Зельдович
I
Однажды летом мы с мамой поехали отдыхать в Эльву (популярное тогда местечко в Эстонии). По соседству с Эльвой находится обсерватория Тыравере, где как раз тогда проходила конференция по релятивистской астрофизике. Отец там, разумеется, тоже был. Однажды мы с мамой оказались там во время перерыва, когда участники конференции вышли наружу. Отец подошел к нам и предложил познакомить нас с Зельдовичем, успев шепнуть «Это наш советский Оппенгеймер!». «Яков Борисович», сказал он, «вот этот молодой человек тоже читал Вашу книгу». Речь шла о книге «Высшая математика для начинающих», которая незадолго до того появилась в магазинах. Я не то чтобы читал ее, но в руках подержал. У отца, когда он обратился к Зельдовичу, было явно хулиганское выражение лица; он, очевидно, предвкушал то, что сейчас произойдет (мы с ним говорили об этой книге незадолго до того).
Зельдович живо повернулся ко мне и спросил: «Ну как Вам понравилось»? И я ему прямо сказал, что не понравилось совсем. «Почему?» — спросил он с удивлением. «Потому что нестрого», ответил я со всем апломбом матшкольника, кружковца и олимпиадника, помноженным на полное невежество во всех областях науки, техники и искусства. И все-таки снисходительно пояснил, что анализ должен быть основан на теории множеств и теории пределов (по Фихтенгольцу), а не на махании руками, как это было у Зельдовича в его книге.
II
Зельдовича подобная наглость очень развеселила. Он задал мне пару вопросов по книге и убедился, что я ее таки не читал. Это его не смутило, и он сказал: «Тогда вот решите задачку». Задача была такая:
Рассмотрим маятник, состоящий из металлического шарика, подвешенного на нитке к проволочным воротцам.
При этом нитка в верхней части раздвоена, и две ее половинки прикреплены в двух разных точках горизонтальной перекладины. Дано еще, что длина наклонных ниток (расположенных наверху) много меньше, чем длина основной нитки.
Требуется качественно описать движение маятника в общем случае, когда он качается не в плоскости чертежа, и не в перпендикулярной плоскости.
Я видел что-то похожее в учебнике Ландсберга и все-таки сообразил, что движение маятника будет суммой гармонических колебаний в двух перпендикулярных плоскостях с разными периодами. Зельдович одобрительно кивнул и спросил, а что же дальше. А вот этого я не знал. И, как оказалось, знать не мог. На самом деле имелось в виду, что периоды колебаний в двух плоскостях хоть и разные, но близкие (потому что развилка в верхней части маятника гораздо меньше, чем остальная нитка). Поэтому можно считать, что локально (по времени) периоды в двух плоскостях одинаковы, но разность фаз между этими колебаниями постепенно меняется. Если бы периоды были точно одинаковы, а разность фаз постоянна, то маятник двигался бы по эллипсу, чей эксцентриситет зависит от сдвига фаз (кстати, этого я тоже не знал). А так маятник движется по медленно меняющемуся эллипсу, у которого эксцентриситет медленно меняется со временем, и направление вращения то по часовой стрелке, то против.
Вот этого последнего вывода я сделать тогда никак не мог. Меня никто не учил такому способу мышления (разделению быстрых и медленных переменных, адиабатическому описанию…). Если бы я к тому времени действительно прочел и продумал книгу, которую так сурово ругал, то я бы это понимал; а так это совсем не само собой разумеющиеся вещи.
III
Когда через много лет я пришел к Зельдовичу в его кабинет в ИПМ, я увидел у него на столе тот самый маятник: проволочные воротца, раздвоенная ниточка и блестящий шарик. Очевидно, этот образ был для него чем-то важен и дорог. Конечно, это универсальная модель многих эффектов в атомной физике, но все-таки интересно, почему он был так привязан именно к этим воротцам…
Зельдович, конечно, мог от души смеяться, когда я разносил его книгу. Но ему, наверно, было совсем не так смешно, когда то же самое, и почти в тех же выражениях, говорилось академиками на ученом совете Стекловки. Мало того, все эти речи были напечатаны в Мат. Сборнике, и тем самым сохранены для потомков. Вспомнил ли он тогда наш разговор в Тыравере?
IV
Но время шло, я изучал разные науки, не только математику. Мне очень понравились лекции Баренблатта по механике сплошной среды, где он щедро ссылался на Зельдовича. Потом я долго работал в нефтяном институте, где требовалась настоящая прикладная математика, как раз в духе Зельдовича. В конце концов я прочел и его книгу. Она оказалась замечательной; но до нее надо было дорасти.
Книга Зельдовича делится приблизительно на две части. В первой части он объясняет (кратко и понятно, но все-таки не совсем на пальцах) основные понятия анализа (то, что в Америке называется calculus, в отличие от analysis). А остальная часть книги посвящена фактически одному-единственному уравнению Собственно, рассматривается не это уравнение само по себе, а примерно дюжина физических задач, приводящих к этому (и близким) уравнению. Все задачи разобраны замечательно, с рассмотрением интересных частных и предельных случаев, с разделением (где это нужно) быстрых и медленных переменных, с физическими байками (многие из первых рук)… Чудо что за книжка!
V
Когда я уехал из России и стал преподавать, у меня постепенно появилась мечта: прочесть курс по книге Зельдовича. Возможность для этого представилась не скоро, только когда я стал работать в университете Халла (это в Англии, в Йоркшире). В Англии университетское образование сильно бюрократизировано, и новый курс ввести непросто. Но если он уже введен, то его отменить практически невозможно, хотя на самом деле он может не читаться годами. В Халле был такой лежачий курс, под названием «Моделирование». Что это такое, каждый лектор понимал по-своему. Смысл его был приблизительно в том, что в курсе дифференциальных уравнений никогда не оставалось времени для разбора физических задач, к этим уравнениям приводящих. Так вот, все эти задачи было предложено засунуть в отдельный семестровый курс, который должен был читаться перед курсом дифференциальных уравнений. Тем самым предполагалось дать студентам и мотивировки для изучаемой теории, и некоторую «пропедевтику», некое предзнание, когда простейшие методы решения уравнений объясняются сперва на пальцах.
Я решил, что это и есть тот самый курс, который можно сделать «по Зельдовичу», и попросил его себе. По моему проекту, для каждой темы я должен был строить модель-демонстрацию на Матлабе, так что процесс можно было видеть на экране. Так, при изучении радиоактивного распада на экране были видны цветные точки — атомы, которые в случайном порядке исчезали (все делалось по-честному, с помощью датчика случайных чисел). Потом рисовался график логарифма числа оставшихся атомов как функции времени. Надо было показать, что получилась приблизительно прямая; я воспользовался стоящей в углу шваброй, приложил ее ручку к экрану, как линейку, и все убедились, что действительно, прямая. Потом я показал график из книги Зельдовича, изображающий убывание числа атомов искусственного элемента менделеевия (их было сперва семь, потом они все распались). И примерно так все темы.
Результат был не очень вдохновляющий. Студенты почти не реагировали, или реагировали не так, как я бы хотел. Так, когда я рассказывал про одномерное движение в потенциальном поле, и иллюстрировал теорию на экране движением смешных машинок по холмистой дороге, в то время как одновременно показывалось движение в фазовой плоскости, никакой реакции не было, только одна студентка пискнула «А можно еще посмотреть?». С другой стороны, когда мы говорили о горении и взрыве газовой смеси, я был приятно удивлен, что некоторые студенты знают про безопасную лампу Дэви (все-таки Англия!). Но в целом я опять убедился (и убеждался потом еще не раз), что такой курс успеха иметь не может: он пытается ответить на вопросы, которые студенты не задавали и задать в принципе не в состоянии. Так что ни способным ребятам в Тель-Авиве, ни дубоватым йоркширцам в Халле, ни студентам со всего света в Монреале эта роскошь не нужна. Остается искать индивидуумов (они есть) и с ними работать.
VI
Отношение Зельдовича к математической строгости (в его книжке), за которую его так ругали академики в Стекловке и я, совсем не так просто, как сперва казалось. Постепенно я начал осознавать, что здесь есть о чем серьезно подумать. Чтобы объяснить, в чем дело, я приведу такой пример. Пусть есть деформируемое упругое тело. Его деформация определяется положением каждой его частицы, то есть функцией y=f(x) , где x это координаты частицы в исходном состоянии, а y — координаты той же частицы в деформированном состоянии тела. Дальше мы можем определить локальную деформацию в каждой точке тела, тензор напряжений, написать уравнение движения с подходящими граничными условиями, и т.д. При этом мы пользуемся правилами дифференциального и интегрального исчисления, которые сперва нужно объяснить, что Зельдович, конечно, делает. Но насколько серьезно надо относиться к математическому аппарату? Нужно ли влезать в основания, во все эти эпсилоны и дельты, измеримые и интегрируемые функции? Ведь потом надо будет влезть в определения и свойства действительных чисел, спуститься до натуральных чисел, и торжественно доказать, что 2х2=4. Но и это не конец, надо спуститься на уровень теории множеств… на котором невозможно удержаться, пока не спустишься на уровень логики… но и там не усидеть, надо углубляться в философию… а там не уйдешь от религии…
Для физика вся эта ученость мало осмысленна. Настоящая проблема в другом. Физик знает, что сплошной среды не бывает; среда состоит из атомов. Это приводит к вполне наблюдаемым и физически важным эффектам. Если, например, изучать распространение упругих волн в кристалле, то при уменьшении длины волны, когда она приближается к межатомному расстоянию, наблюдается заметная дисперсия: скорость волны зависит от ее длины. А короче межатомного расстояния волна вообще быть не может. Поэтому настоящий вопрос здесь, почему низкочастотная волна, у которой длина много больше, чем межатомное расстояние, распространяется с такой скоростью, какая определяется уравнениями упругости? И, в частности, почему у очень длинных волн практически нет дисперсии? Это серьезный вопрос, требующий вычислений и оценок.
Собственно анализ, то есть дифференциальное и интегральное исчисление, тоже требует серьезного обоснования и оценок. Мало того, эти оценки весьма похожи на те, что требуется для обоснования вышеописанной теории длинных волн. Так ведь Зельдович и делает эти оценки в одном и том же стиле. Например, чтобы найти производную от функции y=x2, он находит последовательно
[(x+0.1)2-x2]/0.1=2x+0.1, [(x+0.01)2-x2]/0.01=2x+0.01,…
и делает вывод, что производная от x2 равна 2x. Влезание в бесконечно малые он считает ненужным. Мало того, с точки зрения рассматриваемых задач, бесконечно малых нет!
Для Физика представление об идеальной сплошной, бесконечно делимой среде, это не более чем модель. У физической среды есть свои свойства, а у модели свои. В какой-то области масштабов свойства среды и ее модели близки, а вне этой области модель не работает. Физик не обязан изучать свойства модели глубже, чем это нужно для его физической проблемы; иначе он рискует впасть в ошибку, приняв специфические свойства модели за свойства изучаемой системы.
Надо заметить, что слово «модель» здесь имеет не совсем обычный смысл. Рассмотрим, например, колебания кубического кристалла, содержащего 108х108х108 атомов. Ясно, что в лоб такую большую систему не сосчитаешь, надо рассмотреть упрощенную модель. Можно рассмотреть меньшую систему, скажем из 102х102х102 атомов; это модель настоящего кристалла. Такую систему можно уже обсчитать на компьютере, и результаты будут сопоставимы с реальной системой, если ограничиться длинноволновыми решениями. Но можно пойти в противоположном направлении, и рассмотреть бесконечную кристаллическую решетку, занимающую все пространство (модель Борна). Физики хорошо знают, что отсутствие границ существенно упрощает анализ колебаний решетки и дает возможность ответить на большинство вопросов. А можно рассмотреть еще и другую модель: упругий континуум, энергия деформации которого определяется интегралом от некоторой функции от тензора деформации. Можно сказать, что первая модель аппроксимирует нашу систему снизу, а вторая и третья модели — сверху. Все эти модели неидеальны, ко всем им нужно относиться с должным подозрением, и ни одна из них не более священна, чем другая.
VII
Эти соображения могут показаться тривиальными. Но давайте их продолжим. Нас так долго учили, что мир, описываемый математическими определениями, единственный возможный, что мы в это действительно поверили. Мы привыкли к тому, что знаем, что такое число, что такое пространство, что такое функция. И вдруг оказывается, что есть нестандартные числа, среди которых имеются бесконечно большие и бесконечно малые. И что есть не одно понятие функции, а не менее дюжины малопохожих друг на друга вещей, отдаленно напоминающих функции. Чего стоит, например, такой зверь как корень квадратный из δ— функции, который встретился мне в статье Баренблатта и Зельдовича об автомодельных асимптотиках!
Даже такое понятие как время тоже оказалось моделью. Эта тема почти не обсуждается, но иногда появляются статьи про «долгое время» в геологии, биологической эволюции, или космологии. Эволюция ведь состоит из массы событий, которые как-то расположены относительно друг друга. Во вселенных, изучаемых этими науками, событий произошло очень много. Нам кажется само собой разумеющимся, что эти события размещаются в привычном нам физическом времени, изображаемом математической прямой, осью t. Но почему обязательно так? В биологической эволюции, например, события располагаются в виде островов, образующих архипелаги и суперархипелаги разных порядков. Тем самым нет никакой однородности оси времени; эволюционное время имеет другие свойства, чем-то напоминающие свойства нестандартной прямой, где живут нестандартные числа. Так что «наивное» понимание времени тут не годится, нужна другая модель времени.
Осознание того, что привычное понятие времени есть не более, чем модель чего-то более сложного, затрудняется неясностью альтернатив. Может ли быть что-то другое?
Оказывается, может. В теории множеств уже давно существует богатая теория порядков, которая как раз и изучает разные способы расположения событий друг относительно друга (имеется в виду бесконечное множество событий; но когда событий очень много, их число уже ближе к бесконечности, чем к единице; поэтому логично принять модель, в которой число событий бесконечно). Вот среди этих экзотических порядков и надо искать модель долгого времени эволюции. (Я в своей работе о долговременном поведении течений жидкости действительно определил такую нестандартную модель времени, с нетривиальными результатами).
VIII
А раз так, можно пойти и дальше, и покуситься на самое логику. Ведь что есть логика, как не модель мышления? Первой такой моделью была логика Аристотеля. Логика Аристотеля подробно описывает мышление, она же предписывает, как надо мыслить. Но модель эта неполна, и не всегда адекватна (это было бы и невозможно). Например, аристотелевская логика не описывает творчество, т.е. создание новых сущностей из ничего. Бертран Рассел жаловался, что абсолютизация логики Аристотеля задержала развитие мышления на полторы тысячи лет. А вот не надо путать модель и собственно изучаемую систему (в данном случае мышление), тогда не будет таких задержек! Зато сейчас логик сколько угодно, есть даже логика интернета.
Но это уже слишком далеко от того маленького нахала, который критиковал великого Зельдовича. Я про это напишу подробнее в другом месте.
Инициация
Когда мне было лет 14, я поехал летом на Балтийское море. Мы поехали туда с Витей, сыном подруги моей мамы, двумя годами меня старше. Вскоре к нам приехала Витина старшая сестра Броня (Бонюся). Она уже училась тогда на Мехмате, и взяла с собой учебник Шилова «Анализ-3». Не помню, чья это была идея, но она нам с Витей читала вслух на пляже главу про теорию множеств, включая доказательство несчетности континуума. Это произвело на меня сильное впечатление, особенно по контрасту с пляжной жизнью, даже слегка закружилась голова.
Георгий Евгеньевич Шилов был причиной еще одного моего головокружения, когда он читал лекцию для школьников про специальную теорию относительности. Конечно, он это делал артистически (как жаль, что я так мало был на его лекциях). Но все-таки здесь главным было потрясающее ощущение: я понял.
Я думаю, что эти два события произошли со мной не случайно, как не случайно было участие Георгия Евгеньевича, тонкого и благородного человека. Теория множеств и теория относительности — это две вершины человеческого мышления. И там, и там мы из минимального числа интуитивно ясных предпосылок (что не совсем то же, что аксиомы) буквально за пару шагов получаем поразительные, контраинтуитивные выводы. Кажется, мы через цепочку медиумов (от Кантора и Эйнштейна до Шилова) прикасаемся к чему-то бесконечно высокому, и смутно догадываемся, что есть что-то еще более высокое.
Вряд ли случайным было то, что и Кантор, и Эйнштейн воспитывались и жили в Германии в конце XIX века, в эпоху «грюндерства». Для дикаря вроде меня, попавшего в Германию в наше время из совсем другой страны, следы той эпохи еще видны и слышны. Так, в Лейпциге она бьет по нервам памятником Битве Народов и Новой Ратушей, а в Берлине церковью на Курфюрстендам. Может быть, и Вагнер с Ницше тоже что-то говорят о том времени, когда такие прорывы были возможны.
Кстати, Георгий Евгеньевич был большим любителем Вагнера. Однажды он принес в общежитие университета свои пластинки и устроил музыкальный вечер: слушали «Золото Рейна». Еще на экране он показывал текст в «эквиритмическом переводе», чтобы мы могли следить за действием. Я был настолько шокирован и возмущен услышанным и увиденным, что минут через 20 схватился за живот (чтобы не обижать Георгия Евгеньевича) и убежал. Все мои дальнейшие попытки слушать Вагнера кончались тем же.
Следующим событием, которое можно назвать «инициацией», был для меня кружок Коли Константинова. Это был знаменитый «Кружок Бета». Его программа была амбициозна до фантастичности. Мы начали с основ анализа. Методически это были те самые листочки с задачами, которые потом стали фирменным знаком 57 школы. Каждая тема разбивалась на задачи оптимального размера (не слишком трудные, но и не слишком тривиальные). Каждый участник должен был решить все задачи из листочка, чтобы перейти к следующей теме, то есть к следующему листочку. Задачи надо было сдавать самому Константинову либо его помощнику (не помню, кто это был). Таким образом мы изучили пределы, непрерывность, дифференцирование функций одной переменной. Правда, мы не долбили интегрирование (эта тема недостойна быть изучаемой на листочках). Еще Коля рассказывал про размерность и меру Хаусдорфа (не помню, в какой связи, может быть, просто так), и я был очень горд, когда получил, что размерность Канторова множества равна log2/log3.
Одновременно Коля рассказывал нам про основы электродинамики, и дошел до уравнений Максвелла в интегральной форме. На самом деле он кратко рассказал и про дифференциальные уравнения Максвелла, а по ходу дела он объяснил на пальцах формулу Стокса (я до сих пор объясняю студентам эту формулу таким же образом, как это делал Коля; очевидно, этот путь был указан самим Максвеллом. Впрочем, студентам это в основном неинтересно).
Коля на этом не успокоился. Он пригласил Витю Пана, и тот параллельно рассказывал про теорию групп. Я на эти лекции не ходил, потому что Коля пригласил своего приятеля, аспиранта-биолога, и тот рассказывал нам о генетике. Вот это было здорово! Тогда как раз кончалось царствование Лысенко. Генетика была еще не разрешена, но уже не запрещена. Немного позже вышла книга Дубинина «Основы радиационной генетики», и я пытался ее читать (безуспешно). В школе я нападал на нашу безобидную учительницу биологии и превращал каждый урок «дарвинизма» в диспут, проповедуя генетику во всю мощь своего невежества. Митютя Росман описывал это в стихах:
Вот сидим на дарвинизме.
Шнирельман усердно врет,
Пент1 тихонечко поет…
Так идем мы к коммунизму.
Не очень понятно, как я это выдержал. Сказать «Плакал кровавыми слезами» будет преувеличением, но не слишком сильным. Конечно, самое главное здесь была потрясающая личность Константинова. Я думаю, что-то в нем было от Лузина, чьим математическим внуком он был (через своего учителя Кронрода). Однажды он пригласил нас к себе домой. При входе висел самодельный плакат, гласящий
«PAPE SATAN ALEPPE»
Что означали эти слова, Коля нам не сказал (много позже я узнал, что их произносит один из чертей в «Аду» Данте). Над столом у него висел другой плакат с какими-то китайскими иероглифами. Коля объяснил нам, что они означают «Пусть расцветают сто цветов, пусть соревнуются сто ученых». Сейчас это звучит не особенно оригинально, но мы были у Коли задолго до культурной революции, и мало кто в Москве про такие вещи слышал.
На столе у Коли лежали часы циферблатом к зеркалу, так что время можно было узнать, поглядев на отражение и сделав мысленно еще одно отражение. Коля с серьезным видом объяснил нам, что у этих часов светящиеся стрелки, и что так он защищается от радиации.
Потом мы сели пить чай, и Коля угощал нас вареньем из фейхоа, вещью тогда невиданной. Мы долго крепились, но в конце концов один из мальчиков не выдержал и сказал:
«А можно мне еще этого фейху@вого варенья»?
Коля всегда был полон идей, и всякого человека, оказавшегося в поле зрения, a priori считал своим горячим сторонником. Однако его харизма, очевидно, не распространялась на всех, и у него всегда были конфликты. Поэтому, в частности, наш кружок отовсюду выгоняли. Сперва мы встречались в аудитории в старом здании университета на Моховой; потом нас оттуда вытеснили, и мы переместились через дорогу, в Зоологический Музей. Оттуда нас тоже выгнали, и мы стали собираться прямо в квартире Константинова. К тому времени из всего кружка осталось 4 человека: Лихтман, Либерзон (не знаю, что с ними потом стало), Лида Гончарова и я, так что места нам хватало. Мы уже дошли тогда до уравнений Максвелла, но, правда, не получили электромагнитных волн.
Про Колю можно еще долго рассказывать. Однажды я его встретил в переходе метро. Он меня остановил и достал какой-то свиток. Это была распечатка АЦПУ, на которой крестиками и ноликами был напечатан мультфильм про кошку. Сперва был пустой кадр, потом сбоку появлялись кошачьи усы, потом вылезала голова, выбегала вся кошка. Она добегала до края кадра, поворачивала назад, и исчезала там, откуда прибежала. Это был первый опыт компьютерной мультипликации, произведенный в лаборатории Кронрода в ИТЭФе. Но про Кронрода я не буду рассказывать, это совсем другая история.
Примечание
1 Володя Пентковский (1946–2012), стал впоследствии одним из главных людей в Интеле и AMD. Говорят, процессор «Пентиум» назван в его честь.
Оригинал: http://7i.7iskusstv.com/y2020/nomer11/shnirelman/
