(продолжение. Начало в №7/2018 и сл.)
Матричная механика
Через много лет после описываемых событий Макс Борн вспоминал:
«К концу летнего семестра, в первых числах июля 1925 года, он [Гейзенберг] пришел ко мне с рукописью, предложил прочитать и решить, достаточно ли она ценная, чтобы быть опубликованной. Одновременно он попросил дать ему досрочный отпуск до окончания семестра, так как его пригласили прочитать доклад в Кавендишской лаборатории в Кембридже. К этому он добавил, что, несмотря на интенсивные старания, ему не удалось добиться прогресса в развитии содержащихся в его исследовании размышлений, и он предложил мне самому попробовать это сделать, что я ему обещал» [Born, 1975 стр. 297-298].
Как подчеркивал Борн, он не сразу прочитал статью Гейзенберга, так как устал к концу семестра и избегал дополнительной интеллектуальной нагрузки. Но когда все же заглянул в текст ассистента, то был восхищен результатами. Он сразу понял и оценил смелую идею Гейзенберга использовать амплитуды переходов в качестве аналогов коэффициентов классического разложения в ряд Фурье. Только в квантовой теории про ряды нужно было забыть, а использовать лишь наборы коэффициентов и специальное правило умножения для этих наборов.
О том, что амплитуды переходов должны играть существенную роль в квантовой теории, Борн не раз говорил слушателям своего семинара. То, что сделал Вернер Гейзенберг, Макс Борн оценил как «большой шаг вперед» в реализации этой программы [Born, 1975 стр. 298]. Не раздумывая, профессор послал статью своего ассистента в редакцию журнала «Zeitschrift für Physik». Она вышла в свет с датой поступления в редакцию 29 июля.
Скромный и щепетильный в вопросах научной этики Макс Борн никогда не ставил под сомнение приоритет Вернера Гейзенберга в создании науки, получившей потом официальное название «квантовая механика». В речи по случаю вручения Нобелевской премии за 1954 год, Борн рассказывал о всё возрастающих трудностях, с которыми сталкивались исследователи атомов и спектров, пока Гейзенберг
«не разрубил гордиев узел проблем одним философским принципом и не заменил догадку математическим правилом. Этот принцип гласит, что понятия и представления, которые не соответствуют никакой наблюдаемой действительности, не должны использоваться в теоретических описаниях. Гейзенберг отбросил представление об электронных орбитах с определенными радиусами и периодами обращения, так как эти величины не наблюдаемы, и потребовал, чтобы теория строилась с помощью квадратичной схемы» [Rechenberg, 2010 стр. 361].
Борн даже не упомянул при этом, что отмеченный «философский принцип» новой квантовой теории уже рассматривался им самим еще в 1919 году, когда он профессорствовал во Франкфурте на Майне. Бывший в те годы его ассистентом Альфред Ланде (Alfred Land), говоря о развитии квантовой механики, позднее вспоминал:
«Годами ранее Борн поддерживал тогда еще еретическую идею, что все пространственно-временные механические модели атома не отражают физическую реальность, т.е. не поддерживаются никаким опытом, так как опыт дает информацию только об энергии состояния, частоте и интенсивности, но никогда о мгновенном положении и скорости электронов; мгновенные состояния являются, напротив, принципиально ненаблюдаемыми, и все образы пространственно-временных изменений мгновенных состояний, следовательно, все модельные представления являются ненужными или несогласованными с наблюдениями» [Rechenberg, 2010 стр. 336].
Макс Борн
Это утверждение Альфреда Ланде подкрепляется сохранившимся письмом Макса Борна, написанным 21 декабря 1919 года юному Вольфгангу Паули, тогда еще студенту Мюнхенского университета. Паули опубликовал в «Трудах Немецкого физического общества» заметку, в которой критиковал работу ученика Гильберта, цюрихского профессора Германа Вейля о напряженности поля внутри электрона. Паули отмечал, что использование этой физической величины некорректно, так как напряженность определяется по силе воздействия на маленькое «пробное тело», а тела, меньше электрона нельзя представить. И Паули подчеркивает ту же мысль, к которой пришел Гейзенберг спустя шесть лет: «Уверенно можно рассуждать только о том, что относится к принципиально наблюдаемым величинам». В письме своему будущему ассистенту Паули профессор Борн комментирует этот принцип:
«Вашу работу в последнем выпуске „Трудов Немецкого физического общества“ о теории Вейля я прочел с громадным интересом. Особенно заинтересовало меня Ваше замечание в конце, что Вы применение теории континуума к внутренности электрона считаете бессмысленным, так как при этом речь идет о принципиально ненаблюдаемых вещах. Именно эти соображения я уже давно поддерживаю, правда, до сих пор без положительного успеха, позволившего бы найти выход из всех квантовых сложностей, исходя из совершенно принципиальных положений: нельзя переносить понятия пространства и времени как четырехмерного континуума из макроскопического мира ощущений в мир атомный, это требует, очевидно, другого типа числового многообразия в качестве адекватного образа. Но как это можно было бы сделать, я не знаю. Хотя я еще не так стар, всё же не так молод и слишком загружен, чтобы какое-то решение могло прийти мне в голову. Это Ваше задание. После всего, что я о Вас слышал, именно Вы призваны решить эту проблему» [Rechenberg, 2010 стр. 336-337].
Несмотря на высказанное сомнение в своих силах, Макс Борн, став профессором в Гёттингене, продолжал работать в этом направлении вместе со своими учениками-ассистентами. Достижение Гейзенберга явно лежало в русле общего подхода его руководителя к квантовым явлениям, поэтому Борн с энтузиазмом взялся за развитие идей своего ассистента, тем более что он это ему обещал [Born, 1975 стр. 298].
Вернер Гейзенберг
Суть сделанного Гейзенбергом открытия опытный профессор понял сразу. С каждой физической величиной, например, координатами частицы q и ее импульсом p связаны наборы чисел, аналогичные классическим коэффициентам Фурье. Борн их называет «амплитудами переходов». По словам Борна, смелый шаг Гейзенберга «состоял в предложении вставить амплитуды переходов для координат q и импульса p в уравнения механики» [Born, 1975 стр. 298]. Например, выражение для кинетической энергии частицы включает квадрат импульса p2. В квантовой теории это надо понимать как умножение набора чисел, соответствующего импульсу, самого на себя. Правило перемножения наборов чисел, предложенное Гейзенбергом, приводило к удовлетворительным физическим результатам для модельного примера ангармонического осциллятора, например, подтверждался закон сохранения энергии, но с математической точки зрения выглядело необычно: выражение pq оказывалось не равным выражению qp, т.е. величина (pq—qp) получалась не равной нулю.
Отправив статью Гейзенберга в редакцию, Борн стал размышлять над странным правилом умножения наборов амплитуд перехода, пытаясь понять, какую математическую операцию это правило ему напоминает. В своих воспоминаниях он пишет:
«…вскоре я был так этим захвачен, что думал об этом целыми днями, да и ночами почти не мог спать. Ибо у меня было чувство, что за всем этим стоит что-то основополагающее, что долгие годы было целью наших усилий. Однажды утром, примерно 10 июля 1925 года меня озарило: символическое умножение Гейзенберга было ничем иным, как операцией с матрицами, что мне было известно со времен моего студенчества из лекций Розанеса (Jacob Rosanes) в Бреслау» [Born, 1975 стр. 299].
Осознав главное, что наборы чисел для физических величин, скажем, тех же p и q, представляют собой математические матрицы, Борн перестал удивляться тому, что в умножении порядок сомножителей имеет значение – это свойство матриц он хорошо помнил со студенческих времен. В своих работах по теории кристаллических решеток Макс уже применял матрицы, но об использовании алгебраических операций с матрицами там речи не шло. Матрицы почти не использовались физиками, считались объектами чистой математики. Математики и развивали матричную алгебру, оказавшейся такой важной для квантовой механики, при этом выполнили свою работу точно к сроку, словно знали, когда их аппарат потребуется. В конце 1924 года вышел в свет первый том фундаментального исследования Рихарда Куранта и Давида Гильберта «Методы математической физики» [Курант-Гильберт, 1951]. В этом томе Курант, опираясь на лекции Гильберта, рассмотрел именно те разделы математики, которые потребовались потом физикам, развивающим квантовую теорию.
В предисловии к первому тому «Методов математической физики» Рихард Курант отмечает, что в подготовке книги ему помогал Паскуаль Йордан. Как позже рассказывал в интервью сам Паскуаль, ему пришлось тогда познакомиться с книгами и статьями по теории матриц, приобретя солидный опыт в этой области математики [Джеммер, 1985 стр. 206].
Паскуаль Йордан
Этот опыт очень пригодился, когда Борн пригласил Йордана помочь в развитии и упорядочении идей Гейзенберга. Но поначалу своим помощником в этой работе Борн видел другого человека – своего бывшего ассистента Вольфганга Паули. Казалось бы, Паули, как никто другой, подходил для этой роли: он дружил с Гейзенбергом, был знаком с его новой попыткой прорваться через барьеры старой квантовой физики, кроме того, Паули обладал редким даром справляться с математическими трудностями там, где остальные ученые отступали. Но вышло все не так, как планировал Борн. Это выяснилось на конференции физиков Нижней Саксонии, проходившей 19 июля 1925 года, о которой мы уже говорили. Такие местные конференции, проводимые одним или несколькими соседними университетами, были очень популярны в первой половине ХХ века. Физик Эрих Багге (Erich Bagge) в интервью Михаэлю Шаафу (Michael Schaaf) вспоминал:
«В Физическом обществе больше нет ничего подобного местным конференциям, о чем я очень сожалею. Раньше это были прекрасные собрания. Большие съезды [сегодня] – это огромная хищническая трата времени. Это нехорошо. Местные конференции были много лучше» [Schaaf, 2001 стр. 89].
Поезд из Гёттингена до Ганновера шел примерно час, и за это время, по словам Макса Борна, он смог рассказать Вольфгангу Паули, случайно оказавшемся в том же купе, свои соображения о матричном характере открытия Гейзенберга и об основных проблемах, которые предстояло решить для того, чтобы аппарат матричной алгебры стал фундаментом квантовой механики. В частности, нужно было доказать, что матрица pq—qp не зависит от времени, что гарантировало бы сохранение энергии. Макс предложил Вольфгангу совместно поработать над развитием идей Гейзенберга в этом направлении. Вместо ожидаемого согласия Паули ответил довольно грубым отказом с обидным обоснованием:
«Я знаю, что Вы сторонник этого нудного и сложного формализма. Вы разрушите физические идеи Гейзенберга своей ненужной математикой» [Born, 1975 стр. 300]
В своих воспоминаниях Борн не раз возвращался к этой сцене, оставившей у него крайне неприятный осадок. Его иногда подводит память, он по-разному описывает некоторые детали. Например, в книге «Моя жизнь» он считает, что Паули ехал в Ганновер из Цюриха, хотя профессором в Цюрихе Вольфганг стал только в 1928 году, а в 1925 году еще был ассистентом профессора Ленца в Гамбурге. О поездке в Ганновер Борн пишет:
«Многие из геттингенских физиков ехали туда поездом – это примерно часовая поездка. В поезде мы встречали физиков из других университетов, среди них моего бывшего ассистента Паули» [Born, 1975 стр. 300].
Вольфганг Паули
Ганновер расположен севернее Гёттингена и южнее Гамбурга. Если бы Паули ехал в Ганновер из Цюриха, то встреча в поезде с коллегами-геттингенцами была бы вполне естественна. Но из Гамбурга в Ганновер редко кто ездит через Гёттинген. Возможно, конечно, что Паули сначала приехал в Гёттинген встретиться с друзьями, а уже потом со всеми поехал в Ганновер. Но более вероятной представляется все же версия, что разговор Борна с Паули состоялся в самом Ганновере во время местной конференции, а в купе поезда в присутствии Паули Макс говорил о своей работе с другим коллегой.
Расходятся в разных местах описания того, как подключился к матричной механике Паскуаль Йордан, услышавший о новых физических проблемах, волновавших Борна, когда ехал с ним в одном купе в Ганновер. В интервью Паулю Эвальду 1 июня 1960 года Борн рассказывает, что Йордан подошел к нему, выйдя из поезда в Ганновере, и сказал: «Господин профессор, я кое-что знаю о матрицах, не мог бы я Вам помочь?» [Born, 1960 стр. 17]. Эту версию повторяют многие историки науки, например, Макс Джеммер и Леонид Пономарев, подчеркивая зачем-то, что Борн и Йордан до того не были знакомы:
«На ганноверском вокзале Йордан представился, рассказал о своем опыте работы с матрицами и выразил готовность помочь Борну в работе» [Джеммер, 1985 стр. 207],
«На вокзале в Ганновере Йордан представился Борну и предложил свою помощь» [Пономарев, 2012 стр. 169].
«Представляться» Йордану не было необходимости, он уже несколько месяцев работал ассистентом Борна, и в Ганновер они ехали с совместным докладом.
В книге «Моя жизнь» Борн пишет, что Йордан предложил ему помощь на следующий день после конференции, т.е. уже в Гёттингене:
«О конференции в Ганновере у меня в памяти ничего не осталось. На следующий день мой ученик Йордан предложил мне помочь в моей работе. Я был очень, очень уставший и не чувствовал в себе силы одному добиться прогресса. Йордан согласился и уже через два дня принес мне решение проблемы: он показал, что канонические уравнения движения, примененные к матрицам p и q, приводят к тому, что зависимость от времени матрицы pq—qp исчезает, следовательно, сама матрица должна быть диагональной» [Born, 1975 стр. 300].
Борн и Йордан показали, что для рассматриваемых матриц справедливо соотношение pq—qp=(h/2i)1, где h – постоянная Планка, а 1 единичная матрица. Это важнейшее для квантовой механики уравнение обозначали по-разному. Вначале Борн и Йордан назвали его «уточненным квантовым условием» [Борн-Йордан-1925, 1977 стр. 597], потом на него ссылались как на «фундаментальное квантовомеханическое соотношение», а затем стали называть «перестановочным соотношением» [Джеммер, 1985 стр. 210].
Вернер Гейзенберг до этого соотношения не додумался, открытие – целиком заслуга Макса Борна. В интервью Томасу Куну, состоявшемся 15 февраля 1963 года, Гейзенберг откровенно признавался:
«Я бы хотел отметить, что в моей первой статье по квантовой механике тот факт, что xy не равнялось yx, был мне страшно неприятен. Я чувствовал, что это было единственной трудностью во всей схеме, и если бы не это, я был бы совершенно счастлив. Но эта трудность меня беспокоила, и я никак не мог ее решить. <…> Я записал в качестве правила квантования правило сумм Томаса-Куна, но не понял, что это как раз pq минус qp [Heisenberg-V, 1963].
Для Макса Борна, напротив, открытие перестановочного соотношения было одним из самых ярких событий его научной биографии. Он вспоминал:
«Я никогда не забуду того глубокого волнения, которое я пережил, когда мне удалось выразить идеи Гейзенберга о квантовых условиях в виде загадочного уравнения pq-qp=h/i, которое является центральным пунктом новой механики и которое заключало в себе, как было установлено позже, соотношение неопределенности» [Борн, 1963 стр. 198]
Выражение pq—qp оказалось столь важным для новой теории и так тесно связанным с фамилией Йордана, особенно из-за близкого звучания pq с именем Паскуаль (Pasqual), что остроумный Вольфганг Паули писал однажды на почтовой открытке в графе «адресат»: «pq—qp Йордан» [Ehler-Schücking, 2002 стр. 71].
Памятник на могиле Макса и Хедвиг Борн
Значение перестановочного соотношения в научной судьбе Макса Борна отметили тем, что оно выбито на надгробном памятнике на могиле ученого в Гёттингене.
На основании полученных результатов Борн и Йордан очень быстро подготовили статью под названием «О квантовой механике», которая поступила в журнал «Zeitschrift für Physik» 27 сентября 1925 года, всего через два месяца после статьи Гейзенберга.
В начале статьи авторы подчеркнули огромное значение нового подхода к квантовой теории, предложенного Гейзенбергом. Свою задачу Борн и Йордан видели в развитии его предположений до систематической теории квантовой механики, математическим аппаратом которой является матричное исчисление. Результаты работы показали, что
«действительно можно на фундаменте, данном Гейзенбергом, возвести здание замкнутой математической теории квантовой механики, в замечательно тесной аналогии с классической механикой, однако при сохранении черт, характерных для квантовых явлений» [Борн-Йордан-1925, 1977 стр. 587].
Рукопись этой статьи Борн послал в Мюнхен Гейзенбергу, где тот всё ещё наслаждался летними каникулами. Прогресс в развитии его собственной работы порадовал Вернера и слегка озадачил: он ничего не знал до того о матрицах, которые, оказывается, играют такую важную роль в его теории. В уже упомянутом интервью 15 февраля 1963 года он честно дает оценку своих знаний:
«Я никогда не слушал лекций по матрицам; конечно, я знал, как решить линейные уравнения тривиальным способом, как учат в школе, но общую схему, что имеются матрицы и что матрицы можно перемножать, и что матрицы могут представлять группы, и все такие вещи я просто никогда не изучал. Так что когда Борн рассказал мне, что это, действительно, был пример матричного умножения, то я очень заинтересовался, но это было ново для меня» [Heisenberg-V, 1963].
Гейзенбергу пришлось срочно изучить новую для него область математики, что он сделал относительно быстро и эффективно, так что уже через несколько недель был готов включиться в совместную работу с Борном и Йорданом. О подготовленности Гейзенберга в области матричного исчисления Борн высказался так:
«Сегодня все без исключения учебники говорят о матрицах Гейзенберга, гейзенберговском перестановочном соотношении и о дираковском квантовании поля. Но в действительности к этому времени Гейзенберг знал очень мало о матрицах, и он должен был сперва их изучить, что он и сделал с невероятной сообразительностью и эффективностью» [Born, 1975 стр. 301].
После такого экспресс-обучения Гейзенберга совместная работа велась по переписке страшно интенсивно, как вспоминал потом Борн, «каждый день два письма, туда и обратно» [Born, 1960 стр. 18]. И вскоре была готова третья статья по квантовой механике, та самая знаменитая «Работа трех», после которой эта наука приобрела современный вид [Born-Heisenberg-Jordan, 1926]. Статья поступила в редакцию «Zeitschrift für Physik» 16 ноября 1925 года, а увидела свет в августе следующего года.
***
Как часто бывает в жизни, награды за гениальное открытие получили не все причастные. За создание квантовой механики из авторов основополагающей «Работы трех» Нобелевскую премию получил только Вернер Гейзенберг – в 1933 г. его назвали лауреатом за предыдущий год.
Вклад Макса Борна, который руководил всеми работами в Гёттингене и предложил несколько основополагающих идей, остался как бы незамеченным Нобелевским комитетом. Это хорошо понимал и сам новоиспеченный нобелевский лауреат Гейзенберг. В письме из Цюриха 25 ноября 1933 года он признавался:
«Дорогой господин Борн,
если я Вам так долго не писал и не поблагодарил за Ваши поздравления, то это отчасти из-за моей нечистой совести перед Вами. Тот факт, что я один должен получить Нобелевскую премию за работу, которую мы тогда в Гёттингене вместе – Вы, Йордан и я – сделали, это беспокоит меня, и я не знаю, что я должен написать. Я, естественно, рад тому, что наши общие усилия теперь признаны, и я с радостью вспоминаю прекрасное время совместной работы. Я также думаю, что все хорошие физики знают, как высок был Ваш с Йорданом вклад в построение квантовой механики – и это не изменит никакое неверное внешнее решение. Но я сам, собственно, не могу ничего больше сделать, как еще раз поблагодарить Вас за прекрасную совместную работу, и признаться, что мне перед Вами немного стыдно» [Born, 1960 стр. 303]
Вручение Гейзенбергу Нобелевской премии
Показательны время и место отправки письма. В ноябре 1933 года Макса Борна уже не было в Гёттингене. После печально известного закона «О восстановлении профессионального чиновничества» от 7 апреля того же года, Борн был отправлен в бессрочный отпуск и покинул Германию. После прихода Гитлера к власти осторожный Гейзенберг не рисковал писать еврею в стране, где почту, весьма вероятно, просматривает гестапо. Поэтому он дождался, когда окажется в безопасной Швейцарии, чтобы оттуда послать письмо в Англию, куда переехал его бывший руководитель.
Нобелевскую премию Макс Борн получил только в конце своей научной деятельности – в 1954 году – с формулировкой «за фундаментальные исследования по квантовой механике, в особенности за статистическую интерпретацию волновой функции». Паскуаль Йордан вообще остался обойденным Нобелевским комитетом. Возможно, в этом сыграло роль членство Йордана в национал-социалистической партии в 1933-1945 годах, хотя убежденным нацистом он никогда не был, да и каких-либо карьерных преимуществ партийность ему не принесла. Об этом мы подробно поговорим в продолжении этой работы.
(продолжение следует)
Примечание
[1] Серия моих статей под названием «Эпизоды революции вундеркиндов» в другой, чем здесь, редакции публикуется в журнале «Наука и жизнь», начиная с № 9/2018.
Литература
Born, Max. 1960. American Institute of Physics. Oral History Interviews. Max Born — Session 1. Interviewed by Peter Paul Ewald. [Online] 1. Juni 1960. [Zitat vom: 07. Juli 2018.] https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4522-1.
—. 1975. Mein Leben. Die Erinnerungen des Nobelpreisträgers. München : Nymphenburger Verlagshandlung, 1975.
Born-Heisenberg-Jordan. 1926. Born Max; Heisenberg Werner; Jordan Pasqual. Zur Quantenmechanik II. Zeitschrift für Physik, v. 35, S. 567-615. 1926.
Ehler-Schücking. 2002. Ehlers, Jürgen; Schücking, Engelbert. «Aber Jordan war der Erste». Zur Erinnerung an Pasqual Jordan (1902-1980).Physik Journal, Nr.11, S. 71-74. 2002.
Heisenberg-V. 1963. American Institute of Physics. Oral History Interviews. Werner Heisenberg — Session V. Interviewed by Thomas S. Kuhn.[Online] 15. February 1963. [Zitat vom: 07. July 2018.] https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4661-5.
Rechenberg, Helmut. 2010. Werner Heisenberg – die Sprache der Atome. Gedruckt in zwei Bänder. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2010.
Schaaf, Michael. 2001. Heisenberg, Hitler und die Bombe. Gespräche mit Zeitzeugen. Berlin, Diepholz : Verlag für Geschichte der Naturwissenschaften und der Technik, 2001.
Борн, Макс. 1963. Физика и метафизика. Физика в жизни моего поколения. Сборник статей, с. 189-207. М. : Издательство иностранной литературы, 1963.
Борн-Йордан-1925. 1977. Борн, Макс; Йордан, Паскуаль. О квантовой механике. Успехи физических наук, т. 122, с. 586-611. 1977.
Джеммер, Макс. 1985. Эволюция понятий квантовой механики. Пер. с англ. В.Н. Покровского. Под ред. Л.И. Пономарева. М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
Курант-Гильберт. 1951. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т.1, 3-е изд. М.-Л. : ГИТТЛ, 1951.
Пономарев, Л.И. 2012. Под знаком кванта. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2012.
Оригинал: http://7i.7iskusstv.com/2018-nomer12-berkovich/
