בס»ד
А. Воронелю
«Законы природы обладают фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости».
Е. Вигнер.
Неправдоподобной, ошеломляющей эффективности математики в естествознании посвятил свою работу Нобелевский Лауреат 1963 года Юджин Вигнер.[1] Натурфилософское эссе Вигнера не утратило ни своей свежести, ни своего значения до сих пор,[2],[3] подводя читателя к границам познанного и познаваемого человеческим разумом, к тайне бытия. Вигнер, не брезгуя метафизикой (физикам хорошего тона полагается презирать болтунов-философов), задается вопросом: почему природа разговаривает с нами языком математики? Почему звонким, ярким, устрашающим успехам физиков, химиков и инженеров всегда предшествуют тихие достижения математиков? Почему математические уши торчат из-под любой физической и инженерной задачи? Вигнер заостряет мысль так: для физиков и инженеров «математический язык служит не только средством общения, но и единственным языком, на котором мы можем говорить». И поясняет: Второй Закон Ньютона и Закон Всемирного Тяготения — просты, но они просты лишь для математика, но отнюдь не для обыкновенного здравомыслящего человека, «отчасти потому, что в его формулировку входит понятие второй производной» и, что не менее важно:
«Закон Всемирного Тяготения — это условный закон с весьма ограниченной сферой применимости. Он ничего не говорит ни о Земле, притягивающей те камни, которые бросал Галилей, ни о круговой форме лунной орбиты, ни о планетах солнечной системы. Объяснение этих начальных условий остается на долю геолога и астронома, и задача, стоящая перед ними, отнюдь не легка».[1]
Запомним эту мысль, законы физики — это условные законы, с ограниченной сферой применимости. Вигнер настаивает на этой мысли:
«Законы природы обладают фантастической точностью, но строго ограниченной сферой применимости … я предлагаю назвать эту закономерность эмпирическим законом эпистемологии»[1].
Напрашивается аналогия с принципом неопределенности Гейзенберга, в данном случае, принимающем следующую форму: чем точнее выполняется физический закон, тем уже его область применения. Задача двух тел в небесной механике имеет точное решение. Но уже задача трех тел в общем случае не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Известны лишь отдельные точные решения для специальных начальных скоростей и координат объектов.
Но почему именно язык математики оказался так идеально пригнан к описанию природы? Вигнер склонялся к тому, что тот факт, что математика и физика так хорошо дополняют друг друга — является счастливым, чудесным совпадением, которое трудно объяснить. Так ли?
***
Мастерство-физика теоретика во многом напоминает сметку, сноровку талантливого, размашистого карикатуриста. Передо мной — баллон с газом. Я хочу разобраться в его поведении. Если я попытаюсь учесть все детали строения газа: структуру молекул, составляющих газ, точное взаимодействие между молекулами, взаимодействие молекул со стенками сосуда, — дело — труба. Даже если я привлеку самые мощные компьютеры, я не смогу сказать ничего дельного о поведении газа. И вот я начинаю отсекать все лишнее и берусь за тушь, перо и бумагу. Взаимодействием между молекулами газа пожертвуем. Сами реальные, невероятно сложно молекулы я заменю упругими стальными шариками; а дальше (чего уж мелочиться) заменю их бегающими по сосуду точками. И так далее. В результате, я получу невероятно плодотворную, условную и полезную модель идеального газа. Она далека от реальности? Верно. Всякая физическая модель далека от реальности. Но эта модель в определенном диапазоне физических параметров удивительно хорошо работает. Она не точна, но плодотворна. Поразительно плодотворна. То, что школьники не понимают, как устроены физические теории, объясняется лишь кромешной бездарностью зануд-педагогов. Модельное мышление можно преподать весьма посредственному ученику.
Остановимся и подумаем, что же мы сделали? Реальные молекулы, с их невероятно изощренным и сложным строением, мы заменили бегающими по сосуду точками. Объектами без размера, запаха, цвета и внутренностей; иначе говоря, математическими структурами, существующими исключительно в нашем воображении. Мы условились полагать молекулы точками. Что же удивительного в том, что математика хорошо управляется с математическими же объектами? Ровно ничего. Ничего непостижимого здесь нет. Условные объекты вольготно расположились в условном платоновском, мире математики. Заметим, однако, что искусство-физика карикатуриста, остается искусством. Заурядный ум можно научить понимать язык физических моделей; придумывать плодотворные модели остается талантам. Как и во всяком другом искусстве, в физике немалое значение имеют ремесленные навыки, сноровка, трудолюбие. Но этими скучными добродетелями не обойтись. Настоящему физику необходимы умение угадывать, чутье, нюх, метафизическая глубина в не меньшей мере, нежели писателю или художнику.
***
Мы уже заметили, что математические открытия всегда предшествуют естественно-научным. Ньютон и Лейбниц открывают исчисление бесконечно малых, а потом оказывается, что без него ни обойтись ни в точных науках, ни инженерном ремесле. Сначала математики открывают матрицы, а затем, они, как чертик из шкатулки выпрыгивают в заколдованном царстве квантовой механики. Риччи, Леви-Чивита, Схоутен и Фойгт придумывают тензорное исчисление, и оно немедленно оказывается незаменимым в общей теории относительности. Почему? Еще и потому, что для того, чтобы разглядеть в физической реальности математические структуры, их необходимо уже знать. Если я не знаком заранее с тензорным исчислением, у меня нет шансов разглядеть тензоры ни в теории упругости, ни в структуре пространства-времени, ни в свойствах электромагнитного поля. Разумеется, мы здесь вплотную подходим к сократовской концепции знания, как припоминания. Для того, чтобы разглядеть, распознать истину, надо ее уже знать. Как ни рознятся индийская и европейская философские школы, сократическая философия в этой узловой точке вполне сплетена с буддистской теорией познания.
«Буддистские философы заметили, что «видевший низкое дерево «ашока» не признает за дерево высокое «ашока», если не знает, что такое дерево» (цитирую по Г. Соколик, «Огненный Лед»).
Я неоднократно убеждался в том, что истина, доставляемая точными науками, обнаруживает себя именно так. Одно время я увлекался топологией. Мое воображение зацепила остроумная и необычайно общая топологическая «теорема о волосатом шаре» (официально-сухо именуемая теоремой Брауэра-Пуанкаре). Острословы-математики именуют ее еще и теоремой о расчесывании ежика. Удерживая тон КВН-капустников, переформулируем теорему так: как ни расчесывай ежика, одна из его иголок будет торчать дыбом, или вовсе выпадет. После того как я познакомился с этой удивительной теоремой, я начал я ее распознавать в дюжинах физических задач, она выползала наружу в геометрической оптике, гидродинамике, качении твердых тел. Но я смог увидеть тангенциальное поле векторов, напоминающее тщательно расчесанного ежика, только после того, как выучил теорему Брауэра-Пуанкаре; не зная ее заранее, не припомнив ее, я бы этого прилизанного ежика не увидел.
Это другая сторона необычайной эффективности математики в естествознании. Для того, чтобы распознать математическую структуру в реальном объекте, ее, это структуру необходимо уже знать. Здесь мы наталкиваемся на то, что Мераб Константинович Мамардашвили именовал проблемой философской тавтологии. Но, пожалуй, ничего мистического в способности устанавливать соответствие реальности нашему пред-знанию — нет.
***
Как мне кажется, мистический пласт взаимоотношений математики с окружающим миром залегает глубже. Как-то так чудесным образом оказывается, что любая плодотворная, красивая, нетривиальная математика окажется незаменимой для естествознания. Я здесь нарочито позволяю себе философскую, скользящую по поверхности вещей безответственность речи. Ну, что такое красивая математика? Смутно эстетическое чувство и очень субъективно. Многие математики полагали теорию множеств одним из высших достижений разума; иные старались без нее обойтись. Но боюсь, что уточнить эти соображения мне не удастся. Развернуть их можно, а, вот, придать приличную естествознанию строгость не получится. Возьмем, например, топологию. Как кажется, топология расположена неимоверно далеко от физики, но сегодня без топологических идей современная физика непредставима. Возьмем еще более кричащий пример: теория чисел, на первый взгляд, она представляет собой прекрасное упражнение для гимнастики ума. Теория чисел может доставлять огромное эстетическое удовольствие, но для экспериментальных наук она, как кажется, роскошно, великолепно бесполезна. Сегодня мы знает, что это не так; p-адические числа все увереннее проползают в физику, обнаруживаясь в квантовой механике, генетике и динамике белков. Скажу более, чем дальше математика, расположена от грубого мира реальности, чем она «чище», тем вероятнее ее прорыв в естествознание. Чем меньше математик думает о прикладном значении своей работы, чем выше и отдаленнее от вещей абстракции, которыми он оперирует, тем ярче они высветятся в физике. Сегодня физик-теоретик больше думает о математических конструкциях, нежели о вещах, наполняющих мир.
Грань между реальностью и миром математических абстракций оказывается стертой. Современный математик Макс Тегмарк, обостряя эту мысль, скажет, что мы и вообще живем в математике; окружающий наш мир и есть математика. Заметим, что вездесущие и всепроникающие компьютеры только усилили это ощущение. Никто уже твердо не может сказать, где заканчивается физическая реальность, и где начинается виртуальная. За виртуальные биткойны можно приобретать вполне реальные вещи. Вигнер не дожил до того времени, когда математика из эффективного средства постижения реальности стала самой реальностью.
***
Мне кажется, Джон Арчибальд Уилер и Мераб Мамардашвили философски провидели это смыкание теплой, колючей и пахучей реальности физических вещей и ледяного платоновского мира абстракций. Уилер, в своей работе Information, Physics, Quantum: the Search for Links, скажет: никакого предзаданного, готового к употреблению и пониманию физического мира, — нет.[4] Познаваемый мир возникает, становится только после того, как мы задаем ему вопрос.[4] Мир соответствует задаваемому ему вопросу. Как говорил Мераб Мамардашвили: мир нельзя брать, как готовый. Мир откликается на наше усилие его познать. А хорошая, чистая, рафинированная математика позволяет задать природе осмысленный, грамотно оформленный вопрос. И чем она дальше от вещей, тем легче природа на него откликнется.
Литература
[1] Вигнер, Е. Непостижимая Эффективность Математики в Точных Науках, в сборнике «Этюды о симметрии», Москва, Мир, 1971, 182-198.
[2] Hamming, R. W. (1980). «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics». The American Mathematical Monthly. 87 (2): 81—90.
[3] Halevy, A.; Norvig, P.; Pereira, F. (2009). The Unreasonable Effectiveness of Data. IEEE Intelligent Systems. 24 (2): 8—12.
[4] Wheeler, J. A. Information, Physics, Quantum: The Search for Links, Proceedings of the 3rd International Symposium on Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology. Tokyo, 1989б 354—368.
Оригинал: http://7i.7iskusstv.com/y2020/nomer12/bormashenko/
