных методов определения энергетического спектра металлов.

Книга “Электронная теория металлов” содержит в виде Приложения III справочную таблицу “Топология поверхностей Ферми металлов”. Её автор – Юрий Павлович Гайдуков. Это, похоже, первый в мировой литературе справочник такого типа.

Думаю, то, как создавалась теория гальваномагнитных явлений, отчётливо демонстрирует определяющую роль Ильи Михайловича даже в том сравнительно редком случае, когда мысль заняться исследованием возникла не у него.

В 2002 году В. Г. Песчанский и я опубликовали обзор в журнале Physics Reports “Гальваномагнитные явления теперь и сорок лет назад” [8] – свидетельство того, что мой и В. Г. интерес к этой теме за прошедшие десятилетия не угас. Мы отметили, что вернуться к теории гальваномагнетизма нас побудило появление математических работ Сергея Петровича Новикова и его сотрудников. Они вернулись к результатам 50-х годов, полученным при участии И. М. Лифшица [9]. Из их анализа неожиданно (мне казалось, что все геометрические заключения в теории гальваномагнитных явлений высказаны) выявилось существование своеобразного топологического инварианта. Им оказался единичный вектор вдоль направления открытости электронных траекторий в магнитном поле. Он оказался устойчивым к малым изменениям направления магнитного поля. Тем самым в число характеристик открытых ферми-поверхностей была внесена совокупность топологических инвариантов, неизвестных до этого. В статье Роберто Де Лео [10] на основании работы Ю. П. Гайдукова 60-го года (ЖЭТФ, т. 10, стр. 913) рассчитана карта областей (зон) топологических инвариантов “металлов с топологически нетривиальными ферми-поверхностями” (цитирую автора).

Работы по теории гальваномагнитных явлений, естественно, докладывались на семинаре Ландау. Первую из работ на эту тему Ландау не сразу “принял”. Только через два-три дня разговоров и размышлений Ландау убедился в том, что полученные в ней результаты правильны. В дальнейшем Ландау высоко оценивал теорию гальваномагнитных явлений. Почему, задумался я, именно с этой работой возникли трудности? Работы, в которых использовались значительно более неочевидные математические приёмы, легче воспринимались Ландау. Кажется, я понял, в чём причина.

Обсуждение тормозилось при рассмотрении свойств металлов с замкнутыми поверхностями Ферми. Поведение таких металлов в сильном магнитном поле зависит от того, равны числа электронов и дырок друг другу или нет. Результат очень общий, он не зависит от закона дисперсии электронов проводимости и даже от характера диссипативных процессов. В 1939 году для висмута было показано [11], что аномальное поведение его сопротивления обязано равенству чисел электронов и дырок. Думаю, Ландау тогда посчитал, что именно простота формы поверхности Ферми Bi играет важную роль, и ему было трудно отказаться от своего убеждения. Но, убедившись в безукоризненности вывода, Ландау, как я уже говорил, высоко оценил эту работу. В УФН опубликованы протоколы заседаний учёных советов ИФП. Приведено высказывание Л. Д. Ландау на заседании, посвящённом 40‑летию Октябрьской революции (1957 г.):

“…Работы группы И. М. Лифшица по электронной теории металлов являются в своей области важнейшими в мировой литературе”.

К этому времени была опубликована не только теория гальваномагнитных явлений, но и другие работы “группы И. М. Лифшица” (все они упомянуты в Обзоре).

***

Обзор содержит много примеров геометрических образов, связанных с поверхностью Ферми, какие свойства металла они определяют, и, конечно, сказано, как определяют. Одна работа занимает особое место. Речь идет о статье И. М. Лифшица 1960 года “Об аномалиях электронных характеристик металлов в области больших давлений” [12].

Почему я выделяю эту работу? Хотя в названии работы фигурируют аномалии, в работе было сказано, что речь идёт о топологическом переходе, или о фазовом переходе 2½-го рода. Топологическим переход назван потому, что происходит он, когда поверхность Ферми металла меняет свою связность, а переходом 2½-го рода он по необходимости оказался, когда И. М. к аномалии термодинамического потенциала применил классификацию Эренфеста.

Возможность топологических переходов заметно изменила представление об электронной подсистеме металла.

В природе существует два класса электронных проводников: металлы и полупроводники, промежуточное место занимают полуметаллы.

В полупроводниках сравнительно мало носителей заряда, и потому они легко поддаются воздействию. Легко изменяется их электронная структура, в частности, легко изменяется число носителей в них: изменение температуры, давления, введение малого количества примесей – каждое из этих воздействий может кардинально изменить свойства полупроводников. Даже знак заряда носителей изменить нетрудно: полупроводник n-типа может превратиться в полупроводник p-типа или наоборот в зависимости от валентности примеси.

В металлах – огромное число электронов проводимости. Казалось бы, для того, чтобы изменить их электронную структуру, необходимы огромные усилия: для существенного изменения электронной структуры металла нужны чудовищные (мегабарные) давления. Но оказалось, что для топологического перехода в приложении огромных давлений нет необходимости, так как нет необходимости перестраивать всю поверхность Ферми. Достаточно, чтобы лишь в одной точке р-пространства металла либо возникла новая полость поверхности Ферми, либо разорвалась перемычка. Точку, в которой поверхность меняет свою связность, обозначают рс и называют критической. Возможны и противоположные события: полость исчезает, а перемычка появляется (это изображено на рис. 32 в Обзоре). Важно подчеркнуть: “событие” разыгрывается в окрестности одной критической точки (или нескольких, если таково требование симметрии), а формулы, описывающие аномалию, содержат характеристики не всех электронов металла, а только тех, которые имеют квазиимпульсы, равные рс и бесконечно близко расположенные к рс.

В дальнейшем было показано, что ферми-жидкостное взаимодействие не размывает аномалию, и переход, открытый И. М. Лифшицем, остаётся переходом 2½-го рода [13].

Обычно поверхность Ферми критических точек не содержит, но эти точки находятся близко к поверхности Ферми. Факт существования больших периодов при наблюдении эффектов де Гааза – ван Альфена и Шубникова – де Гааза уже мог служить указанием на близость критических точек к поверхности Ферми. По-моему, четко это высказано не было. Понимание пришло после экспериментов, обнаруживших аномалии, вызванные изменением связности поверхности Ферми.

И. М. Лифшиц и три группы экспериментаторов (из УФТИ, МГУ и ИФВД) за предсказание и обнаружение электронно-топологического перехода получили в 1982 году диплом об открытии. Топологические переходы были обнаружены у многих металлов по аномалиям разнообразных характеристик. Обнаружение на опыте заметной аномалии термо-ЭДС при топологическом фазовом переходе обострило интерес к этому явлению[14].

Явление, предсказанное Ильёй Михайловичем, получило имя того, кто его предсказал: “Лифшица переход”, – так назван “переход 2½-го рода, электронно-топологический переход” в Энциклопедическом словаре “Физика твёрдого тела” (Киев, Наукова думка, 1996, т. 1, стр. 479).

Работа Ильи Михайловича – первая работа, предсказавшая, что изменение топологии геометрического образа, который фигурирует в описании свойств металлов, порождает аномалию.

При описании термодинамики электронов проводимости, благодаря вырождению, фигурирует поверхность Ферми; в формулы, описывающие квантовые осцилляции в магнитном поле, входят площади сечений этой поверхности, которые перпендикулярны магнитному полю; в теории аномального скин-эффекта и в теории поглощения ультразвука фигурируют пояски на поверхности Ферми, скорость расположенных на них электронов перпендикулярна заданному вектору. Изменяя условия эксперимента (деформируя металл, меняя направление магнитного поля или направление распространения звука и т.д.), можно все эти и другие геометрические фигуры “заставить” изменить топологию. И каждое такое изменение приводит к аномалии – к обобщённому топологическому переходу. Аномалии можно обнаружить в эксперименте. Такой подход обобщает идею И. М. Лифшица на широкий круг явлений [15].

Предсказание, а потом и открытие топологического перехода – одно из самых ярких проявлений отличия закона дисперсии электронов проводимости от закона дисперсии свободных электронов. Тот факт, что топологический переход происходит при сравнительно небольших давлениях, а также восстановленные многими способами поверхности Ферми различных металлов – всё это показывает, что ферми-поверхности весьма вычурны. На поверхностях есть вмятины, то есть на поверхностях Ферми имеются области с гауссовой кривизной различного знака. Следовательно, на поверхностях есть и линии параболических точек, на которых одна из главных кривизн меняет знак. Есть даже точки уплощения – точки пересечения линий параболических точек.

Линии параболических точек – важные характеристики поверхностей Ферми. В большинстве случаев изменение связности геометрических образов, приводящее к аномалиям, происходит в точках, расположенных на линиях параболических точек. Если внешнее воздействие изменяет топологию (связность) линий параболических точек, то это может быть причиной аномалии. Подобная аномалия не есть фазовый переход согласно термодинамическому определению, но может имитировать переход Лифшица, если его пытаться, например, наблюдать по появлению или исчезновению периода осцилляций в магнитном поле [16].

Фермиология открыла удивительный мир своеобразных структур. На первый взгляд, вычурность, сложность ферми- поверхностей – загадочное явление. Тот факт, что наряду с большими полостями у поверхностей Ферми большинства поливалентных металлов есть множество малых полостей, казалось загадкой. Но выяснилось, что ситуация проще, чем можно было себе представить. Модели Гаррисона, основанной на приближении почти свободных электронов Бриллюэна, оказалось достаточно, чтобы объяснить, как из исходных сфер Ферми у поливалентных металлов получаются "загадочные" поверхности Ферми, состоящие из многих полостей разного масштаба, нередко включающие открытые поверхности (в Обзоре этому посвящён специальный раздел).

Анализ различных свойств металлов (особенно – высокочастотных) показал, что за некоторые из свойств ответственны только электроны, расположенные в отдельных точках на ферми-поверхности (и их называют критическими). Особенно отчётливо это видно на примере поглощения звука в магнитном поле. Изменяя условия эксперимента, можно двигать критическую точку по поверхности Ферми. Тогда, когда критическая точка окажется параболической или точкой уплощения, коэффициент поглощения звука испытывает аномалию. Интересно отметить: в этом случае связность не меняется, а меняется метрика участка Ферми-поверхности, окружающего избранную условиями эксперимента точку.

Исследованию роли локальной геометрии поверхностей Ферми металлов в высокочастотных свойствах металлов посвящено много работ. Некоторые из них упомянуты в Обзоре. В 1996 году была опубликована монография Натальи Авксентьевны Зимбовской “Локальная геометрия поверхности Ферми и высокочастотные свойства металлов” (Екатеринбург, 1996). В 2001 году вышел из печати расширенный перевод этой монографии на английский язык [17].

Использование геометрических представлений облегчает понимание роли электронов проводимости в структуре бозевских ветвей энергетического спектра металлов (в частности, фононов). Поверхность Ферми отделяет занятую область периодического р-пространства от свободной. Граница заполнения электронами, то есть ферми поверхность – причина существования особенностей Мигдала Fehler! Keine gültige Verknüpfung. Кона.

В тех случаях, когда поверхность Ферми имеет сложную форму, определение геометрического места точек особенностей в пространстве квазиимпульсов фононов и выяснение характера особенностей – нетривиальные задачи, которые вряд ли были бы решены, если бы не геометрическая наглядность. В Обзоре раздел “Пересечение ферми-поверхности со своим сдвинутым аналогом. Особенности Мигдала-Кона” посвящён именно этим вопросам, его название точно указывает, какой геометрический образ следует использовать.

Взаимодействие электронов с фононами влияет не только на фононный спектр. Электронный спектр тоже перенормируется.

Когда поверхность Ферми – сфера, то перенормируется масса фермиевских электронов. Когда закон дисперсии сложен, то описывают все свойства металлов, не уточняя зависимость энергии электрона от квазиимпульса. Возник термин электрон с произвольным законом дисперсии. В Обзоре принят именно такой способ описания.

На первый взгляд слова перенормировка и произвольный закон дисперсии не сочетаются. Какой смысл в перенормировке функции e = e(р), если она только считается известной, хотя, по существу, известно о ней очень мало? Без учёта взаимодействия электронов с фононами функция e(р) заметно изменяется на “расстояниях” порядка величины периода обратного пространства кристалла. Из-за взаимодействия с фононами перенормируется скорость электронов на поверхности Ферми и в тонком слое, примыкающем к ней. Закон дисперсии электронов, расположенных далеко от поверхности Ферми, не перенормируется. Толщина слоя, в котором происходит перенормировка, порядка ms, где m – масса электрона, а s – скорость звука. Слой так тонок, что естественно представлять себе поверхность Ферми фигурой, завёрнутой в простыню.

В статье “Энергетический спектр металлов и его особенности” [18], который служит как бы продолжением Обзора, перечислены основные работы, по которым можно проследить развитие одного из направлений геометрического подхода в электронной теории металлов: подробно исследовано возникновение и характер особенностей в фононном спектре металлов со сложными поверхностями Ферми, а также дана геометрическая интерпретация перенормировки электронного спектра за счёт электрон-фононного взаимодействия.

В 1985 году вышел сборник отдельных статей “Электроны проводимости” [19]. Книга посвящена памяти И. М. Лифшица. В ней собраны обзорные статьи теоретиков и экспериментаторов, посвященные свойствам нормальных металлов. Они развивают идеи и представления фермиологии. Ферми-поверхности уже не экзотика. Они вошли в современную физику. В этом велика роль Ильи Михайловича Лифшица.

***

Электронная теория металлов не была единственной областью деятельности И. М. Лифшица. В 1997 году в честь 80‑летия со дня рождения Ильи Михайловича проводились научные конференции и вышли специальные выпуски журналов [20]. Доклады на конференциях и статьи в журналах посвящены широкому кругу вопросов. Они свидетельствуют о том, что сфера интересов Ильи Михайловича охватывает всю физику конденсированного состояния.

2004-2011 гг.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2: МАГНОНЫ, МАГНОНЫ, МАГНОНЫ

(статья-шутка к 60-летию А. С. Боровика-Романова)

М. И. Каганов

А. С. Б‹›ровику-Романову‚

который любит магноны и который

так много для них сделал.

Симпатии и антипатии внушают не только люди, но и предметы, явления, идеи. Из квазичастиц я симпатизирую магнонам. Симпатия эта осознанная, и я могу рассказать, что меня в магнонах привлекает.

Как и все квазичастицы, магноны – враги холодного, бездушного порядка [1]. Кроме того, магноны – коллективисты. Магнону не свойственна чопорность электронов, запрещающая им собираться больше, чем по два, да и то повернувшись спинами друг к другу. И все же, конечно, не эти общие всем квазичастицам-бозонам черты выделяют магноны.

Особое познаётся в сравнении.

Магноны естественно сравнивать с фононами. Первое, что бросается в глаза в фононах, – их неразборчивость, я бы сказал даже, отсутствие патриотизма, космополитичность, что ли. Фононы могут жить где угодно. Металлы, диэлектрики, полупроводники, даже жидкости – везде есть фононы. Магноны верны своему родовому имени. И при этом аристократически скромны. Обитая только в магнетиках, они даже в них не претендуют на особые привилегии, сосуществуя с другими квазичастицами. Иногда, правда, роль магнонов велика и общепризнанна – нельзя же не замечать магнонов в ферромагнетиках, когда при достаточно низких температурах их больше даже чем фононов!

Магноны не таковы, чтобы даже апологетическое их описание требовало каких-либо умолчаний. Их столкновения с фононами, да и друг с другом, иногда кончаются уничтожением одного из участников, а иногда приводят к распаду[2].

Фононам легко быть коллективистами – бозонами. Когда правила поведения заложены в генотипе‚ никем другим и не будешь. Магнонам, формируя в себе черты бозона, приходится бороться с собой. И следы этой борьбы, как родовые травмы, они несут на себе всегда, заставляя преодолевать трудности, не знакомые фононам [3]. Многих привлекают неизменность и жесткость (их часто воспринимают как проявление принципиальности). Фононы неизменны как само тело, их содержащее. Есть что-то вульгарное и мещанское в способности быть удобными всегда – от абсолютного нуля вплоть до температуры плавления (“Твоя родина вот-вот погибнет, а ты благоденствуешь!”). Магнонам нужны несколько изысканные условия существования: приближение к катастрофе, которую они сами приближают, для них губительно. Но зато они по-интеллигентски чутки и отзывчивы: их изменяет небольшое по общепринятым масштабам взаимодействие. По их поведению можно судить о среде, в которой они живут [4].

Но более всего мне нравится в магнонах то, что они – истинные джентльмены. Как по-хамски ведут себя экситоны, поляритоны, фононы, заставляя волну изменять себя им в угоду (чего не сделает волна ради резонанса?). Магнон не требует жертв от волны. Не щадя себя, ради полного слияния, ради резонанса, он изменяется сам [5].

Литература

[1] М. И. Каганов. Магноны – нарушители магнитного порядка. “Природа”, №4, 1971 г.

[2] А. И. Ахиезер, В. Г. Барьяхтар, С. В. Пелетминский. Спиновые волны. Москва, “Наука”, 1967 г. §25. Процессы взаимодействия между магнонами. §26. Процессы взаимодействия магнонов и фононов.

[3] F. Dyson. Phys. Rev., 1956, v. 102, p. 1217.

[4] А. С. Боровик-Романов. Антиферромагнетизм. Сб. Итоги науки. Москва, 1962 г.

[5] А. Г. Гуревич. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. Москва, “Наука”, 1973 г.

Март 1980 г

ПРИЛОЖЕНИЕ 3: ПОЧЕМУ Я МУСИК?

Мусиком я был для всех. Не только для близких, но и для студентов, аспирантов, молодых коллег. Конечно, обращаясь ко мне, они называли меня по имени-отчеству, но “за спиной”, знаю, – только Мусиком. На учёных советах, членом которых я был, предоставляли слово Мусику. То же – на семинарах. Если коллеги произносили Моисей Исаакович, значит обстановка была сугубо официальной.

В детстве меня редко называли Мусиком. Назван я был Моисеем в честь моего прадедушки Мойше-Пейсаха – дедушки моей мамы. Обидно: совсем ничего о нём не знаю.

Естественно, в детстве никто не называл меня Моисеем. Я был Мусей. Ни мною, ни родителями, ни близкими Муся не воспринималось как уменьшительное или ласкательное имя. Оно не вызывало удивления и у моих сверстников: ни в школе, ни во дворе. То, что в школе я был именно Мусей, – не аберрация памяти. Мои соученики (соученицы, соучеников почти не осталось), с которыми удалось восстановить связи, называют меня Мусей.

Почти сразу после призыва (декабрь 1939 года) я превратился в Мишу. Меня переименовали мои товарищи по учебной команде. Помню их смутно. Да и себя самого плохо помню. Высокий, худой, нескладный, потому что до неприличия неспортивный (подтягиваться не мог), лопоухий, что стало особенно заметно, когда постригли наголо. Казалось бы, создан для насмешек. Особенно если добавить некую восторженность и, похоже, скажем осторожно, глуповатость.

Что я помню точно, так это то, что не ощущал никакого антисемитизма. Добавлю: на протяжении всей службы. Когда была сформирована учебная команда, нас поместили в одно помещение. Полагалось говорить “кубрик”, хотя всё было на суше, естественно: призвали меня в береговую оборону. Знакомимся. Называем свои имена.

Я:

– Муся.

В ответ:

– Это – бабское имя…

– Полное моё имя Моисей, а по-еврейски Мойше-Пейсах.

Зачем я назвал имя своего прадеда, не знаю. Может быть, в этом было нечто мистическое. Возможно, чисто интуитивно хотел проверить, антисемиты или нет.

– Мойше? Значит, Миша, – сказал кто-то, и на все годы службы я превратился в Мишу.

Военная служба послужила для меня источником некого опыта. До мобилизации я был типичным маменькиным сыночком. Прежде всего, ничего не умел делать руками. Научился. Но, пожалуй, важнее был опыт общения с людьми разного возраста, образования, положения в обществе, национальности. Удалось научиться относиться иронически к формальному положению, к тому, что можно назвать табелем о рангах, понять, что товарищеские отношения бесконечно важнее уставных. Эта учёба проходила не без “синяков и шишек”.

Конечно, за время пребывания на военной службе я стал взрослее. Но, одновременно, и остановился в своём развитии. Я понимал, что потерял годы. Действительно, на первый курс я вернулся в начале 46-го года почти 25-летним. Потеряно более шести лет. Отсюда желание ускорить обучение в университете. Оно привело к тому, что мы (Витя Цукерник и я) перепрыгнули через курс. Об этом уже писал.

Приход на первый курс переростком, несомненно, наложил отпечаток на всю последующую жизнь. Я оказался по возрасту между своими сокурсниками и нашими учителями. Это привело к несколько необычным последствиям. С сокурсниками, по-моему, неощутимым (по крайней мере, мне хочется так думать), а вот с преподавателями – к заметным. Возникли некие отношения, как правило, дружеские, вне учебного процесса. Позднее это промежуточное положение (по возрасту) проявилось в том, что возникли и поддерживались близкие отношения с теми, кто по “табелю о рангах” были расположены существенно выше. Конечно, с годами разница лет теряла своё значение, да и многие молодые коллеги перегоняли меня, приобретая академические звания и занимая высокие (иногда очень высокие) посты. Признаюсь (главным образом, себе), что ощущение промежуточного возраста (между “сверстниками” и учителями) странным образом сохранилось до сих пор, когда людей, заметно старших меня, осталось один-два и обчёлся…

Наверное, последнее сыграло важную роль в “консервации” имени Мусик. В частности, и потому, что между собой мои старшие по положению товарищи использовали "укороченные обозначения": Илья Михайлович – Лёля, Александр Ильич – Шура, Вениамин Леонтьевич – Веня. Но, уверен, не менее важную роль сыграл мой характер.

Начало 1946 года. Демобилизованный, во флотской форме появляюсь в университете. На Физическом отделении Физико-математического факультета. Экзаменов мне сдавать не надо было: я формально возвращался в университет. Кажется, такова была привилегия для отличников – для тех, кто, как я, и поступал без экзаменов.

Знакомство. Представляюсь:

– Муся.

Ни удивления, ни вопросов. Но кто-то произнес:

– Мусик, – явно желая подчеркнуть мой пол. К сожалению, не помню, кто произнёс первым. Сравнительно скоро я привык к новому “обозначению” и объяснял, что “ик” играет роль не уменьшительного суффикса, а полового окончания. Объяснение вызывало чуть скабрёзную улыбку, но по существу было строгой грамматической констатацией.

К Мусику привык не только я, но и все, кто меня знал. Почему это имя так ко мне подошло, сказать не берусь. Ниже выскажу некую гипотезу. Правда, я сам в какой-то мере его насаждал. Знакомясь, если только знакомство было не совсем официальным, я представлялся:

– Мусик.

Часто разъяснял вчерашним студентам:

– Вы уже окончили университет. Можно обращаться Мусик, – чем не все, но многие пользовались.

Мусиком называли меня почти все, иногда даже те, кто не был со мной знаком. Пришедшие как-то к нам домой гости рассказали следующее. Жили мы тогда во дворе, примыкавшем к УФТИ. Его так и называли: уфтийский двор. В то время он отделялся от улицы Чайковского проходной, где сидел вахтёр. Надо было назвать, к кому идёт посетитель. Знакомые назвали фамилию.

– Такие здесь не живут, – ответил вахтёр.

– А Мусик сказал… – начал пришедший.

– Так бы и сказали, что к Мусикам, – воскликнул вахтер, пропуская.

Конечно, странное обозначение было предметом шуток. В основном, по-моему, безобидных. Пожалуй, точнее было бы сказать так: я ни разу не обиделся. Или: не помню, чтобы хоть раз обиделся.

Самая надоевшая шутка: “Мусик, готов гусик?” – из Ильфа и Петрова. Халатников любил повторять, что Мусик происходит из Мусий. Ему казалось, что это подчёркивает моё харьковское происхождение. Бялко (сейчас он заместитель главного редактора журнала “Природа) “выдал” такую переделку Пушкина: “Вы просто Мусик, // Не Пушкин”, – и был очень горд.

В советской теоретической физике был ещё один Мусик. Мусик Рабинович, физик-теоретик из ФИАНа, специалист по физике ускорителей. Я о нём много слышал. Если не по делу, то обычно так: “А есть ещё Мусик Рабинович. В ФИАНе.” Почему его называли Мусиком, не знаю. Его официальное имя Матвей Самсонович. Мы с ним познакомились на отдыхе, в Академическом пансионате “Звенигородский”. Помню, обоим, как мне показалось, было небезынтересно: ещё один Мусик! Пожалуй, познакомились слишком поздно. Вскоре после нашего знакомства Мусик Рабинович умер.

Гипотеза. Когда я начал работать в УФТИ, то наш отдел – Теоретический отдел Ильи Михайловича Лифшица имел трёх сотрудников: Липу Розенцвейга, Пелю Найман и меня. С Пелей мы были уже хорошо знакомы. Она вместе с нами слушала многие лекции по теоретической физике, хотя формально и фактически была математиком. Все мы быстро подружились. Именно подружились. Надо сказать, наш теоротдел был насыщен эмоциями. Дело в том, что Липа был влюблён в Пелю и своей влюблённости не скрывал. Комплименты звучали значительно чаще, чем разговоры на деловые темы. Особой тонкостью они не отличались. Иногда они были столь приторны, что я жаловался: “Боюсь, борода Максвелла (его портрет висел на стене) покроется слоем сахара…” В одном из ящиков письменного стола, считалось, хранится “Фонд поручика”. Туда ссыпались слишком плоские анекдоты и грубые комплименты.

Всё это написано, чтобы была ясна обстановка.

Как-то я решил показать несколько своих коронных трюков (их число с тех давних пор не увеличилось, а сейчас, думаю, они, если и получатся, то значительно менее уверенно). Среди них трюк с монетами. Положил стопочку монет на локоть согнутой руки, быстро разогнул руку и показал, что все монеты у меня в руке. Попытки моих друзей повторить трюк ни к чему не привели. Точнее, заставили всех ползать и разыскивать закатившиеся под все столы монеты. А я получил от Липы прозвище “Доктор пустяковых наук”.

Не то, что он часто повторял прозвище. Но изредка повторял. Запомнил же я на всю жизнь! Повторял он тогда, когда я знал нечто ерундовое, что он почему-то не знал. Надо сказать, Липа был глубоко эрудированным человеком во многих областях, а особенно в теоретической физике.

Так вот моя гипотеза – объяснение, почему ко мне подходит имя Мусик, – состоит в том, что есть во мне некая несерьёзность. Может быть, даже отсутствие глубины. Я никогда не умел относиться слишком серьёзно к тому, что я делаю. И всю жизнь слегка завидую тем, кто уверены, что решают самую важную в мире задачу.

Не знаю, как воспримется то, что я сказал. Уверяю вас: я не хвастаю и не занимаюсь самоуничижением. Просто сейчас, в какой-то мере с некого расстояния, я вижу, что из себя представляю. Или думаю, что вижу…

Если говорить о карьере, то отсутствие серьёзности, наверное, несколько мешало. Человек получает в меру среднего геометрического из результатов и серьёзности мнения о себе, не только окружающих, но и своего собственного. Бывают, конечно, исключения, но чрезвычайно редко. Отсутствие должного серьёзного мнения о себе самом (если бы знать, какое должно быть), действительно, мешает получать, но не только материальные знаки признания (членство в Академии, премии), а и те самые результаты, которые для этого необходимы, хотя не всегда достаточны. Надо уметь не отступать, а самое главное, браться за трудные задачи, по-настоящему трудные. Предельно серьёзное отношение к себе для этого необходимо.

Думаю, этакая не совсем обычная лёгкость в общении – приятная черта. Но об этом мне трудно судить.

Подведу итог.

Я – Мусик. Рад, что все внуки и правнуки обращаются и, надеюсь, всегда будут обращаться к нам Мусик и Эллочка. Не в этом ли награда?..

***

Идёт время. Эллочки нет. Но и вспоминают всегда Эллочку.

С обращением Мусик я сроднился, но когда от детей своих друзей я слышу: “Дядя Мусик”, – у меня теплеет на душе.

Закончил 4 ноября 2011 г.
Примечания

[1] Под таким названием был опубликован обзор в УФН (М. И. Каганов, И. М. Лифшиц, 1979, т. 129, стр. 487). Здесь этот обзор будет именоваться Обзором (с большой буквы). Название и ссылка в дальнейшем опускаются. Текст незначительно изменён по сравнению с текстом комментария в книге “Илья Михайлович Лифшиц. Учёный и человек” (Харьков, 2006, стр. 417).

[2] “Electrons at the Fermi Surface”, edited by M. Springford, Cambridge University Press (October 2, 1980). Благодарен Д. Хмельницкому, который прислал мне библиографическую справку.

[3] ЖЭТФ, 1954, т. 26, стр. 551.

[4] Удивительно, но именно этот аргумент я услышал из уст Н. Н. Боголюбова на заседании Ленинского комитета, на котором обсуждалось присуждение Ленинской премии И. М. Лифшицу, а я присутствовал как представитель общественности. Н. Н. был членом Комитета. У меня нет сомнений, что выступавший с отрицательным отзывом Н. Н. прекрасно понимал, как обстоит дело в действительности, а его выступление было продиктовано групповыми интересами. В тот раз Илье Михайловичу премия не была присуждена.

[5] И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. Mосква, “Наука”, 1971. В том же году книга вышла в США, в издательстве Plenum Press.

[6] Связь работ по электронной теории металлов И. М. Лифшица и его школы с экспериментальными работами в Криогенной лаборатории УФТИ более детально прослежена в моей статье “К истории электронной теории металлов (УФТИ, 50-е годы)”. Она опубликована, в частности, в брошюре “Академик Илья Михайлович Лифшиц”, вышедшей к 70-летию Ильи Михайловича (Москва, “Знание”, 10/1987), а кроме того в моей книге “Школа Ландау...” (см. ранее).

[7] По первым буквам наших фамилий теорию гальваномагнитных явлений, не ограниченную предположениями о характере спектра электронов проводимости и диссипативного механизма, назвали ЛАК-теорией.

[8] M. I. Kaganov, V. G. Peschansky “Galvano-magnetic Phenomena today and forty years ago”, Physics Reports, 2002, v. 372, p. 445.

[9] См. обзор С. П. Новикова и А. Я. Мальцева. УФН, 1998, т. 168, стр. 249.

[10] Roberto Dе Leo, “Topological effects in the magnetoresistance of Au and Ag” (arXiv:cond-mat/0409383, 15.IX.04).

[11] Б. И. Давыдов, И. Я. Померанчук, “О влиянии магнитного поля на электропроводность монокристаллов висмута при низких температурах”, ЖЭТФ, 1939, т. 9, стр. 1294.

[12] ЖЭТФ, 1960, т. 38, стр. 1569.

[13] М. И. Каганов, А. Мёбиус, “Влияние ферми-жидкостного взаимодействия на фазовый переход 2 ½-го рода”, ЖЭТФ, 1984, т. 86, стр. 691.

[14] См. обзор Ya. M. Blanter, M. I. Kaganov, A. V. Pantsulaya, A. A. Varlamov, “The Theory of Electronic Topological Transitions”, Physics Reports, 1994, v. 245, p. 159. Обзор содержит исчерпывающую (на 1994 год) библиографию.

[15] См. обзор: М. И. Каганов, Ю. В. Грибкова, “Топологические переходы в нормальных металлах”, ФНТ, 1991, т. 17, стр. 907.

[16] В. И. Макаров и др. “Новый тип топологического электронного перехода в металлах при изменении энергии Ферми”, ФНТ, 2005, т. 31, стр. 422.

[17] Nataliya A. Zimbovskaya, “Local Geometry of the Fermi Surface and High-Frequency Phenomena in Metals”, Springer-Verlag, NY, Berlin, Heidelberg.

[18] М. И. Каганов, УФН, 1985, т. 145, стр. 507.

[19] Редакторы М. И. Каганов и В. С. Эдельман (Москва, “Наука”, 1985). Мы оба не только редакторы, но и авторы. Хочу отметить: в этом сборнике А. А. Слуцкин при моим участии изложил в двух главах-обзорах свою теорию квантового магнитного пробоя. Обзоры основаны на докторской диссертации А. А. Слуцкина. Как грустно, что талантливый теоретик и интереснейший человек Алик Слуцкин рано ушёл из жизни.

[20] УФН, 1997, т. 167, № 2. Содержит 4 статьи. Physics Reports, v. 288, №№ 1 – 6 под общим названием “I. M. Lifshitz and Condensed Matter Theory”, редакторы А. Ю. Гросберг, М. И. Каганов. Содержит 21 статью. В обоих изданиях есть статьи с моим участием.

 

 

Адрес оригинальной публикации — 7iskusstv.com/2013/Nomer4/Kaganov1.php

Напечатано в журнале «Семь искусств» #4(41) апрель 2013 7iskusstv.com/nomer.php?srce=41

Рейтинг:

0
Отдав голос за данное произведение, Вы оказываете влияние на его общий рейтинг, а также на рейтинг автора и журнала опубликовавшего этот текст.
Только зарегистрированные пользователи могут голосовать
Зарегистрируйтесь или войдите
для того чтобы оставлять комментарии
Лучшее в разделе:
Регистрация для авторов
В сообществе уже 1003 автора
Войти
Регистрация
О проекте
Правила
Все авторские права на произведения
сохранены за авторами и издателями.
По вопросам: support@litbook.ru
Разработка: goldapp.ru