Первый выдающийся еврейский математик Англии и Америки - Джеймс Джозеф Сильвестр. Страницы жизни и творчества0

Первый выдающийся еврейский математик Англии и Америки

Джеймс Джозеф Сильвестр. Страницы жизни и творчества1

Каждый, кто сталкивается с математикой, может вспомнить, что такое матрица, дискриминант,  инвариант. Но, наверное, мало кто знает, что эти и другие понятия, давно ставшие общепринятыми, ввёл в науку еврейский математик Джеймс Джозеф Сильвестр. Не без основания предлагал он называть себя «математический Адам», поскольку «...создал Господь Бог каждую тварь на нивах, каждую птицу в поднебесье и привёл их к Адаму, чтобы он смог дать им имена».1-1

Сильвестр внёс много новых идей в математику, его именем названы полученные им результаты – теоремы, формулы, уравнения и др. Он сыграл значительную роль как в европейской, так и в американской математике второй половины девятнадцатого века, как профессор университета, основатель и первый редактор Американского математического журнала.

В наше время учёные разных стран развивают его математическое наследие.

Сильвестр был ещё поэтом и переводчиком и иногда подписывался как «Сильвестр, автор Законов стихосложения».

Страницы жизни

Школьные годы

Джеймс Джозеф Сильвестр родился 3 сентября 1814 г. в Лондоне в состоятельной многодетной еврейской семье Абрахама и Мириам Джозеф. Абрахам Джозеф был часовщиком, серебряных дел мастером, торговцем. До рождения Джеймса в семье Абрахама и Мирьям было девять детей, так что он оказался десятым, у него было четыре сестры и пять братьев - в возрасте от восемнадцати до двух лет.

Абрахам Джозеф был членом общины при Большой Синагоге, и по субботам вся семья отправлялась туда молиться.

Джозефы приобщались к английской жизни и культуре, не отличаясь большой строгостью в соблюдении повседневных еврейских правил и ритуалов. Но это не был отказ от еврейской идентичности. Об этом свидетельствует и решение родителей отдать шестилетнего Джеймса в первую в Англии частную школу-интернат для еврейских мальчиков. В этой школе с учениками - детьми англо-еврейской элиты - поддерживались еврейские традиции.

В первом классе обучение вёл Хаймэн Гурвиц, основатель школы и её многолетний руководитель, автор учебника Грамматика иврита. Впоследствии он стал первым профессором еврейского языка (иврит) и литературы в Англии.

В школе изучали традиционные для всякой иешивы предметы: Иврит, Тору и, по желанию родителей, Талмуд. Помимо этого, много внимания уделялось изучению «светских предметов»: латыни, греческого языка и математики. Такое многостороннее обучение готовило мальчиков к взрослой жизни и как евреев, и как будущих граждан английского общества. Джеймс, несомненно, изучал Талмуд и Тору, поскольку много лет спустя он рассказывал, как однажды на лекции по Талмуду в Лондонском Королевском обществе сидевшие напротив «некие лэди» просили у него совета, «как им выучить Талмуд».

Начиная со второго класса уроки в школе проводил уже другой учитель, Леопольд Ньюмеджн. Когда Джеймсу было всего лишь 11 лет, Ньюмеджн во время занятий был так поражён математическими способностями Джеймса, что попросил профессора математики Олинтуса Грегори дополнительно проэкзаменовать мальчика по алгебре. Грегори проверил его и отметил, что мальчик действительно очень талантлив. Профессор настоял на том, чтобы Джеймс начал заниматься с домашним учителем математики. Все последующие годы Грегори часто интересовался успехами юного Джеймса.

Полтора года Джеймс провёл в другой школе, находясь при этом под неустанной математической опекой репетитора.

В это время его 28-летний брат Сильвестр уехал из Англии в Соединённые Штаты. Для того чтобы получить там разрешение на проживание, ему по тогдашним американским законам необходимо было иметь три имени. Это означало, что имя Сильвестр Джозеф необходимо было дополнить. И тогда, не желая ничего лишнего добавлять к наследственному имени, он просто добавил своё имя ещё раз, уже в качестве второй фамилии, и стал называться теперь Сильвестр Джозеф Сильвестр.

В 1827 году наступило 13-летие Джеймса, пора Бар-Мицвы. Для юноши это возраст первых самостоятельных решений и одновременно — сознательного подражания своим кумирам. Видимо, под впечатлением от независимого поступка своего старшего брата он и стал называть себя Джеймс Джозеф Сильвестр. С тех пор он известен под этим именем.

В то время при поступлении в Оксфордский университет необходимо было дать клятву «истинности христианской веры», в Кембриджском университете это требовалось лишь при получении диплома.

Таким образом евреи, не отказавшиеся от веры предков, были лишены возможности получить диплом об окончании какого-нибудь из двух университетов. Это относилось и к Джеймсу, который намеревался в ближайшем будущем стать абитуриентом.

Некоторые влиятельные политики, финансисты, общественные деятели Англии - в том числе профессор Грегори, - не согласные с таким положением, взялись за создание в Лондоне нового университета. 11 февраля 1826 года они основали Лондонский университетский Колледж. ЛУК стал альтернативой строго религиозным университетам Оксфорда и Кембриджа. Это было первое высшее учебное заведение Англии, где студенты могли учиться и получать дипломы независимо от их религии.

По совету Грегори, Сильвестр поступил именно в этот Колледж. Университет пригласил на должность профессора математики Августа Де Моргана, которому шёл тогда 21-й год. Во время его первой же беседы с Сильвестром он смог проверить его знания. Несомненно, они произвели сильное впечатление на молодого профессора, так что он направил его в старший класс для учащихся с самым высоким уровнем подготовки.

К сожалению, Сильвестр слишком мало времени занимался под руководством Де Моргана. Всего лишь через пять месяцев после начала занятий Сильвестра преднамеренно обвинили в том, что он в столовой якобы схватил столовый нож и угрожал им своему сокурснику. Родители вынуждены были забрать его из Колледжа и перевести в школу Королевского института в Ливерпуле, где когда-то жили Джозефы. Там он учился, находясь «под крылышками» своих старших сестёр.

В Королевском Институте в Ливерпуле изучались классические и математические предметы, школьники готовились к поступлению в университет Оксфорда или Кембриджа. Здесь Сильвестр стал одним из лучших учащихся, в конце года он получил первый приз по математике и второй – по классическим предметам. В сочинении по английскому языку на тему о деспотизме он на примерах взаимоотношений между людьми разного звания показал, что власть порождает тиранию. И что вывод этот верен как в отношении могущественного монарха, так и школьного привратника.

Интеллектуальная дерзость Сильвестра привела к тому, что ему трудно было ладить с соучениками. Зачастую это приводило его в отчаяние. Однажды, имея всего лишь несколько шиллингов в кошельке, он побежал в порт и в последний момент прыгнул на борт корабля, отправлявшегося в Дублин. По прибытии в Ирландию, по счастливой случайности он на улице столкнулся с мужем своей двоюродной сестры. Юного беглеца немедленно вернули — отправили его на судно, следующее обратно в Ливерпуль.

Его старший брат Сильвестр Джозеф Сильвестр устроился тем временем на работу маклером по продаже лотерейных билетов в Нью-Йорке. Тогда же, обратившись к Джеймсу за помощью, старший брат описал комбинаторную задачу, в решении которой были заинтересованы подрядчики лотерей в США. Лотерейный бизнес широко использовался там для финансирования различных отраслей хозяйства. Хотя нам неизвестна суть проблемы, известно однако, что юный математик решил её и получил от благодарных американцев премию в $500. Для его возраста это было серьёзное достижение.

За эти полтора года, проведенные в школе Королевского Института в Ливерпуле, он завершил среднее английское образование. Оценки по всем школьным предметам у него были отличные, и ничто не препятствовало ему теперь зачислению в Кембриджский университет, где, как уже было сказано выше, при поступлении присяга «истинности христианской веры» вовсе не требовалась.

Студент Кембриджского университета

Частные уроки по математике в Ливерпуле давал Сильвестру Ричард Вильсон, выпускник Сент-Джон Колледжа в Кембридже. Пять лет он работал в Колледже, опубликовал там научную математическую работу. Вероятно, решению поступать в Сент-Джон Сильвестр обязан влиянию своего домашнего учителя. Именно Вильсон написал ему рекомендацию для поступления в Кембридж.

Вступительный тест состоял из заданий по элементарной геометрии, арифметике, алгебре и сочинений на темы произведений классических авторов. Список тем для абитуриентов был составлен и дан им для ознакомления за несколько месяцев до начала тестирования.

Стипендиатами университета могли быть преимущественно студенты из семей с небольшим достатком. Хотя Сильвестр происходил из семьи среднего класса, имеющей вполне достойный доход, он всё же претендовал на стипендию. Отлично справившись со сложным вступительным тестом, он получил право на бесплатное питание и плату за обучение по 15 шиллингов в квартал вместо обязательных 2,10 фунтов стерлингов. В середине ноября 1831 года его официально зачислили в студенты Сент-Джон Колледжа Кембриджского университета.

Едва будучи принятым в число студентов, Сильвестр поселился в Кембридже. На майском экзамене 1832 г. он оказался среди первокурсников призёром.

Студенты второго курса должны были по литературе изучить произведения Гомера, Геродота, Ливия, Тацита, Платона, а по математике - труды по алгебре, дифференциальному и интегральному исчислению, коническим сечениям, сферической тригонометрии и первые три части Начал (Математические начала натуральной философии 2) Ньютона.

Главное испытание для них было впереди - Тройной экзамен после пятого семестра. В мае по результатам Тройного экзамена Сильвестр оказался только на пятом месте. Это стало для него подлинным разочарованием.

К концу сентября 1833 г. ему пришлось, однако, оставить учёбу – болезнь разлучила его с Кембриджем на два года.

Во время своего академического отпуска, Сильвестр подготовил и выпустил «Сборник упражнений по интегральному исчислению». Тем не менее, в нём было указано «Кембридж, январь 1835 г.». В этом 132-страничном пособии содержалось 135 примеров с подробными решениями. В предисловии он пояснил, что при составлении сборника исходил из своего собственного опыта и стремился подготовить такое пособие, которое могло бы помочь студентам в решении трудных задач.

Главными предметами на третьем курсе, на который вернулся выздоровевший Сильвестр, были интегральное исчисление, астрономия и динамика. Требовалось также изучить последнюю часть Ньютоновых Начал, включая оптику и гидростатику.

Как известно, первый том Ньютоновых Начал открывается формулировкой различных лемм (вспомогательных теорем), необходимых для анализа движения точечной массы. При ближайшем рассмотрении, из приведенных 11 лемм выделяется одна, пятая: у этой леммы не имеется доказательства. Но если лемма – не аксиома, то она должна быть строго доказана. Это противоречие стало вызовом для Сильвестра. Есть ли лучший способ начать утверждение своей математической репутации, чем заполнение бреши в труде великого Ньютона? Именно это попытался сделать Сильвестр в своей второй публикации.

«Дополнение к Ньютоновой первой части (Начал), содержащее строгое обоснование пятой леммы и общую теорию равенства и пропорциональности линейных величин.» Так было озаглавлено эссе, которое начинается с перечня и анализа «различных определений, предложенных для понятия прямой линии». А «свойства прямой линии формируют основу нашего последующего рассуждения», утверждал он.

Далее в своей работе он разбирает определения Эвклида и Лежандра и затем предлагает своё определение прямой. Это было достаточно смело и самоуверенно. При этом, однако, совсем не замечал он, что его определение также включает в себя предварительно не определяемое им понятие части прямой. Тем не менее, он продолжает рассуждать и формулирует свои идеи о происхождении геометрических понятий, наших представлений о материи и пространстве.

Приближалась пора выпускного экзамена. Во всяком случае Сильвестр являлся первым претендентом - евреем, который когда-либо сдавал выпускной Тройной экзамен.

К предстоящему Тройному экзамену 1837 г. Сильвестр готовился особенно тщательно, с частным преподавателем. Этот экзамен включал в себя алгебру, геометрию, тригонометрию на плоскости и сферическую, дифференциальное и интегральное исчисление, Ньютонову механику, теорию тяготения, динамику, гидростатику, геометрическую и физическую оптику, и, наконец, в минимальном объёме теорию теплоты, света, электричества и магнетизма.

Все пять дней экзаменов Сильвестр писал неистово, напряжённо, чтобы ответить на более чем 151 вопрос полностью, исчерпывающе, и, насколько это возможно, своеобразно и оригинально. Когда были объявлены результаты, Сильвестра назвали вторым.

Он не был первым среди особо отличившихся - «врэнглеров», как хотелось бы ему, и это очень огорчало одарённого честолюбивого юношу.

Такие известные учёные, как Джеймс-Клерк Максвелл, Уи́льям Ки́нгдон Клиффорд, Уи́льям То́мсон (лорд Ке́львин), сэр Джозеф Джон Томсон, также оказывались в разные годы на втором месте среди выпускников Кембриджа.

Такие высокие показатели на Тройном экзамене давали право на отличный диплом, перед обладателем которого открывались двери многих университетов. Но Сильвестр, как настоящий еврей, не подписал присягу «истинности христианской веры», поэтому диплома ему не выдали.

У всех остальных студентов, занявших первые шесть мест, были ясные перспективы, обеспеченная работа и средства к жизни. Перед ним же была неведомая тропа.

Профессор натуральной философии

Хотя Сильвестр и не получил диплома об окончании Кембриджа, он всё же добился признания высокого результата на выпускном Тройном экзамене. После окончания Кембриджа у Сильвестра имелись уже две научные публикации, хотя и юношеские, но вполне утвердившие его серьёзность.

Перед началом следующего учебного года должность профессора натуральной философии ЛУК оказалась вакантной. Узнав об этом, Сильвестр немедленно сообщил в Колледж о том, что он претендует на освободившуюся должность.

Натуральная философия (так прежде называлась наука, ныне именующаяся физикой) - дисциплина, напрямую связанная с математикой. Стать преподавателем в Колледже, профессором — важный шаг для молодого учёного. А для Сильвестра это означало ещё и ясность, определённость в его общественном положении.

Сильвестр начал собирать рекомендации в поддержку своей кандидатуры. Он просил совет ЛУК обратить внимание на то, что сам был студентом ЛУК со дня его открытия, что его успехи в учении, характер и личностные качества известны и в Кембридже, с которым он был связан последние шесть лет.

Поначалу из 22 учёных, входящих в состав совета ЛУК, лишь несколько дали положительные отзывы о нём, остальные отозвались более сдержанно, отмечая отсутствие у него опыта как учёного и преподавателя. За него ходатайствовали некоторые преподаватели и представители совета Сент-Джон Колледжа, профессора химии и астрономии. Его кандидатуру поддержал один из членов Королевского общества и, наконец, профессор математики Олинтус Грегори, тот самый Грегори, который экзаменовал 11-летнего Джеймса. Это была впечатляющая поддержка. Каждый из тех, кто ходатайствовал за Сильвестра, описывал личность молодого учёного в страстных выражениях и яркими красками.

Грегори знал Сильвестра дольше всех. В своей рекомендации он писал, в частности: «Я знаю мистера Сильвестра с отроческих лет, и хотя наше общение, по разным причинам, прерывалось, я с особым интересом следил за развитием его интеллектуальных и научных способностей. Я считаю м-ра Сильвестра джентльменом и гением в абстрактных науках, изобретательным в математических теориях, в практических приёмах и философских суждениях. Я уверен, что на лекциях он будет всесторонне охватывать научные темы. Он сохранит подлинную независимость в реализации своих способностей в исследованиях, чтобы стать в высшей степени успешным преподавателем.»

У Сильвестра было три серьёзных соперника, претендовавших на должность профессора. Председатель Совета ЛУК, бывший учитель Сильвестра профессор математики Де Морган и другие члены Совета считали, что преподаватель университета обязан посвящать часы, свободные от преподавания, науке. Понимая, что из всех претендентов только Сильвестр, несмотря на его неопытность и отсутствие у него официального университетского диплома, отвечает всем поставленным перед ним требованиям, совет всё же отдал предпочтение именно ему.

Заняв должность профессора натуральной философии, он упорно работал, чтобы оправдать ожидания, возложенные на него. Он читал курсы лекций по таким разделам Ньютоновой механики, как теория тяготения, теория обращения небесных тел, оптика и динамика, статика и гидростатика. Он уделял также много внимания теориям теплоты, света, электричества и магнетизма. О том, что все его три годичных курса были теоретически ориентированными, можно составить себе представление, обратившись к перечню предварительных требований, которые Сильвестр предъявлял к студентам. Первокурсники Колледжа должны были уметь пользоваться алгебраическими обозначениями, оперировать пропорциями и быть сведущими в тригонометрии; на втором курсе от студентов требовалось свободно владеть теорией конических сечений, решать квадратные уравнения и ориентироваться в сферической тригонометрии; на третьем курсе – обязательным было знание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления.

Основное внимание в своей преподавательской деятельности, как уже сказано было выше, Сильвестр уделял теории. У него никогда не возникало желания быть экспериментатором. Однажды его спросили, где он хранит коробку с инструментами для черчения и рисования, на что Сильвестр ответил, что у него её никогда не было.

В течение трёх с половиной лет работы в ЛУК молодой профессор постоянно испытывал финансовые трудности из-за малого количества поступающих и их низких доходов. Но необходимость проводить эксперименты и слишком скромная зарплата – не единственные аспекты его работы, которые он считал для себя неподходящими. В лаборатории зимой была довольно низкая температура (8 – 11 С0), в одной из аудиторий вода капала с потолка. Об этом он сообщал в секретариат, но поскольку ничего не изменилось, то через пять месяцев он снова обратился в секретариат, на этот раз, видимо, собираясь уже совсем уйти из Колледжа. Он всё же не оставил надежды найти академическую должность профессора математики.

В Тринити колледже в Дублине, в отличие от Оксфорда и Кембриджа, для получения диплома не требовалось прохождения религиозного теста. Там и получил Сильвестр недостающие дипломы бакалавра и магистра.

Первый еврейский профессор Америки2-1

В 1840 г. в США в университете Вирджинии, в городе Шарлоттенсвилль освободилась должность профессора математики. Это не укрылось от внимания Сильвестра, готового отправиться, как некогда его старший брат, на другой континент. Как только Сильвестр заявил о своём желании выставить свою кандидатуру на вакантную должность, из университета Вирджинии, из американского Отдела виз и разрешений последовали запросы в ЛУК о Сильвестре.

Де Морган в своё время представлял Сильвестра в Сенате Лондона, поэтому он отвечал на все запросы и заверял, что отношения с коллегами и студентами у Сильвестра всегда складывались дружественные. Он также писал: В этой стране нет ни одного человека его возраста, у кого была бы лучшая, чем у Сильвестра, репутация оригинального математика или труды которого охватывали бы более широкий круг проблем в точных науках. Насколько мне известно о том, что он сделал, я могу смело сказать, что он очень мощный математик, хорошо знающий современные области науки и весьма упорный в достижении своих целей.

Сильвестр тем временем собирал отзывы о себе, как об исследователе, о коллеге, о преподавателе. Математик и астроном Джон Хершель, математик и изобретатель Чарльз Бэббидж, его коллеги по ЛУК и Кембриджу подчёркивали его ровный и уважительный характер.

Вскоре университет Вирджинии прислал Сильвестру предложение о занятии должности, но только на испытательный срок в один год. Получив такое предложение, он был возмущён: как может руководство университета полагать, что он совершит путешествие в Америку, где гарантируют ему работу не более чем на один год? Но, как оказалось, и ранее так поступали в этом университете со всеми другими кандидатами. И лишь после вмешательства американского посла Сильвестр принял приглашение и занял должность профессора математики в университете Вирджинии.

Сильвестру было совершенно неизвестно, что со дня основания в марте 1825 г. этого университета студенты выступали против университетских властей и европейских профессоров. Обстановка в университете была отнюдь не спокойной. Всего за год до приезда Сильвестра студент-мятежник стрелял в профессора-юриста, который пытался успокоить группу студентов, собравшихся перед его домом. Через несколько дней профессор умер от ран.

В то же время в южно-американской прессе непрерывно печатались статьи о нежелательности мусульман, евреев, атеистов и пр.

В честь вступления в должность Сильвестра, которому удалось завоевать симпатии студентов, они устроили праздничную иллюминацию.

Казалось, начало благоприятное. Но уже через месяц произошло непредвиденное: декану факультета пришло сообщение о беспорядках, устроенных компанией студентов в таверне. По свидетельству полицейского, задержавшего семерых пьяных студентов, там в течение часа собралось ещё около ста агрессивно настроенных студентов, как подкрепление в столкновении с полицией. Результат - бесчинства, повреждения имущества этой таверны, сломаны были даже двери.

По решению суда, лидера этой компании отчислили из университета, родителям его сообщников отправили письма с предупреждениями. Установлено было, что все эти студенты принадлежали к группе, изучавшей математику у Сильвестра. Как следствие, его самого оштрафовали за повреждение окон и дверей, хотя он сам к беспорядкам был абсолютно непричастен; а поскольку он не был согласен с предъявленным ему штрафом, то дело позже передали куратору студентов.

О настроениях и манере поведения студенческой молодёжи в университете можно судить ещё и по такому происшествию. Среди студентов Сильвестра было двое братьев, для которых главными были идеи и понятия южан о чести. Иногда Сильвестр, как наставник, порицал младшего брата, его манеру выражать свои мысли. Это задело студента, и однажды он заявил профессору, что тот должен извиниться, иначе будет избит. Сильвестр не счёл нужным извиняться. Тогда оба брата сговорились подстеречь профессора и приготовили тяжёлую дубинку. Братья выжидали - в тот момент, когда Сильвестр проходил мимо, младший брат ударил его дубинкой по голове. Сильвестр, предвидевший нападение, тут же нанёс ответный удар младшему брату своей тростью прямо в грудь (в трости же имелась вкладная шпага). Тот свалился на руки старшего брата с криком: «Я убит!» На самом деле у студента оказался только лёгкий ушиб.

В качестве жилища Сильвестру предоставили квартиру прежнего профессора, в которой в то время жила ещё одна семья, в ней было трое детей. Очевидно, что продуктивно работать в таких условиях Сильвестр не мог.

Сильвестр, естественно, настаивал на том, что по отношению к своевольным студентам необходимо срочно принять жёсткие меры. Но факультет счёл его доводы необоснованными. Тогда отпали всякие сомнения в том, что у него есть теперь достаточные основания для немедленной отставки из университета.

Отъезд Сильвестра из Шарлоттенсвилля был стремительным. Не теряя надежды обосноваться в Штатах, он попытался найти работу в другом американском университете. Принстонский физик Джозеф Генри пытался помочь Сильвестру занять вакантное место профессора математики, аналитической механики и физической астрономии в Колумбийском университете. Но его усилия оказались безуспешными, т. к. в административных кругах распространились слухи о том, что Сильвестр не смог справиться со студентами и поэтому его будто бы заставили уйти из университета Вирджинии. Но не только это обстоятельство послужило препятствием. Один из членов совета Колумбийского университета сообщил, что члены совета высказались против избрания еврея на должность профессора. И руководствовались они совсем не тем, что он иностранец - они поступили бы точно так же, если бы его родители были евреями из США.

20 ноября 1843 г. Сильвестр отправился в плавание из США обратно в Англию.

Актуарий страховой компании

Сильвестр испытал неудачу в своей попытке быть математиком в США и вернулся в Лондон. За минувшие два года у него не появилось ни одной новой математической статьи, не было у него теперь и шансов получить место профессора.

В декабре 1844 он поступил на работу в качестве актуария3 во вновь созданную страховую компанию. При подборе сотрудников компания отдавала предпочтение успешным членам Королевского обществ, например, Бенджамину Гомперцу4, еврею, самостоятельно изучавшему математику и принятому в Альянс страховых компаний, президентом которого был банковский магнат Натан Ротшильд.

На новой работе в служебные обязанности Сильвестра входило быть актуарием и секретарём, т. е. ответственным за корреспонденцию, заведование книгами, протоколами. Сам он об этом говорил: «Я превратился в новую фигуру и выполняю обязанности, которые 12 месяцев назад мне и присниться не могли.» Руководство компании консультировалось у Сильвестра по математическим вопросам. Находясь на ответственной руководящей должности в рискованном бизнесе, он оправдал все ожидания: страховая компания нередко добивалась успехов в тех делах, в которых участвовал Сильвестр. О своей работе в страховом бизнесе он, в частности, писал: «Я получаю нечто вроде интеллектуального удовлетворения от применения своих умственных способностей для совершенствования деталей нашей системы.»

В том же здании, где размещались офисы страховой компании, находились суд, адвокатура и другие юридические учреждения. Поскольку Де Морган изучал адвокатуру, этим же занялся попутно и Сильвестр. Как выпускник Кембриджа, имеющий звание магистра гуманитарных наук, он имел право, внося за обучение небольшую плату, учиться не пять лет, а три года для получения звания адвоката.

И всё же Сильвестр находил время для математических занятий. В рабочее время он был актуарием, а в нерабочее время – математиком. Артур Кэли, который был на семь лет моложе Сильвестра, галантный, молчаливый, окончивший Кембридж, будучи первый на Тройном экзамене, а в то время - сотрудник Кембриджа, стал его собеседником. Два математика, одновременно проходящих адвокатскую практику, нашли общий язык, несмотря на различия в темпераментах. Сильвестр был как математик экстравертом, он обогащался взаимным обменом мнений, а Кэли был интровертом - погружённым в себя. Два подающих надежды будущих адвоката часто дискутировали о математических проблемах. Кэли обращался к нему «Дорогой сэр!», а Сильвестр к Кэли «Дорогой Кэли!» Они делились идеями и обсуждали вопросы математической литературы – и дружба их с годами становилась всё более крепкой. Сильвестр весьма часто обращался к здравым суждениям друга в течение их длительного математического сотрудничества.

В английском обществе продолжалось обсуждение социальных и политических вопросов, связанных с религией. Закон 1829 г. разрешил католикам иметь места в парламенте. Но этот закон не распространялся на евреев. В 1853 г. в очередной раз лорд Рассел пытался изменить в лучшую сторону положение евреев, как это было сделано для католиков и протестантов. Когда банкира Лионеля Ротшильда вновь избрали в парламент от города Лондона, власти не разрешили ему занять место в парламенте, требуя прежде принести клятву «верности христианской вере». Судьба законопроекта лорда Рассела была предрешена – его отклонили. Правительство продолжало прежнюю политику дискриминации евреев.

Сильвестр по-прежнему оставался актуарием, получив после окончания срока обучения ещё и звание адвоката. Он вновь собирал список своих опубликованных научных трудов и рекомендации английских, французских, итальянских, немецких учёных. На этот раз для того, чтобы занять должность профессора математики в Военной академии, где появилась тогда ещё одна вакансия. Но на должность профессора академии был на сей раз избран другой кандидат.

Профессор математики Военной академии

В середине сентября 1855 г. лорд Пэнмар – секретарь нового либерального правительства Англии по военным вопросам - назначил Сильвестра профессором математики Военной академии в Вулвиче, юго-восточном районе Лондона.

Позади остались годы работы актуарием в страховой компании. Наконец-то он снова - профессор математики. Три дня в неделю он вёл занятия в академии, а остальные четыре дня мог посвятить «чистой науке».

В академии не обошлось без конфликтов: между Сильвестром и руководством возникли разногласия во взглядах на обучение будущих офицеров английской армии. Началось всё с довольно безобидного предложения Сильвестра внести поправку в текст учебника. Начальственное, «командное» отношение военной администрации к вопросам преподавательской деятельности по гражданским предметам он воспринимал, как подавление академической независимости гражданской профессуры. В своей позиции он исходил из глубокой убеждённости в необходимости академической свободы. Всё же Сильвестру удалось в споре одержать победу, так что был создан прецедент профессиональной автономии гражданских преподавателей.

Через несколько месяцев возник второй конфликт с военными; он касался количества часов в неделю, которое Сильвестр должен проводить как профессор-преподаватель с курсантами, но и этот спор удалось уладить.

Согласно положению о работе в Военной академии, как выяснилось, Сильвестр должен был уйти в отставку в 55 лет, в 1870 г. При этом академия отказывалась выплачивать ему полную пенсию и уступила лишь после продолжительных публичных дебатов, выступлений Сильвестра в столичной газете «Таймс».

Несколько лет без постоянной работы

В 1870 г. в викторианской Англии (Королева Виктория взошла на трон ещё в 1837 г.), наконец-то началась реформа образования. Был принят закон о начальном и среднем образовании, согласно которому начальные и средние школы страны должны стать нейтральными в религиозном отношении; была предусмотрена помощь детям из бедных семей. Согласно принятому Акту Оксфордского университета, университет стал открытым для студентов всех вероисповеданий. Через два года Акт Кембриджского университета установил такой же порядок и для других университетов. Отменены были и требования религиозных тестов для преподавателей и профессоров. Даже военное образование, подконтрольное Королевской комиссии, подверглось реформе.

В 1873 году Лондон посетил известный российский математик Пафнутий Львович Чебышёв. «Визит Пафнутия Львовича Чебышёва из Санкт-Петербургского университета осенью 1873 года оказался благоприятным случаем, возместившим Сильвестру несколько бесплодных предыдущих лет - и побудил его гений в едином порыве энтузиазма создать новую область науки.» 5

В пятницу вечером, 23 января 1874 года, в Королевском Институте Сильвестр выступил с докладом, озаглавленным «Новейшие открытия в превращении механического движения», идеи которого вызвали восхищение у двух слушателей - Г. Гарта и А. Б. Кемпе, длительное время занимавшихся основами геометрии и кинематики», так впоследствии писал Джордж Брюс Хэлстед, бывший студент Сильвестра. Далее он вспоминал, что «было опубликовано краткое содержание доклада Сильвестра, но в не от первого лица и в таком урезанном и искажённом виде, что живость и яркость красок были выхолощены из него5».

У Хэлстеда сохранилась уникальная рукопись - подлинник этого доклада, положившего, по мнению Хэлстеда, начало эпохе. Несколько выдержек из него, считал он, могут дать представление о том, каким характерным и неповторимым был оригинал: «Воздух России, очевидно, не менее благоприятный для занятий математикой, чем для создания гениальных сказок и песен. Лобачевский – первый, кто умерил строгость эвклидовых законов и сбил все препятствия воображаемой неколебимой необходимости, - Лобачевский родился (русский из русских) в Нижегородской губернии; Чебышёв - князь и победитель простых чисел, способный справиться с их непокорным характером и совладать с потоком их переменчивых движений и двигаться вперёд в алгебраических пределах - родился в соседней Московской области6; а нашего Кэли тоже с самого раннего детства воспитывали среди снегов Санкт-Петербурга7.

Думаю, я вправе утверждать, что простое прямое решение проблемы удвоения куба средствами механики вплоть до сегодняшнего дня не было выполнимо. Но я не хочу сказать, что при милостивом толковании его оракула, Аполлон не мог бы построить решение, которое древние геометры получали способом рисования двух параболических кривых5-1; но при этом я чувствую уверенность в том, что если бы я жил тогда и мог бы видеть своё решение, которое я мог бы показать, Аполлон наверно прыгал бы от радости и танцевал бы (как Давид перед Ковчегом Завета8), с моей утроенной клеткой в руках вместо своей лиры, перед своим собственным утроенным алтарём.» 5

...В 1875 г. в американском городе Балтиморе был создан новый университет – имени Джонса Гопкинса. Первый его президент Дэниел Кой Гилмэн находился осенью этого года в Англии, в поиске профессоров для нового университета. Эта новость дошла до Сильвестра и привлекла его внимание. Он тут же отправил несколько писем друзьям по обе стороны Атлантики с просьбой о поддержке. В адрес Гилмэна начали поступать обращения с ходатайствами о Сильвестре. Гилмэн и Сильвестр встретились, затем переписывались и в феврале следующего года договорились об условиях: $5000 годовых золотом и ещё столько же на обеспечение жильём.

Профессор математики Университета Джонса Гопкинса

Спустя 30 лет он снова приехал в Америку – и официально вступил в должность профессора математики университета. В отличие от Военной академии, в Университете Джонса Гопкинса от Сильвестра требовалось не только обучать будущих исследователей, но и создавать и публиковать оригинальные научные работы, новые результаты. Это был именно тот идеал, к которому он стремился много лет – идеал профессионального математика.

Когда Университет Джонса Гопкинса в Балтиморе отмечал первую годовщину своего существования, на торжествах присутствовал и Сильвестр - человек с необычной наружностью: невысокий и статный; острые серые глаза; совершенно седая борода; огромная куполообразная голова, окаймлённая непослушными седыми волосами. В своём выступлении Сильвестр произнёс такие слова: «Счастливы молодые люди, собравшиеся под нашим крылом, раскованные и не сдерживаемые никаким контролем, кроме старательности в приобретении знаний, и могущие позволить себе использовать все возможности для получения всестороннего образования.»

В отличие от английских университетов, Университет Джонса Гопкинса не был закрыт ни для кого из-за религиозных убеждений. Влияние религиозной политики на высшее образование претило Сильвестру. Он сам, как еврей, испытал последствия этого влияния на систему образования Англии.

Как писал Хэлстед, бывший студент Сильвестра (как уже было сказано выше), все молодые люди, полные творческих сил, устремлялись в Балтимор, как некогда стремились попасть молодые учёные в Александрию к Эвклиду8-1.

С самого начала руководство Университета Джонса Гопкинса и сам Гилмэн были непреклонны в том, что новый университет свободен от религиозных отношений и влияний. В своём иннаугурационном адресе президент Университета провозгласил: религия не должна опасаться науки, и науке нечего пугаться религии. Религия требует исполнять слово Бога, и наука должна открывать Божественные законы.

По сравнению с Королевской Военной академией, Университет Джонса Гопкинса был истинным раем для учёного. У Сильвестра было теперь всё, о чём он только мог мечтать, ему недоставало разве что Лондонского Атенеум-клуба10 . По принципу Лондонского клуба он основал новый, элитный Мэриленд-клуб, подходящий для лучших джентльменов Балтимора.

Университет устроил в честь Сильвестра торжественный обед, на который были приглашены его научные друзья. Гилмэн призвал их создать периодический Американский журнал чистой и прикладной математики под эгидой университета Джонса Гопкинса.

Семь лет, проведенных Сильвестром в Университете Джонса Гопкинса, были фактически годами возрождения его математического творчества, взлётом в его карьере. Впервые, находясь в настоящем университетском окружении, он мог возглавлять целое математическое направление. Впервые перед ним были студенты, желающие находиться в аудиториях только ради получения знаний, действительно занимающиеся научными исследованиями.

Все эти годы он руководил в университете Джонса Гопкинса научной работой аспирантов, готовивших к защите свои диссертации. Никогда прежде его талант учёного и преподавателя не раскрывался в столь полной мере: ему представилась возможность заниматься математическими исследованиями и одновременно готовить будущих исследователей.

Один из студентов Сильвестра в Университете Джонса Гопкинса описал его как преподавателя: Основная часть его лекций состояла в значительной степени из его собственных работ, как правило, «свежеиспечённых» - только что полученных - результатов.... Любая нерешённая трудность, любое предлагаемое расширение, любой возможный переход со ссылкой на другие лекции неминуемо становился у него поводом для отступления, которое его обычно поглощало, если на самом деле не уводило в сторону от исходного предмета. Почти все важные статьи, которые он публиковал, пока был в Балтиморе, возникали таким образом. Мы, слушатели его лекций, могли бы сказать, что были очевидцами создания этих трудов. Студенты не получали систематический курс лекций по какому-нибудь предмету, но у них вызывали живой интерес к нескольким предметам, и таким образом они выигрывали многое.

Сильвестру необходимо было постоянно работать над программой курсов, чтобы вовлечь студентов в творческое изучение предмета и в научные исследования. В одном из писем Сильвестра в Англию есть такие строки: «Я работаю с молодыми людьми, которые уже окончили другие университеты и получили дипломы, и это как раз то, что мне хотелось делать, имея в виду количество, качество и время проведения лекций... У меня не возникает необходимости давать какие-то лекции без удовольствия. Невозможно представить себе, чтобы у профессоров где-то были более благородные и благодарные слушатели, чем те, с которыми мы занимаемся здесь.» В письме упоминалась его группа аспирантов, для них он вёл курс лекций по современной алгебре.

Сильвестр написал тридцать статей для созданного им первого Американского математического журнала, стал первым редактором этого журнала. И, несомненно, сделал больше, чем кто-либо, для развития математических исследований в США. Он также добился того, что в университет и к получению учёной степени была допущена блестящая талантливая женщина Кристина Лэдд.

Первый еврейский профессор Оксфорда

12 февраля 1883 г. Кэли сообщил ему, что умер Генри Смит – Савильянский (по имени математика - Генри Савиль9) профессор геометрии в Оксфорде, так что образовалась вакансия в одной из наиболее престижных кафедр Англии. Сильвестр сомневался, сможет ли он занять кафедру, прежде всего, из-за возраста - ему уже было 68 лет. В 1837 г. для еврея не было возможности быть избранным на должность профессора в старинный университет. Многое изменилось с тех пор, произошли желанные перемены и в Сент-Джон Колледже Кембриджа, присвоившем ему учёные степени honoris causa и избравшем его почётным членом своего совета.

5 декабря 1883 г. он получил известие, что избран Савильянским профессором Оксфорда. Таким образом, он стал первым еврейским профессором Оксфорда, и это было первым признанием его гения именно британским университетом.

По просьбе преподавателей Оксфорда, он читал им дополнительный курс по теории матриц, подобный тому, что читал студентам в Гопкинсе. Один из преподавателей-слушателей сделал блестящее открытие в новой тогда области математики.

Основное математическое занятие Сильвестра в это время – теория матриц. Находясь в Париже, он узнал о связи между его теоретико-матричными исследованиями, с одной стороны, и работами, проводимыми на континенте норвежским математиком Софусом Ли, - с другой стороны.

Летом 1886 г., путешествуя по континенту, он радовался гостеприимству стокгольмского профессора математики Гёста Миттаг-Лефлера. Сильвестр познакомился с его коллегой Софьей Ковалевской и благодарил за доставленное удовольствие и честь быть в её обществе.

В 1887 г. Сильвестр побывал на праздничном обеде, организованном Англо-еврейской Ассоциацией. Эта организация была основана для оказания помощи в защите интересов притесняемого еврейского населения, для повышения социального, интеллектуального и морального статуса евреев в слаборазвитых странах. В этих странах помогали создавать школы профессионального обучения. Такие усилия публично поддерживали члены палаты общин и палаты лордов.

В Балтиморе Сильвестр пожертвовал большую сумму в помощь евреям, бежавшим от российских погромов.

Последние годы жизни

В то время у Сильвестра возникли проблемы со зрением и с дыханием: «Воздух Оксфорда сочтут неподходящим многие, и я один из тех, кто должен делать всё возможное для сохранения работоспособности.» Стареющий Сильвестр сам в письме упоминал о болезни глаз и о недавних тревогах, как о причинах, сделавших его неспособным творчески работать. Он даже сомневался, сможет ли подготовить обычную лекцию для своего класса. К тому же студенты Оксфорда были совсем иными, чем студенты Университета Джона Гопкинса. Сильвестр читал лекции о своих собственных исследованиях, а это не нравилось студентам Оксфорда, им достаточно было получать хорошие оценки на экзаменах. Он писал Гилмэну: «Мне кажется, что здесь пренебрегают математическими знаниями, их осуждают, и они должны выпасть, как иссохшие ветки с дерева, которое не получает питания из своих корней.»

Настроение его поэтому резко изменилось. Он был в таком состоянии, что даже готов был просить Гилмэна вернуться в Университет Джонса Гопкинса (вместе с Хэммондом, его математическим alter ego, заменившим ему в своё время Кэли) и занять место профессора.

Сильвестр руководил кафедрой в Оксфорде до последних дней своей жизни. В 1892 г., когда ему было 78 лет, Оксфорд назначил вместо него исполняющего обязанности профессора, и Сильвестр, будучи к этому времени полуслепым и страдая от потери памяти, вернулся в Лондон, где посвятил свои последние годы клубу Атенеум10.

26 февраля 1897 г. его разбил паралич, и в ранние утренние часы 15 марта он тихо скончался. Четыре дня спустя его похоронили у Западной Лондонской (Реформатской) Синагоги. Погребальная церемония была простой, на ней собрались представители организаций, сыгравших большую роль в его жизни: группа Англо-еврейкой общины, которая гордилась его достижениями и с которой он себя ассоциировал и идентифицировал в течение всей жизни; Королевского общества, оценившего его математические перспективы и в 1839 году избравшего его своим членом; Лондонского математического общества, вторым президентом которого он был, Нового Колледжа Оксфорда, где он в последние годы работал.

О характере и личной жизни

В Нью-Йорке в 1842 г. Сильвестр признался своему другу Пирсу, что у него серьёзное, романтическое и затруднительное положение, изнурительно действующее на него: «Я пока ещё мельком увидел некую особу. Напрасно потратил я несколько часов прошлой ночью, когда была минимальная возможность встретиться. Я в болезненной гонке за удачей. Раньше у нас всегда были случаи для встреч. А сейчас постоянно что-то мешает». Некая - это была мисс Мэрстон из Нью-Йорка. Сильвестр был охвачен страстью, а она казалась всё более холодной. «Её друзья, - писал он, - решительно против меня...»

В 1846 г. его американский друг Джозеф Генри в своём письме спрашивал, как ему жилось после неудавшихся отношений с мисс Мэрстон. Сильвестр ответил, что никогда не позволял ей тревожить его мысли; что он хочет быть счастлив - по крайней мере, он так думает, - если Небесам угодно будет послать ему подходящего партнёра. И... так сильно занят, что у него вся душевная энергия направлена наружу. (Кэрен Хангер Пэршэлл, женщина-автор замечательной книги о Сильвестре1, видимо, не без иронии подчёркивает его слова «сильно занят».)

Много лет спустя сын миссис Мэрстон писал другу своей матери, что «её глубокая привязанность к математику Сильвестру могла бы испортить ей жизнь. Она чувствовала, что различие религий мешает им жениться. И они расстались: он – чтобы странствовать, как метеор, перебираясь от одного университета к другому, а она – чтобы отказаться от женских компаний, от благотворительной работы с «комнатными собачками» и от «антививисекции»11.

Осенью 1852 г. года он написал письмо Барбаре Смит, 28-летней защитнице прав женщин. Он писал, что в её обществе, в беседе с нею он неизменно всё сильнее чувствует её обаяние и хотел бы быть уверенным в том, что она принимает его предложение и заверения в пожизненной преданности. В это время её приятель - редактор известной газеты - опубликовал в своей газете её анонимное эссе. Она относилась к Сильвестру, как к другу, интеллектуалу, свободомыслящему либералу. Они остались друзьями и в дальнейшем иногда переписывались.

Томас Киркмэн, окончивший Тринити-Колледж в Дублине как математик, занимался исследованиями по комбинаторике, но работал приходским священником. Поддерживая с Сильвестром дружеские отношения, он однажды в своём письме распекал Сильвестра, главным образом, из-за его личной жизни. Сильвестр в ответ выразил удивление, что такой деятельный человек, как Киркмэн, так мало постарался, чтобы добиться для себя семейного счастья и к тому же примирился со своей холостяцкой судьбой. Сильвестр однажды отметил, что Кэли более удачлив, чем он сам; в Лондоне они оба были холостяками, но впоследствии Кэли женился, вёл спокойную жизнь; дом Кэли был полон счастья; а сам Сильвестр так и не женился и всю жизнь сражался со всем миром.

Один из современников так описал Сильвестра: Сильвестр был вспыльчивым и страстным... Он никогда не писал статьи без подстрочных примечаний, приложений, дополнений, а изменения и исправления в его доказательствах были такими, что работники типографии считали свою (поурочную) работу почти невозможной... Сильвестр соответствовал популярному мнению о математике, как о человеке, погружённом в размышления и смотрящем свысока на земные дела.

Известны были его многолетнее нежелание читать работы других, неодолимая необходимость в собственном приоритете, чрезмерно высокое мнение о своих работах.

Почётные звания, награды

На основании публикаций 1837-1839 гг., как уже было упомянуто ранее, члены Лондонского Королевского общества избрали его в апреле 1839 г. членом своего общества. Совет Лондонского математического общества наградил Сильвестра медалью Де Моргана за выдающийся вклад в математику. Он был избран следующим после де Моргана председателем этого общества, иностранным членом-корреспондентом Парижской академии наук, Берлинской академии, членом старейшего научного Американского философского общества, иностранным почётным членом Санкт-Петербургской академии наук, иностранным членом Американской академии искусств и наук, почётным членом Казанского университета.

Медаль Сильвестра31 была учреждена Королевским обществом в 1901 г. Первой медалью Сильвестра был награждён французский математик Анри Пуанкаре. Георг Кантор, Джон Литлвуд, Г. Н. Уотсон, Абрам Самойлович Безикович (1952)31 и другие математики также были награждены медалью Сильвестра. Именем Сильвестра был назван один из лунных кратеров.

Портрет для Кембриджа

В январе 1889 г. Сильвестр получил письмо из своей alma mater - Кембриджского Сент Джон Колледжа – о том, что многие его друзья и поклонники из Колледжа давно высказывают желание иметь его портрет в Колледже. Сейчас, когда эта мысль стала конкретной, они спрашивают, будет ли он так добр - позировать для создания портрета. Колледж обратился к Альфреду Эмсли, «художнику – восходящей звезде в

искусстве», с просьбой сделать портрет, и он принял заказ, главным образом, потому, что слышал, что Сильвестр – яркая, колоритная фигура.

В течение февраля математик позировал художнику три долгих сеанса в его очень холодной студии, и, пока работа над портретом продвигалась, Сильвестр готовил представителя колледжа к тому, что может получиться не совсем удачный результат: «Я боюсь, что мои глаза в нехорошем состоянии и что общая душевная депрессия в то время, когда шла работа над портретом, может быть, не совсем отвечают желанию моих добрых друзей и моему.»

В апреле работа была завершена, и она получила всеобщее одобрение. Сам он говорил, что когда смотрит на портрет, то вспоминает фотографии, снятые четверть века тому назад, и думает: «Как много изменилось с тех пор!» Его портрет в Колледже! В Колледже университета, который ему, как еврею, не выдал диплома в 1837 году. Этот Колледж сейчас оказывает ему честь - его портрет будет висеть среди тех достойных, кого смущал его взгляд в те дни, когда он был студентом.

И именно это он считал самой высокой честью, которая может быть оказана человеку при жизни.

Страницы математического творчества

Первая научная публикация

Будучи ещё студентом, Сильвестр посещал семинары Кембриджского философского общества. Филипп Келлэнд, преподаватель Колледжа Королевы, на одном из семинаров представил обществу доклад «О прохождении света в кристаллической среде. Сильвестра впечатлил этот доклад, он заинтересовался состоянием «горячего» вопроса в Великобритании и на континенте.

Какова природа света? Это волновой феномен или же это действительно поток частиц? Каждая из двух теорий света - корпускулярная теория Ньютона и волновая теория Гюйгенса - имела своих сторонников. В 18-м веке в Великобритании и во Франции преобладали идеи Ньютона. В 1803 г. английский физик Томас Юнг открыл, что лучи света обладают свойством интерференции12, подобно волнам в воде или звуковым волнам в воздухе.

В 1821 г. французский физик Августин Жан Френель на основании проведенных им экспериментов и теоретического анализа развил волновую модель. Важность этих результатов и особенно их признанная сложность представляли математический вызов: упростить, рационализировать математическое описание. Изучая теорию Френеля, Сильвестр разработал свой собственный, более простой математический способ описания её и изложил его в первой своей научной статье, опубликованной в Философском журнале в 1837- 1838 гг. В статье «Аналитическое развитие френелевой оптической теории кристаллов» Сильвестр применил алгебраический подход к геометрической и физической сторонам задачи. С его точки зрения, «до сих пор мало сделано для нахождения и исследования свойств поверхности волны. М-р Келлэнд, между прочим, получил разность квадратов скоростей фронтальной плоскости в моменты, когда она образует углы с оптическими осями. Я получил каждую из скоростей в отдельности и в точной форме те же величины для кристаллов с двумя или с одной осью.» Это не было открытие, однако это было истинное упрощение математической теории двойной рефракции13, и в этом отношении это был новый результат.

Описание характеризует стиль письма Сильвестра, его образованность, эрудицию, но и некоторую поспешность. В конце статьи он сам признаётся: «За все ошибки и недостатки заранее прошу прощения, так как хотелось скорее закончить статью и чтобы видно было, как выводы получились из работ, на которые сделаны ссылки.»

Методы решения уравнений

Через пять лет после того, как был основан Кембридж-Дублинский Математический Журнал (КДМЖ), Сильвестр подготовил для него серию статей. Ему казалось, что материал заслуживает внимания и соответствует идеалам редактора Уильяма Томсона (будущего лорда Кельвина). В посланной им статье «О пересечениях, касаниях и других соотношениях двух конусов, выраженных в неопределённых координатах» он рассматривает два конуса U, V от 3-х координат x, y, z и ставит вопрос, при каких алгебраических условиях эти конусы пересекаются. Сильвестр свёл задачу к решению специального уравнения14 .

Ещё в 1707 г. Ньютон в своей Универсальной арифметике поставил задачу: при каких условиях два многочленных уравнения имеют общий корень? В течение 18-го века она занимала таких математиков, как Леонард Эйлер, Эдуард Варинг и Этьен Безу. Последний, в частности, включил алгоритм для решения задачи в свой популярный Курс математики 1764 – 1769 гг. В 1835 г. Шарль-Франсуа Штурм для решения подобной задачи нахождения вещественных корней алгебраического уравнения f(x) = 0 степени n применял алгоритм Эвклида к функции f(x) и её производной f'(x).

Занимаясь теорией исключения15, Сильвестр, также рассматривал два многочленных уравнения одной переменной степени m и n соответственно и ставил вопрос: при каких условиях у этих уравнений есть общий корень? Это привело Сильвестра к рассмотрению свойств детерминанта. Именно, если f(x) = 0 и g(x) = 0 - два многочленных уравнения от переменной х, степени m и n соответственно (m ≠ n в общем случае), то он рассматривает (m+n) . (m+n) детерминант М, составленный из коэффициентов этих многочленов специальным образом. Соответствующую матрицу называют матрицей Сильвестра. Теорема Сильвестра утверждает, что уравнения f(x) =0 и g(x) =0 имеют общий корень в том и только в том случае, если М=016.

Эта работа, как и его первое исследование о теории Френеля, показывает важную особенность Сильвестра-исследователя: с самого начала до конца своей продолжительной карьеры его подход к математическим задачам сводился к фундаментальности алгебраических методов, в противоположность аналитическим.

Современный математик В.В. Кварацхелия в статье16-1 ввёл числовую характеристику матрицы Сильвестра и рассматривал её применения.

В первом издании Ньютоновой Универсальной арифметики в 1707 г. и в посмертном втором издании в 1728 г. было опубликовано правило Ньютона нахождения изолированных комплексных корней алгебраического уравнения, но оно не было им строго доказано. В 18-м веке, например, Мэклорен и Варинг пытались доказать Правило Ньютона, но это им не удалось. Это правило, по словам Сильвестра, - «чудо и позор для алгебры». В апреле 1864 г. Сильвестр добился успеха: он доказал его для уравнений степени не выше пятой и представил статью Королевскому обществу и журналу Философские труды, продолжая в то же время напряжённо думать над общим доказательством. В первой части статьи он приводил доказательство для уравнений не выше пятой степени; и во второй части - доказательство для специального случая нижней границы числа комплексных корней уравнений определённого вида17.

Артур Кэли в Кембридже и Генри Смит в Оксфорде читали первые две части статьи и оба считали, что это впечатляющие результаты. Кэли заметил, что даже в случае только пятой степени доказательство представляет собой прекрасное и интересное исследование.

Позже Сильвестр добавил третью часть, в которой привёл критерий определения характера корней уравнения пятой степени, так что он фактически выяснил точное число вещественных и комплексных корней уравнения.

Спустя год, в июне 1865 г. Сильвестр нашёл простое общее доказательство Теоремы Ньютона. Его доклад «О предельном числе вещественных корней алгебраических уравнений» был блестяще представлен в Парижской Академии наук. Сам же он выступил перед членами Математического общества Лондона с докладом «Элементарное доказательство и обобщение до сих пор не доказанного Правила Сэра Исаака Ньютона для нахождения комплексных корней». При этом он заметил: «Длившаяся неделями упорная умственная работа уместилась на полдюжины страниц».

Современный математик Дэниель Экоста в статье Ньютоново Правило знаков для мнимых корней17-1 (2003 г.) излагает историю исследований Правила Декарта - Ньютона; приводит необходимые доказательства; обстоятельно показывает, как Сильвестр нашёл остроумное доказательство теоремы Ньютона; а также разбирает одно упущение в доказательстве Сильвестра.

Французский инженер, преподаватель, впоследствии генерал - Жан-Виктор Понселе опубликовал в немецком Журнале чистой и прикладной математики Крелля статью о методе приближённого вычисления корней однородной квадратичной формы двух переменных. Этот результат имеет прямое приложение к проблеме определения равнодействующей двух сил на плоскости и, следовательно, к проблемам механики и практическим инженерным задачам. Сильвестр обобщил его на однородные квадратичные формы трёх переменных и, таким образом, получил решение задачи для трёх сил в пространстве. Об этом он сделал доклад на годичном семинаре Британской Ассоциации Прогресса Наук (БАПН) в Оксфорде и опубликовал статью в Философском журнале (ФЖ). Через месяц он изложил на страницах этого журнала свои размышления о том, что до сих пор теорема Понселе рассматривалась по сути как редкостный, обособленный метод, но в действительности это основа обширной и богатой алгебраической теории.

В ФЖ Сильвестр опубликовал статью о распространении метода Гаусса приближённого вычисления интегралов от одной функции – на двух- и трёхкратные интегралы, и статью, в которой улучшил реультат Лежандра из его книги Теория чисел, а именно, дал необходимые и достаточные алгебраические условия для того, чтобы у кубического многочленного уравнения все корни были рациональными.

Комбинаторика, теория чисел, теория разбиений, теория графов

В апреле 1844 г. (впервые после возвращения из Вирджинии) Сильвестр напечатал в ФЖ статью, в которой рассматривал комбинаторную задачу: имеются n человек при n чётном. Сколько имеется различных способов расставить их попарно?

Следующая его работа по теории разбиений называлась «О представлении простых и составных чисел в виде суммы четвёртых степеней».

В трёх коротких заметках в ФЖ он изложил результаты об условиях, при которых уравнения вида Ах3 + Ву3 + Сz3 =Dхуz не имеют решений в рациональных числах. В заметке «Об общем решении (в определённых случаях) уравнения х3 + у3 + z3 = Mxyz» он выразил надежду, что открывает новую область, связанную со знаменитой последней теоремой Ферма и что начинает с уравнений третьей степени, так как эти результаты могут позволить найти важный и существенный подход к уравнениям степени n > 3 и к другим задачам теории чисел.

Свои первые работы по теории разбиений Сильвестр выполнил в 1850-х годах и впоследствии многократно возвращался к ним. Он доказал, в частности, следующую теорему7-1: Каждое натуральное число n>2 имеет ровно столько представлений в виде суммы последовательных натуральных чисел, сколько у него имеется нечётных делителей. При этом число 1 не является делителем, само же число n относится к ним.

Он опубликовал в 1882 – 1884 г.г. большую статью «Конструктивная теория разбиений»18-1 Современный автор Наталия Николаевна Медведева в своей статье18-1 (2010 г.) излагает историю развития графического метода аддитивной теории разбиений в работах Сильвестра и его применение к доказательству теорем о разбиениях. В статье18-2 А. Е. Малых и Н. Н. Медведева показали, что догадки о чисто комбинаторном приёме подсчета числа разбиений натуральных чисел высказывал еще Лейбниц и что впоследствии его гипотезы были подтверждены исследованиями других математиков.

Сильвестр интересовался также теорией групп и говорил с Кэли, в частности, о группах подстановок. Он получил результат в одном из направлений теории групп – в теории перестановок. При этом он добивался признания его приоритета в решении родственной «тактической», по его терминологии, «задачи о пятнадцати школьницах»: Пятнадцать девушек выходят на школьную прогулку группами по три человека все семь дней недели подряд. Требуется распределить их ежедневно по группам так, чтобы никакие две из них не оказались дважды в одной и той же группе. В несколько иной форме задача предлагалась в журнале Дневник лэди и джентльменов на призовом конкурсе 1844 г. В мае 1861 г. в статье в ФЖ Сильвестр уверял читателей, что в связи с его комбинаторными исследованиями ещё в 1844 г. ему встретился вопрос, «волнующий благородные сердца» и хорошо известный под названием «задачи о пятнадцати школьницах». Сильвестр утверждал далее, что она передавалась устно, ещё когда он был студентом Кембриджа, и он решил задачу задолго до первого появления её в Дневнике... Однако Томас Киркмэн решил эту задачу задолго до знакомства с Сильвестром. В статье19 приведены решение задачи и дальнейшая информация о ней..

В последние месяцы жизни Сильвестр был поглощён проблемой столь же знаменитой, как и гипотеза Гольдбаха - каждое чётное натуральное число может быть представлено в виде суммы двух простых чисел. В последней в своей жизни опубликованной статье «О теореме Гольдбаха – Эйлера о простых числах» (1897) он писал, что успешно разработал специальную технику в контексте теории разбиений – а именно, технику для определения количества решений в целых положительных числах некоторого числа линейных уравнений с некоторым числом неизвестных. И что эта техника даст весьма хорошую возможность проникнуть в эту гипотезу. Читателям журнала Природа он говорил, что проверил новую закономерность для всех чётных чисел от 2 до 1000.

Напомним, что совершенное число - это положительное целое число, равное сумме своих собственных делителей, например, 6 = 3 + 2+1; 28 =14+ 7 +4+ 2+1.

«В 1888 г. Сильвестр в серии статей выражает надежду, что сможет проложить дорогу к общему доказательству того, что не существует нечётного совершенного числа (НСЧ). 50 годами ранее Бенджамин Пирс доказал, что НСЧ должно иметь, по меньшей мере, четыре различных простых делителя. Сильвестр начал решение этой задачи с установления того же самого результата. Позже в том же году он усиливает этот вывод до пяти. Это открытие может помочь обозначить границу начала современной эры исследований по НСЧ. В настоящее время (по состоянию на 2003 г.) известно, что НСЧ должно иметь, по меньшей мере, восемь различных простых делителей.

Каковы мотивы неожиданного интереса Сильвестра к НСЧ? Что побуждало его периодически направлять своё внимание к знаменитым нерешённым задачам теории чисел?20».

Эти вопросы поставлены и на них даны ответы в работе (2003 г.) современных авторов Стивена Гимбела и Джона Х. Ярома20. Они также обосновали утверждения, что многие работы о НСЧ берут своё начало с серии статей Сильвестра 1888 г. и что современная эра исследований о НСЧ началась с Сильвестра.

Сильвестр также рассматривал метод, который его российский друг Чебышёв разработал для нахождения верхней и нижней границы теоретико-числовой функции π (х) – числа простых чисел, меньших данного числа21 х. В своей работе Сильвестр немного улучшил эти границы.

В книге Сильвестра Химия и алгебра (1870) впервые появился термин граф, ставший общепринятым в науке. Сильвестр использовал понятие дерева и дал определение дерева с выделенным корнем и соответственно ветвей и листьев такого дерева.

В своих работах он применял, как он выразился, «метод валентности». Этот новый «метод валентности» – то, что сейчас называют теорией графов. Он возвращался к своей прежней работе «О приложении новой атомной теории к графическому представлению инвариантов и ковариантов бинарных квантик», опубликованную в 1878 г. в первом томе Американского математического журнала.

Сильвестр работал над теорией графов, и в это же время независимо от него этой теорией занимался датский математик Юлиус Петерсен. Но Сильвестр никогда не готовил для рассмотрения и не опубликовал ни одной своей собственной работы по теории графов. Статья же Петерсена появилась в 1891 г. под названием «Теория регулярных графов», и это был первый большой вклад в математическую теорию графов. Сам же термин регулярный граф принадлежит, очевидно, Сильвестру.

Теория матриц

В ноябре 1850 г. он ввёл понятие, которое в печатной работе упоминается как бы мимоходом, а именно понятие матрицы. По определению Сильвестра, матрица – это прямоугольное множество элементов, которое может порождать, как из чрева общего родителя, различные системы детерминантов.

В 1852 г. Сильвестр доказал закон инерции квадратичных форм22-1: Если А – вещественная симметрическая матрица, соответствующая квадратичной форме, и S – некоторая обратимая матрица такая, что матрица D=SAST является диагональной, то число отрицательных элементов диагональной матрицы D всегда одно и то же для всех указанных S, и то же самое имеет место для числа её положительных элементов. Он доказал также критерий положительной определённости квадратичных форм22-1: Для положительной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры её матрицы были положительны. Доказательство критерия Сильвестра основано на методе Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

Во время работы в Университете Джонса Гопкинса Сильвестр, читая лекции аспирантам, развивал свои идеи в теории матриц и изложил в заметках для журнала Доклады Парижской Академии наук. В частности, он рассматривал характеристическое уравнение, ассоциированное с квадратной n х n матрицей М, а именно, уравнение det(M – x·I) = 0, где I – единичная n х n матрица. Его интересовало, какие вещественные значения х удовлетворяют этому уравнению и каковы их свойства. В то же время он выяснял, при каких условиях n x n матрица М является унитарной, т.е., по определению Сильвестра, Мi = I для заданного положительного целого i. Для индуктивного, экспериментального подхода Сильвестра к математике характерно, что от частных вопросов он переходил к более широким, общим проблемам и стремился, например, построить теорию матриц самой по себе.

Кэли напомнил ему о своей статье, посвящённой матрицам, напечатанной в 1858 г. в журнале Труды Королевского философского общества. Тем не менее в письме к известному французскому математику Шарлю Эрмиту Сильвестр просил представить свою статью о матрицах на очередном заседании Парижской академии. При этом он обрисовал ситуацию, отстаивая новизну своих результатов. Он писал далее, что Кэли признаёт, что теория Сильвестра совершенно новая. Сильвестр не был знаком с мемуарами Кэли о матрицах 1858 г. и 1866 г., в которых Кэли первым заложил основы теории, но Кэли также первым согласился с тем, что Сильвестр создал расширенную, новую теорию с неожиданными решениями.

Перед отъездом из Университета Джонса Гопкинса он подготовил к печати цикл лекций по матричной алгебре, впоследствии опубликованный в Американском математическом журнале.

Немецкий математик Макс Нётер считал, что «Сильвестр несомненно был комбинаторно-алгебраическим гением».

Теория инвариантов

Джордж Буль опубликовал в 1841 г. работу «Описание общей теории линейных преобразований». В ней он рассматривал некоторые выражения для коэффициентов гомогенного полинома двух переменных, остающиеся неизменными при линейном преобразовании полинома22. Сильвестр читал эту статью и в своей статье 1850 г. рассматривал более общие аспекты работы Буля о линейных преобразованиях, и этот феномен неизменяемости, о котором Буль говорит в нескольких местах своей статьи, Сильвестр позже назвал инвариант. Хотя он в эти годы был актуарием днём, а математиком ночью, - он настойчиво продолжал алгебраическо-геометрические исследования, начатые ранее, чтобы постичь значение активной и схожей с ним работы, выполненной на континенте, прежде всего, во Франции и в Германии. Именно с такой точки зрения он вместе с Кэли обсуждал статью кёнигсбергского математика Отто Гессе23 о приведении гомогенной кубической функции от х1, х2, х3 к каноническому виду.

В статье 1844 г. Гессе рассматривал более общий случай гомогенной функции f степени m от n переменных х1, ..., хn и ввёл детерминант n х n, который Сильвестр впоследствии назвал гессиан. Гессе рассматривал задачу: если Т –линейное преобразование, такое, что detТ = r и если φ – гессиан от f, а φ1 – гессиан от Т(f), то φ1= r2 φ. Это был ещё один пример инварианта, но с той лишь разницей, что гессиан был выражением от коэффициентов и от переменных функции f, которое остаётся неизменным при линейном преобразовании.

Сильвестр признал, что свойство неизменяемости было упомянуто ранее в работе Гессе, и размышлял о том, можно ли найти «общую точку зрения» о связи между функциональным детерминантом Гессе и «обычным постоянным детерминантом функции». «Прошло немного времени, и я понял», писал Сильвестр, «что они представляют собой два конца одной цепи: на одном, «Гессе-конце», находятся все гомогенные функции, а на другом - только алгебраические функции». Тем не менее он в своём опубликованном наброске статьи протестует против присвоения его метода д-ром Гессе, который через четыре года после публикации его, Сильвестра, фундаментальной идеи в ФЖ, не указывает, что его метод идентичен общему методу Сильвестра. И это при том, что в Берлине и в Кёнигсберге известны были работы Сильвестра.

В опубликованной в КДМЖ статье «К общей теории ассоциированных алгебраических форм» Сильвестр рассматривал гомогенный полином и линейное преобразование его переменных с детерминантом, равным 1. В частности, он дал определение - впервые в своей печатной работе – понятий инвариант и ковариант, ассоциированные с данной формой. Согласно Сильвестру, инвариант – это «функция от коэффициентов формы, значение которой остаётся абсолютно неизменным, когда вместо данной формы будет подставлена некоторая линейно-эквивалентная ей форма», а ковариант – это подобное же неизменяемое выражение, содержащее, кроме коэффициентов, также и переменные (величины) формы. Первоначально ему казалось, что это изложение фундаментального математического свойства неизменяемости, которое он рассматривал в различных работах, появляется в печати впервые. На самом же деле эти понятия он находил в другой форме и в работе Шарля Эрмита, и об этой работе он также упоминал в своей статье.

В опубликованной в ФЖ статье под сенсационным названием «Выдающееся открытие в теории канонических форм и гипердетерминантов» Сильвестр приводит новый, более простой способ применения линейных преобразований гомогенного полинома степени 2n+1 от х и у, для приведения его к каноническому виду. На примере24 он показывает инвариант преобразования и даёт более точное определение инварианта25. Далее он говорит о введении новых понятий, о значении терминологии. «Названия, конечно, важны для развития мышления, и нахождение действительно хорошего необходимого термина, не употреблявшегося ранее и признанного теперь, особенно важно при создании новой теории». Как уже было сказано выше, он сам называл себя «математический Адам». А о том, как ему пришла в голову мысль о новой теории, он шутя вспоминал, что это произошло однажды вечером, когда он сидел в заднем дворе офиса страховой компании за столом «с графином портвейна для поддержания сил».

Он также привлёк к занятиям теорией инвариантов ирландского математика Джорджа Сэлмона и неизменно уважительно упоминал Кэли в своих статьях. А Кэли прислал Сильвестру письмо, которое означало «свидетельство о рождении» теории инвариантов: Каждый инвариант удовлетворяет приведенной в письме системе уравнений26.

Сильвестр опубликовал в КДМЖ статью «Основы вычисления форм» и рассматривал различные вычислительные способы нахождения инвариантов. Как и в статье «Выдающееся открытие...», он ставит вопрос: «При каких условиях бинарная квадрика (гомогенная полиномиальная форма от двух переменных х и у 4-й степени) может быть наиболее простым образом приведена к сумме двух квадрик (4-х степеней) с помощью линейных выражений? Ответ на этот вопрос сводится к вычислению детерминанта27, составленного из коэффициентов формы, и к нахождению значений величин, при которых детерминант обращается в нуль.

В письме к своему другу, немецкому математику Карлу Борхарду Сильвестр снова обвинял Отто Хессе в плагиате – присвоении работ по теории инвариантов. В ответном письме Борхард напомнил, что ещё Гаусс в своих Арифметических исследованиях в 1801 г. заметил, что дискриминант бинарной квадратичной формы обладает инвариантным свойством. Готтгольд Эйзенштейн в декабре 1843 г. распространил результат Гаусса на бинарные кубические формы. Через год Гессе изложил свои результаты, а ещё через пять лет его студент Зигфрид Аронгольд развил работы своего учителя.

Заметим, что Карл Борхард, Отто Людвиг Гессе, Зигфрид Аронгольд, как и Готтгольд Эйзенштейн - немецкие еврейские математики. Карл Якоби создал в Кёнигсберге первый в Германии физико-математический семинар - школу, из которой вышли упомянутые выше математики. Отто Гессе и Пауль Гордан были учениками Якоби.

Карл Борхард писал Сильвестру: «Если бы Гессе знал Вашу статью, ...он мог бы совершить плагиат. Но я очень хорошо знаю Гессе и могу уверенно сказать, что Гессе не способен на плагиат. В математике часто случается, что, не имея достаточной информации о литературе, публикуют статьи с новыми результатами, а они были ранее получены другими авторами. Такие недосмотры должны, конечно, корректироваться, но если в каждом случае выдвигается обвинение в плагиате, то это несправедливо.» (1, стр. 118-119)

Сильвестр не раз ездил во Францию, чтобы ознакомить французских математиков со своими статьями и беседовать с Эрмитом, Штурмом, с Лиувиллем – редактором французского Журнала чистой и прикладной математики. Сильвестр сам знакомился с опубликованными работами Эйзенштейна, Аронгольда, Эрмита по теории инвариантов. В результате этого научного обмена он пришёл к заключению, что становление теории инвариантов действительно происходило на интернациональной арене.

Сильвестр и Кэли занимались также анализом структуры инвариантов: Каковы инварианты заданной бинарной формы? Могут ли они быть выражены через некоторые, в каком-то смысле, фундаментальные инварианты? Нахождение минимальной системы алгебраически независимых инвариантов для данной формы - вот что, по выражению Сильвестра, представляет собою «айсберг проблемы».

В своём докладе «О современном состоянии теории инвариантов» (1892 г.) немецкий профессор д-р Франц Мейер28 писал: «В цикле публикаций Сильвестра 1851 -1854 гг. мы уже видим, как появляются основы общей теории, охватывающей элементы различных ветвей будущей дисциплины... Тем самым Сильвестр начинает объединять с единой точки зрения результаты своих предшественников.»

Работая в Университете Джонса Гопкинса, Сильвестр, после десятилетнего перерыва, вернулся к теории инвариантов, а именно, к той точке, где он и Кэли прервали свои исследования. Сильвестр, читая вводный курс теории инвариантов, заметил: «Подобно тому, как говорят, что все дороги ведут в Рим, так и в моём случае я считаю, что все алгебраические задачи, рано или поздно, приводят в столицу современной алгебры, на воротах которой начертано: «Теория инвариантов.»

Теорией инвариантов занимались представители немецкой школы Альфред Клебш и Пауль Гордан.

Как писал Герман Вейль29 (здесь и далее мы, в основном, излагаем статью Германа Вейля29), «время первых занятий Гордана теорией инвариантов совпало с началом нового этапа в ней. Он сделал первый прорыв в проблеме инвариантов. За это ему присвоили титул «короля инвариантов». Общая проблема была названа в его честь «проблемой Гордана»: Существует ли базис, т.е. конечная система инвариантов, через которые рационально или полиномиально выражается любой другой из бесконечного числа инвариантов? Гордан в 1868 г. с помощью вычислений доказал существование конечного базиса для бинарных форм, простейших из всех алгебраических форм».

В ранее опубликованной статье Кэли минимальный базис ковариантов бинарной квинты – бесконечный. Доказательство Кэли оказалось ошибочным. Это упрочило репутацию Гордана и подвергло сомнению технику британской школы «инвариантных близнецов», как называли Сильвестра и Кэли. Кэли начал процесс реабилитации своей «британской» техники, пытаясь её средствами доказать теорему Гордана. Более того, поскольку метод Гордана не предоставляет эффективного способа прямого вычисления минимального порождающего базиса инвариантов, то британцы весьма спокойно отнеслись к этому вопросу. Кэли в опубликованном мемуаре о квантиках использует теорему Гордана в контексте британского подхода к вычислению минимального числа порождающих ковариантов бинарных квинтик. При этом он выражает надежду, что будет получено простое доказательство теоремы Гордана.

Сильвестр также пытался реабилитировать метод Кэли и решал задачу для последовательных степеней гомогенных форм с пятой до восьмой. Своим студентам он давал упражнения по применению британской техники вычислений. Ему не только хотелось реабилитировать британский метод, но и вытеснить немецкую технику. Он даже писал в одном письме, что нашёл общее решение проблемы не только для бинарных форм, как у Гордана, но и для форм от n переменных – так он сообщил Эрмиту. Такое ошеломляющее известие немедленно вызвало письмо другого французского математика, Камила Жордана, который занимался проблемой для тернарных (троичных) форм без существенного успеха, - и потому он обратился к Сильвестру с просьбой опубликовать полное и подробное описание его метода как можно скорее. Этому желанию Жордана, к сожалению, не суждено было сбыться. У Сильвестра не было такого общего результата, а если бы он был тогда, то это было бы выдающееся конструктивное и переломное доказательство теоремы о конечном базисе.

Сильвестр однажды писал Кэли, что наконец-то он нашёл британский стиль доказательства теоремы Гордана о конечной базисной системе. Три дня спустя он, однако, признаётся, что «теорема, которую я послал, неверна - она исходит из некоторого нового принципа, - правильного, но применение принципа было ошибочным».

Кэли в своём раннем мемуаре рассматривал два отдельных близких вопроса для данных бинарных квантик: 1) каковы элементы минимального базиса и каковы их количество и значения; 2) каково максимальное число линейно независимых ковариантов данной степени и порядка. В то время как вывод Кэли относительно вопроса 1) в случае бинарных квинтик доказан ошибочно, - его работа по т.н. «вычислительному вопросу» 2), казалось, выдержала проверку временем. Однако ещё одну существенную брешь в работе Кэли обнаружил итальянский математик Франческо Фаа ди Бруно, показавший, что другая часть анализа Кэли также вызывает сомнения.

В ответ на просьбу Сильвестра найти последние публикации о минимальном числе порождающих элементов, - Джордж Сэлмон обратил внимание Сильвестра на книгу ди Бруно. Фаа ди Бруно утверждал, что в своих вычислительных доказательствах теоремы Гордана Кэли неявно предполагает, что определённые элементы уравнений являются линейно независимыми. Но фактически это не так.

Через некоторое время Сильвестр, однако же, ликующе сообщил Кэли, что он открыл «строгое доказательство» теоремы, которое не только полностью решает вопрос о линейной независимости, но оно «такое простое, что его можно дать студентам моего класса». Фактически же он потом снова нашёл у себя ошибку.

В ответ на появившуюся статью Давида Гильберта, Кэли в январе 1889 г. отправил в журнал Феликса Клейна Математические Анналы статью «О конечном числе ковариантов в бинарных квантиках». В ней Кэли приводит британский способ доказательства теоремы Гордана о конечной системе бинарных квадрик.

Гильберт в своей статье приводит более простое современное доказательство результата Гордана. Со своей стороны, Кэли полагал, что с помощью британской вычислительной техники он намного упростил доказательство Гильберта. Возможно, в результате долгого поиска им было бы найдено доказательство с использованием британской техники, но изложенное им на этот раз доказательство тоже было ошибочным.

Интересно, что Клейн – редактор – знал, что оно ошибочное; оба его референта, Гильберт и Гордан, указывали на ошибку. Однако Клейн дал Кэли возможность выбора: либо забрать заметку, либо всё-таки печатать её. В последнем случае Клейн должен непосредственно после статьи поместить возражение. Как Клейн рассказывал Гильберту, «с упрямством старого джентльмена Кэли выбрал второй вариант».

Когда Клейн спросил Гильберта, напишет ли он обещанную критику, Гильберт отказался, не желая ни видеть перед собой нескромность, ни задевать чувства Кэли. По его мнению, как только Кэли увидит перед собой напечатанный текст, он сам заметит, что он ошибочный. Гильберт говорил: «Публикация Кэли, по крайней мере, заслуживает того, чтобы внимательный читатель увидел её и узнал, почему каждый шаг моего доказательства является необходимым.»

Одним из таких внимательных читателей был датский математик Юлиус Петерсен. Находясь в Копенгагене, Сильвестр, очевидно, упоминал Петерсену о письме, полученном им от Кэли. В этом письме Кэли набросал доказательство, опубликованное Гильбертом. Когда Сильвестр подробно рассказал о докладе, который он ранее представил математическому обществу Оксфорда, Петерсен сразу же увидел ошибку. После отъезда Сильвестра в Лондон он написал Клейну о сути дела и заявил: «Я не могу не заметить, что это доказательство ошибочное.» Сам же Гильберт предусмотрел, кто мог бы «установить ошибку», и Клейн спрашивал Петерсена, может ли он написать возражение.

Сильвестр недоумевал, как «такой гений и ветеран, как Кэли, позволил себе обмануться, будто он начинающий и впервые столкнулся с трудным вопросом». Но Сильвестра интересовало именно корректное доказательство Гильберта. В одном месте этого доказательства Гильберту необходимо определить, имеет ли решение диофантова система n-1 гомогенных линейных уравнений для n(n-1)/2 неизвестных при целых положительных n. И благодаря одной из теорем Гордана, он знал, что эта система имеет решение. А это была именно система уравнений, которую Кэли в своём доказательстве избегал. И это была та же система уравнений, которая интриговала Сильвестра и Петерсена. В своём доказательстве Гильберту достаточно было знать, что решение системы существует; Сильвестр и Петерсен хотели найти само это решение. По приглашению Сильвестра, Петерсен приезжал в Англию. Сильвестр снова писал Клейну, а тот посылал копии Гильберту, чтобы узнать его мнение. Гильберт отвечал, что ему интересно узнать и видеть, как работает Сильвестр с диофантовыми уравнениями. «Его результаты действительно глубокие», говорил Гильберт. Для 75-летнего Сильвестра заниматься математикой означало получить явное представление результата. Гильберт же, 28-летний «несносный ребёнок», делающий первые осторожные шаги, был представителем т. н. современной математики: совершенно общие теоремы существования были ему более интересны, чем многочисленные вычисления и перебор различных случаев. Это было столкновение нового со старым в математике.

Как писал далее Герман Вейль29, Гильберт сначала дал более короткое и простое непосредственное доказательство теоремы Гордана для бинарных форм.

6 сентября 1888 года Гильберт послал короткую заметку в Известия Гёттингенского научного общества. В этой заметке он дал набросок совершенно неожиданного и оригинального способа доказательства теоремы Гордана, годного одновременно для форм от любого числа переменных. Это известие о решении знаменитой проблемы застало всех врасплох, и первой реакцией было полное недоверие. Отбросив сложный вычислительный аппарат, Гильберт свёл проблему, по существу, к следующему вопросу: «Пусть задана бесконечная система форм от конечного числа переменных. При каких условиях существует конечная система форм, через которую все другие выражаются в виде линейных комбинаций, коэффициенты которых - целые рациональные функции от тех же переменных?». Ответ, к которому он пришёл, состоял в том, что такая система форм всегда существует. Это сенсационное доказательство существования конечного базиса системы инвариантов основывалось на одной лемме о существовании конечного базиса модуля, математическую идею которой он почерпнул при изучении работ Кронекера. Лемма была такой простой, что казалась почти тривиальной. Тем не менее доказательство общей теоремы Гордана являлось её непосредственным следствием.

При доказательстве конечности базиса системы инвариантов не использовалось его явное построение, как это пытались сделать Гордан и другие. Не нужно было даже указывать на метод его построения. Всё, что требовалось, — это доказать, что конечный базис, по логической необходимости, обязан существовать, ибо в противном случае получается противоречие. Именно это и сделал Гильберт. Тогда Гордан заявил: «Это не математика. Это теология».

Когда в Гёттингенских Известиях была напечатана подробная статья Гильберта, тогда переменил своё отношение к нему Гордан. Он писал, что доказательство Гильберта было «абсолютно верным».

В основополагающей работе 1892 года Гильберт предложил метод, позволяющий, по существу, за конечное число шагов получить искомую конструкцию. И теперь, используя теорему существования, Гильберту удалось получить построение. Сам Гордан любезно признал: «Я убедился, что у теологии есть свои преимущества».

В своём докладе на Международном конгрессе математиков в Чикаго Гильберт подытожил историю теории инвариантов и свою долю участия в ней: «В истории математической теории легко различаются три фазы развития: наивная, формальная и критическая. Что касается теории алгебраических инвариантов, то её первых основателей Кэли и Сильвестра можно рассматривать как представителей наивного периода: разрабатывая простейшие понятия инвариантности и изящно применяя их к решению уравнений первой степени, они испытали радости первооткрывателей. Клебш и Гордан, которые изобрели и довели до совершенства символическое исчисление, были лидерами второго периода. Критический период нашёл своё отражение в теоремах, которые я перечислил выше.» Теоремы, на которые он ссылался, были его собственными. В заключение своей последней работы по инвариантам Гильберт писал: «Мне кажется, что тем самым важнейшие цели теории функциональных полей инвариантов достигнуты.»29

Задачи в газете Таймс учебная

Со дня основания газеты Таймс учебная в 1864 г. и до 1899 г. (через два года после смерти Сильвестра) не было ни одного года, когда бы в ней не появлялась хотя бы одна его математическая задача. Вот, например, одна из них: У меня есть много купюр достоинством только в 5d (дол) и 17d. Какова купюра наибольшего достоинства, которую я не мог бы разменять с помощью комбинации двух купюр указанного достоинства. (Ответ 63d.) Это одна из задач «с решениями».

Фердинанд Г. Фробениус поставил задачу: Какова монета наибольшего достоинства, которую невозможно разменять с помощью комбинации двух монет достоинства a и b? Или в общей форме: Даны два положительных целых числа a и b. Каково наибольшее число g(a,b), которое невозможно представить в виде линейной комбинации a и b. Эта задача и её обобщение на a1 , a2, ...., an монет называется задачей Фробениуса о размене монет. Сильвестр нашёл простую формулу для случая n= 2: g(a,b)= a·b - (a+b). Было много попыток найти формулы или алгоритмы для n > 2. Эффективный алгоритм для вычисления g(a,b,с)30 был построен лишь примерно через 100 лет после публикации Сильвестра

В 1893 г. Сильвестр сформулировал задачу (также напечатанную в Таймс учебной): На плоскости дано конечное число точек, причём такое, что любая прямая, проходящая через две данные точки, содержит еще одну данную точку. Доказать, что тогда все данные точки лежат на одной прямой. Современные математики С. Табачников, В. Тиморин в статье Задача Сильвестра28-1 (очевидно, 2009 г.), представили историю и различные доказательства и обобщения теоремы Сильвестра.

Страницы поэтического творчества

Поэзия и законы стихосложения

Сильвестр, как писал один из упомянутых выше его современников, был оратором и если не поэтом, то, по крайней мере, сам он гордился своей поэзией.

Имеются сообщения о том, что у него был хороший голос, приятный тенор, что одно время он занимался вокалом у французского композитора Шарля Гуно, пел с друзьями в небольших компаниях.

Сильвестр переводил стихи с французского, немецкого, итальянского, греческого языков и латыни, сочинял оригинальные стихотворения. Вот один из его переводов с итальянского30:

Очи! Звёзды негасимые,

Вы – беда моя, бессилен я!

Очи ты сомкнёшь – обмирает сердце,

Глянешь на меня – и куда мне деться!

 

Перевод с английского Инессы Розенфельд

В 1870 году Сильвестр опубликовал книгу Законы поэзии: или принципы стихосложения с примерами метрических переводов 30-1, которой очень гордился. Как уже говорилось выше, он любил подписываться «Сильвестр, автор Законов стихосложения».

В книге, как поясняет Сильвестр, речь идёт об искусстве ритмического сочинения, а это искусство, пишет он далее, «подобно некоторым другим видам изящных искусств, может быть сведено к некоторым правилам и определённым принципам, на которых оно основывается». По его мнению, поэзия может быть разделена на триады - звук, мысль и слово (т.е. мысль, одетая в слово), или, «пневматическая», «лингвистическая» и «ритмическая» компоненты. Хотя каждая из них имеет свои собственные законы, он сосредоточивается на ритмической компоненте, которую разделяет на три ветви – «метрическую», «хроматическую» и «синектическую». Синектическая компонента включает в себя «непрерывную», которая сама разделяется на три ветви, из которых наиболее важная - «фонетическая сизигия 30-2».

При сочинении стихов, говорит он, необходимо следить за сизигией, чтобы надлежащим образом обеспечить связь, соединение частей, иначе стихосложение не заслуживает названия поэзии. При стихотворном переводе сизигия позволяет поэту выбрать слово, которое лучше подходит по смыслу, и в то же время она сохраняет звуковые качества оригинала. Сизигия включает в себя непрерывность, или повторяемость, звука, отражающую смысл строки или строфы. Ведущим принципом Сильвестр считал закон непрерывности звука и непрерывности интеллектуального впечатления.

Заметим, что в начале 1850-х гг., занимаясь теорией инвариантов, Сильвестр пришёл к исследованию математической проблемы сизигии и опубликовал статьи на эту тему, в частности, «К теории сизигитечиских отношений».

Читатель Законов стихосложения должен постигать эти законы внутренним чутьём или же из подстрочного комментария о мыслительных процессах, приведших Сильвестра к «правильному» построению фразы в его переводах. Он анализирует примеры своих переводов, в частности, из Горация, Шиллера, Гёте и др. поэтов. Есть в его книге и стихи, авторов которых он называет анонимными, но наиболее вероятно, что автор их – он сам.

Для Сильвестра Законы стихосложения означали некий высокий уровень интеллектуальности, однако публика недопоняла его. В газете Таймс появились критические статьи, в частности, о сизигии, как о центральном законе поэзии. В одной из книг, выпущенных современником Сильвестра, автор называет именно «фонетическую сизигию», введенную Сильвестром в Законах стихосложения, удачной формулировкой и полагает, что это подлинный вклад в терминологию науки о поэзии30-3 .

Сильвестр верил в то, что миром управляют законы и что подобно тому, как математическая или музыкальная гармонии подчиняются законам, так же должна подчиняться им и поэзия. Непрерывность, по его мнению, это то общее, что объединяет музыку, математику и поэзию; вообще всё, что в мире существует, подчиняется определённым законам. Сильвестр риторически вопрошал: «Разве нельзя охарактеризовать музыку как математику чувств, а математику – как музыку ума?»30-4

Ода «Апостроф Кеплера»30-5, признанная лучшим его оригинальным стихотворением, проникновенно изображает страстную свободолюбивую натуру мыслителя 30-6.

Апостроф Кеплера

1

Да! не затерян будет он,

Мой путь во тьме времён,

В ряду немеркнущих имён

Навек запечатлён.

2

Потоком огненным, искрясь,

Льёт звёздный дождь ночной,

Но ярче пламенеет страсть,

Владеющая мной.

3

Гнев, гребни океанских волн –

Душа кипит во мне –

Монарх в клетѝ, в цепях, в неволе,

Лев пленный в западне.

4

Богатство, гордый сан, почёт –

Не преклоню колен.

Но шею предо мной согнёт

И великан надменный.

5

Повелевать – таким я создан был,

Дал силы восставать мне Бог,

В мою ладонь свой скипетр вложил,

И óчи мечут молнии Его.

6

Венец терновый славы – обречён,

Венчает храм моих мучений Он.

И именем я буду наречён,

В котором смысл божественных имён.

7

Меня, первоизбранника, почтит,

Галактика, сияньем озарится.

Пророческий мой голос прозвучит

И вечно на Земле он повторѝтся.

8

Вращения Земли усталый стон

И непреклонность, прямота осѝ -

Иной удел увидев, небосклон

Моё чело слезами оросит.

9

Созвездия чудесных звёзд узрѝт,

Что обликом моим привлечены,

А славы колесница воспарит

К светилам неземной величины.

10

Звучи, души высокая струна!

О, торжествуй, весельем, песнопением.

Бессмертная свобода мне дана

И бренных уз земных переплетения.

11

Величье разуму такому суждено,

Который в испытаньях утвердится,

Был выдержан, как крепкое вино,

Как сплав стальной, в горниле закалится.

12

Но честолюбия поток нахлынет,

Тот разум опьянённый затопив,

В котором верность стойкая застынет,

В упрямую гордыню превратив.

Перевод с английского Инессы Розенфельд

Однажды профессор Г. Н. Уотсон (George Neville Watson, 1886-1965) нашёл на лотке с книгами по шесть пенсов маленькую книжку Законы стихосложения. По заметкам, сделанным на полях от руки, он определил, что книга принадлежала лично Сильвестру и решил, что она должна храниться там, где Сильвестр был наиболее счастлив. Благодаря этому, Математический Институт Оксфорда обладает его личной копией Законов Стихосложения30-6 .

Примечания

1 Karen Hunger Parshall, James Joseph Sylvester: Jewish Mathematician in a Victorian World. Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2006. Pp. xiii+461. ISBN 0-8018-8291-5 (основной источник, использованный в работе над данной статьёй)

В качестве дополнительных источников были использованы следующие статьи:

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Sylvester.html

James Joseph Sylvester Article by: J J O'Connor and E F Robertson

http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/sylv/sylvchap.pdf

Chapter 8 JAMES JOSEPH SYLVESTER.

http://de.wikipedia.org/wiki/University_College_London#Geschichte

Ссылки на другие источники приводятся в тексте статьи.

Портрет 1840-х гг. художника Дж.Пэттена

http://artsandsciences.virginia.edu/mathematics/aboutus/history/bios/sylvester.html

1-1 Пятикнижие»-«Бытие», 2:19

2 Предмет натуральной философии, как и физики, - изучение природы пространства, времени, полей и вещества.

2-1 Lewis S. Feuer, "America's First Jewish Professor: James Joseph Sylvester at the University of Virginia," American Jewish Archives 36 (1984), 151-201.

3 Актуа́рий — специалист по страховой математике, владеющий теорией актуарных расчетов. Занимается разработкой методологии и исчислением страховых тарифов, расчетами, связанными с образованием резерва страховых взносов по долгосрочным видам страхования, определением размеров выкупных и редуцированных страховых сумм, а также ссуд по договорам страхования жизни и пенсий.

4 Бенджамин. Гомперц (1779 - 1865), как еврей, не был допущен в университет - и он изучал математику самостоятельно. В 1819 г. его избрали членом Королевского общества. Имя Гомпертца связано, в основном, с законом Гомпертца (смертности), демографическая модель которого была опубликована в 1825 г. Она применялась в страховых компаниях для подсчёта стоимости страхования жизни.

5 http://poncelet.math.nthu.edu.tw/disk5/js/biography/sylvester.pdf

American mathematical monthly Vol. IV. June-July, 1897 No. 6-7.

Biography James Joseph Sylvester, LL.D., F.R.S. by George Bruce Halsted

5-1См. ст. Удвоение куба

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B4%D0%B2%D0%BE%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BA%D1%83%D0%B1%D0%B0

6Пафнутий Львович Чебышев родился 14 (26) мая 1821 года в деревне Окатово, Боровского уезда, Калужской губернии в семье богатого землевладельца Льва Павловича, всего в этой семье родилось 5 сыновей и 4 дочери. Первоначальное воспитание и образование получил дома, грамоте его обучила мать, арифметике и французскому языку — двоюродная сестра. Кроме того, с детства Пафнутий Львович занимался музыкой. В 1832 году семья переезжает в Москву. В Москве с П.Л. математикой и физикой занимался Платон Николаевич Погорельский, один из лучших учителей Москвы (у него в том числе учился И.С.Тургенев).

7Артур Кэли родился в Ричмонде (Лондон), Англия. Его отец торговцем поселился в Санкт-Петербурге (Россия). Его мать, согласно некоторым источникам, была русской. Артур провёл свои первые восемь лет в Санкт-Петербурге. В 1829 году его родители переехали в Блэкхис вблизи Лондона (ныне район Большого Лондона).

7-1http://de.wikipedia.org/wiki/James_Joseph_Sylvester

8http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/3e9a2b8b-80ab-43d7da52730cba30c99/Car_David_opis.htm

Царь Давид, танцующий перед Ковчегом Завета (Картина Конец XVII в.) Как только первые победы обеспечили Давиду внешнеполитическое спокойствие, он начал превращать Иерусалим в культово-религиозную столицу. Ковчег Завета со времени его возвращения из земли Филистимской находился в Кириафиариме (Кирьят Иеарим) (1Цар.7:1). Под ликование народа торжественная процессия, возглавленная самим царем, который при этом "скакал, что есть силы пред Господом", доставила несомый левитами Ковчег в столицу, где он был помещён в заранее устроенную скинию.

8-1 http://mathem.h1.ru/eevklid.html

Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Научная деятельность его протекала в Александрии, где он создал математическую школу.

Фото, Оксфорд 1884 г. http://www.google.de/search?q=james+joseph+sylvester&hl=de&prmd=imvnso&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa=X&ei=B0f8TvXRK4zHswb02qkP&sqi=2&ved=0CDYQsAQ&biw=1024&bih=574

9 http://kosilova.textdriven.com/narod/studia3/math/translatio/img.htm

Генри Савиль (1549-1622 гг.) был одним из наиболее просвещённых людей своего времени, классическим учёным. Он занимался также математикой и астрономией. В 1619-м году, под конец своей жизни, сожалея о плохом состоянии математического образования в Англии, он основал в Оксфорде Профессуру Геометрии и Астрономии, которая до сих пор носит его имя...Устав Савиля по кафедрам гласил, что профессора должны были быть «людьми с характером и доброй репутацией, должны хорошо знать математику и быть старше 26 лет отроду». И могут быть приглашены из «любого уголка Христианского мира».

10Атенеум–клуб: место встречи мужчин Лондона – политиков, учёных, литераторов и артистической элиты.

11Антививисекция - противодействие подробному изучению, например, медицинским опытам на живых животных.»

12Интерференция света — нелинейное сложение интенсивностей двух или нескольких световых волн. Это явление сопровождается чередующимися в пространстве максимумами и минимумами интенсивности. Её распределение называется интерференционной картиной. Это - возникновение разноцветной окраски тонких плёнок (интерференционных полос), подобных масляным или бензиновым пятнам на поверхности воды.

13Рефра́кция (преломле́ние) — изменение направления распространения света, возникающее на границе раздела двух прозрачных для этих волн сред или в толще среды с непрерывно изменяющимися свойствами).

14Уравнения конусов имеют вид:

U= ax2+by2+cz2+2a’yz+2b’xz+2c’xy=0; V=αx2+βy2+γz2+2α’yz+2β’xz+γ’xy=0

Процесс решения этой задачи включал в себя анализ корней уравнения, обозначенного

Δ( U+ ƛV) =0, где Δ( U+ ƛV) - это детерминант.

Строки и столбцы детерминанта следующие:

a+αλ c’+ γ’λ b’+ β’ λ

c’+ γ’λ b + βλ a’+ α’ λ

b’+ β’ λ a’+ α’ λ c + γλ

15Объектом теории исключения является система уравнений

f1(x1, . . ., xn) = 0, . . ., fn(x1, . . ., xn) = 0 , (1)

где f1, . . ., fn — полиномы по x1, . . ., xn. Осн. цель - сведение задачи реш. системы (1) к одномерному случаю. Именно, с пом. Элемент. пеобр. систему (1), как правило, удается свести к эквивалентной ей системе вида X(x1) = 0, x2 − ϑ2(x1) = 0, . . ., xn − ϑn(x1) = 0 . (2)

Здесь X(x1) — полином, а ϑ2(x1), . . ., ϑn(x1) — рациональные функции по x1. Следовательно, в этом случае решение системы (1) сведётся к решению уравнениий от одной переменной; иными словами, все остальные переменные оказываются исключенными.

16Если, напр., при m=3, n =2; f(x) =a3x3+a2x2+a1x1+a0 ; g(x) =b2x2+b1x1+b0, то строки и столбцы 5х5 детерминанта М следующие:a3 a2 a1 a0 0

0 a3 a2 a1 a0

0 0 a3 a2 a1

b2 b1 b0 0 0

b2 b1 b0 0

16-1Дискретная математика том 13 ВЫПУСК 4 * 2001 УДК 519.142

Одна числовая характеристика матрицы Сильвестра © 2001 г. В. В. Кварацхелия http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=dm&paperid=305&what=fullt&option_lang=rus

17Уравнения Σni= 1 (ai x + bi)m = 0, для m – натуральных, ai , bi — вещественных.

17-1http://nicolas.patrois.free.fr/maths/agr%C3%A9gation/documents/r%C3%A8gle-newton-Acosta.pdf Newton's Rule of Signs for Imaginary Roots Daniel J. Acosta

The American Mathematical Monthly, Vol. 110, No. 8. (Oct., 2003), pp. 694-706.

18-1http://vestnik.osu.ru/2010_9/8.pdf УДК 51 (09) Медведева Н.Н. Хакасский госуд. университет им. Н.Ф. Катанова РАЗВИТИЕ ГРАФИЧЕСКОГО МЕТОДА АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ В ТРУДАХ ДЖ. ДЖ. СИЛЬВЕСТРА ВЕСТНИК ОГУ № 9 (115)/сентябрь`2010

18-2http://elibrary.ru/item.asp?id=9548093 РАЗВИТИЕ МЕТОДОВ АДДИТИВНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ ОТ Г.В. ЛЕЙБНИЦА ДО ДЖ. СИЛЬВЕСТРА А.Е. Малых, Н.Н. Медведева Вестник Пермского университета Изд-во Пермский госуд. Ун-тет 2007

19http://en.wikipedia.org/wiki/Kirkman's_schoolgirl_problem Kirkman's schoolgirl problem

20http://www.emis.de/journals/INTEGERS/papers/d16/d16.pdf

INTEGERS: ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORIAL NUMBER THEORY 3 (2003), #A16

SYLVESTER: USHERING IN THE MODERN ERA OF RESEARCH ON ODD PERFECT NUMBERS

Steven Gimbel Department of Philosophy, Gettysburg College Gettysburg, PA 17325

John H. Jaroma Department of Mathematics and Computer Science, Austin College

Sherman, TX 75090 Received: 3/16/02, Revised: 5/21/03, Accepted: 10/22/03, Published: 10/23/03

21Чебышёв показал, что А1< π (х) /x/logx < A2, где 0.922< A1<1 и 1< A2< 1.105.

22В качестве простого примера он приводит форму Q= ax2+2bxy+cy2 и линейное преобразование T с детерминантом r ˂ ˃0, кот. прив.одит Q к виду R=Ax2+2Bxy+Cy2, а выражение b2- ac от кофф-ов Q, - кот. получ. в проц. примен. частного дифференцирования – остаётся неизменным и возводится в степень r и под действием Т преобразует Q. В символах-обозначениях это выглядит так: B2 - AC=r2(b2-ac).

22-1http://www.apmath.spbu.ru/ru/education/final/question10.pdf

Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм.

23В Кёнигсберге уже сущ.созданный К. Якоби первый в Германии физ-математический семинар.

24Пример ax4 + 4bx3y+6cx2y2+4dxy3+ey4, (1)

(fx+gy)4+ (hx+ky)4+ 6m(fx+gy)2(hx+ky)2 (2)

25Дана f(x,y) – гомогенная полиномиальная функция с коэфф.a, b,….,l. Если при лин. преобр. x= lx+my, y= nx+py, и lp – mn =1, а соотств. (после преобр.) коэффициенты a’, b’,….,l’, и если I( a, b,…., l) = I(a’, b’,….,l’), тогда I – инвариант функции f(x,y).

26Уравнения d d d d

( а – + 2b – + 3c – + …+ nj – )U= 0 (3)

db dc dd dk

d d d d 1

(b – + 2c – + 3d – + …+ nk – ) U = – ns U

db dc dd dk 2

27 Детерминант ( a b c)

( b c d) = ace – 2bcd– ad2 – eb2–c3 (4)

( c d e)

28 http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=244347

Bericht über den gegenwärtigen Stand der Invariantentheorie von Professor Dr. Franz Meyer (1892)

28-1http://www.mccme.ru/~timorin/publ/kvant_sylvester6.pdf

С. Табачников, В. Тиморин Задача Сильвестра

29http://www.ega-math.narod.ru/Reid/book.htm

Герман Вейль. Давид Гильберт и его математические труды В кн.: Констанс Рид ГИЛЬБЕРТ Пер. с англ. И. В. ДОЛГАЧЕВА под ред. Р. В. ГАМКРЕЛИДЗЕ Springer–Verlag Berlin Heidelberg NY 1970 ИЗД-ВО «НАУКА» ГЛ. РЕД. ФИЗ-МАТ ЛИТ., М.,1977

30http://math.stanford.edu/circle/notes06f/frobenius.pdf Stanford Math Circle Making Change Like Frobenius Matthias Beck September 24, 2006

30-1 http://books.google.com/books?id=TxNIAAAAIAAJ&printsec=frontcover&hl=de#v=onepage&q&f=false The Laws of Verse or principles of versification exemplified in metrical translations by James Joseph Sylvester

30-2 http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%B3%D0%B8%D1%8F

http://svetlov-rv.by.ru/sizigia.htm

СИЗИГИЯ (греч. – "брачная чета", "сопряжение") – понятие, пользовавшееся в эпоху поздней античности для обозначения такого сопряжения горного и дольнего, когда они сливаются в единую "супружескую" пару. Идея Сизигии ведет происхождение от древнего иудаизма, считавшего, что брак есть основа человеческого существования. При этом под сизигией нужно понимать как брак мужчины и женщины, так и брак человеческого начала с божественным.

30-5Автор биографии Сильвестра (см. примеч. 1) пишет - на стр. 388, примеч. 77 -
что американский поэт Сидни Ланир в своей книге "Наука английского стихосложения"
посвятил краткую главу идее Сильвестра о сизигии.

30-4Апостроф ранее (до 17-го века) применяли для отделения десятичных долей в десятичных дробях. Иоганнес Кеплер (1570-1630), очевидно, был первым, кто вместо апострофа стал пользоваться запятой.

http://www.spiritofmaat.com/archive/nov2/munck.htm

30-5https://tspace.library.utoronto.ca/html/1807/4350/poet403.html His finest poem, "Kepler's Apostrophe," movingly expresses the fierce unrepentant of any free-thinking researcher.

30-6http://www.brainyquote.com/quotes/authors/j/james_joseph_sylvester.html

31Медаль Сильвестра

http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester_Medal

32Портрет работы художника Альфреда Эмсли 1889 года

http://en.wikipedia.org/wiki/File:James_Joseph_Sylvester_by_Alfred_Edward_Emslie.jpg

33http://www.maths.ox.ac.uk/about/history