История статистики (продолжение)0

Статистика. Её история и суть

(продолжение. Начало в №2/2022)

1. Ранняя история

В 1660-е годы Герман Конринг положил начало новой дисциплине, государствоведению, и уже в первые десятилетия XVIII в. её преподавали по всей Германии (Lazarsfeld 1961, с. 291). Статистики собирали сведения, включая и количественные данные, о политическом устройстве, географическом положении, климате, экономике и населении различных стран. Achenwall (1749/1752, с. 1), выдающийся представитель государствоведения, подходяще определил так называемую статистику как государствоведение отдельных стран.

Его последователь, Schlözer (1804, с. 86), придумал крылатое, но неудовлетворительное высказывание, которое, однако, не считал определением: История это движущаяся статистика, а статистика — застывшая история. Неудовлетворительное, потому что, как заявил ещё Лейбниц (Sheynin 1977, с. 224) в рукописи 1680 г., следовало сравнивать статистику различных стран и одной и той же страны в различные периоды. Иначе говоря, в статистике не должно быть ничего застывшего.

Государствоведение существует и сейчас, по крайней мере в Германии в новом виде и его можно считать приложением статистического метода к жизни государства (Шейнин 2014, с. 142–143). В её современном понимании статистика возникла из политической арифметики, одним из направлений которой было изучение населения. Впрочем, её основатели (Петти, Граунт) не определили этого термина.

Новая дисциплина основывалась на количественных данных и привела к развитию элементов теории вероятностей от Арбутнота к Ник. Бернулли, Муавру, Даниилу Бернулли и Лапласу. Классической задачей того времени оказалось изучение полового состава новорождённых. Другой существенной темой того времени была смертность, непосредственно связанная со страхованием жизни и обратившая внимание учёных к медицинским и социологическим проблемам. Так, Süssmilch (1758), самый влиятельный статистик до Кетле, заметил, что распространению эпидемий способствуют нищета и невежество.

И всё же Лондонское (впоследствии Королевское) статистическое общество, учреждённое в 1834 г., пыталось ограничить свои усилия установлением фактов (Anonymous 1839). Аналогичное стремление имело место во Франции. Деламбр (Delambre 1819, с. LXVII) считал, что статистика не должна ни вступать в дискуссии, ни стремиться усовершенствовать теории, а Fourier (1821, с. iv–v) заявил, что дух рассуждений и предположений … препятствует истинному прогрессу статистики, которая в первую очередь является наукой наблюдения.

На подобные нелепые ограничения по необходимости не обращали внимания, заметил Woolhouse (1873, с. 39) по поводу Лондонского общества. Уже Gatterer (1775, с. 15) заявил, что статистика должна объяснять нынешнее нынешнее состояние нации, исходя из её предшествовавшего состояния. Курно (1843) заметил, что статистика должна проникать в существо вещей (§ 106), исследовать причины, управляющие явлениями физического мира и общественной жизни (§ 120). Cauchy (1845, с. 242) утверждал, что статистика в некотором роде безошибочна при оценке учений и институтов. И вот великий медицинский вывод (Snow 1855): распространение холерных эпидемий обусловлено (в основном) неочищенной питьевой водой.

Следует, правда, признать, что уже сбор данных был важен и социологии, и естествознанию. Так, в 1821–1829 г. под редакцией того же Фурье вышло четыре тома статистических таблиц, описывающих Париж и департамент Сена. Французский врач Louis(1825) положил начало количественному методу, который оставался в моде примерно до 1850 г. и сводился к сбору и упорядочению количественных медицинских фактов.

Количественные сведения собирались и в биологии, метеорологии и астрономии. К примеру, к количественному методу можно отнести составление астрономических ежегодников.

Представляется, что Толстой (1884–1886, с. 27) высмеивал этот уже, видимо, не столь распространённый метод, заметив, что Единственная задача была в том, чтобы сравнить вероятности блуждающей почки, хронического катара и болезни слепой кишки. Вопрос был не в жизни (пациента).

2. Массовые наблюдения и теория вероятностей

Начиная с Граунта статистики поняли, что их выводы должны основываться на большом числе наблюдений. Курно (1843, § 103) и Rümelin (1863–1864/1875, с. 222) так и заявили, но первыми, которые соединили при этом статистику и теорию вероятностей, были Double и др. (1835, с. 174): статистика является приложением теории вероятностей к бесконечным(?) массам. Чуть раньше Libri-Carrucci и др. (1834, с. 535) положительно отозвались о преимуществах, вытекающих из применения высокой статистики, и заявили, не упомянув больших чисел, что наиболее возвышенные задачи социальной арифметики могут быть решены только с помощью теории вероятностей. Недолговечный термин социальная арифметика (статистика населения, медицинская статистика и страховое дело) предложил Пуассон (Sheynin 1978, с. 296–297).

За несколько лет до 1826 г. Fourier, в письме Кетле (Quetelet 1826, с. 177), заявил, что статистические науки смогут развиваться лишь в той же мере, в какой их поддерживают математические теории. Неясно, правда, как это можно сочетать с его же высказыванием (§ 1) о том, что рассуждения и предположения препятствуют прогрессу статистики.

Необходимость в поддержке статистики стохастической обработкой наблюдения (нематематическими теориями вообще) стала очевидной по крайней мере после труда Якоба Бернулли, хотя Кетле лишь поверхностно применял теорию вероятностей, а его смутное определение статистики (Quetelet 1848, с. xi) не упомянуло её. Статистика, как он заявил, это новая наука, изучающая человека во всех его коллективах. Некоторые высказывания Кетле просто беззаботны, и Knapp (1872, с. 124) слишком вежливо заметил, что его ум, богатый мыслями, не методичный, а потому и не философский (т. е. не научный). См. также Шейнин (1986).

После его смерти в 1874 г. немецкие статистики начали проклинать его скромное применение теории вероятностей. Bortkiewicz (1904) возражал против этого, однако кроме Пуассона и его соавторов (Double, Libri-Carrucci, см. выше) непосредственные определения статистики у других авторов не связывали её с вероятностью.

Якоб Бернулли (1713) соединил статистическую () и теоретическую (р) вероятности, полагая, что первая основана на n испытаниях. Он доказал, что при неограниченном возрастании n  р и оценил скорость этого процесса (не очень удачно, потому что формула Стирлинга не была ещё известна).

Впрочем, целью Бернулли была замена неизвестное р известным . Фактически речь шла о двух различных задачах, о прямом и обратном законе больших чисел (термин Пуассона). И Бернулли, и Муавр (1733 и позднее) полагали, что эти задачи тождественны, хоть сразу же заметно, что это не так: в обеих задачах известны результаты испытаний но дополнительная информация, а именно вероятность р, была дана только в прямой задаче. Для достижения той же точности обратная задача должна была, следовательно, основываться на большем числе испытаний.

Первым это заметил и количественно изучил Bayes (1764, 1765), и потому мы полагаем, что именно он завершил построение первого варианта теории вероятностей. О его заслугах можно судить по тому, что в современной энциклопедии (Прохоров 1999) с его именем связано 14 понятий, например бейесовские оценки, бейесовский подход.

Начиная с Госсета (Стьюдента), см. E. S. Pearson (1990), статистика имеет дело и с малыми выборками, о чём ни Пуассон, ни его бывший студент Гаварре (Gavarret 1840), ставший врачом, не подозревали. Другой врач, Liebermeister (примерно 1876), решительно заявил, что в терапевтике нельзя рассчитывать на большое число наблюдений, и что, во всяком случае, разумные решения возможны при их небольшом числе.

Пирсон (K. Pearson 1925) обоснованно заметил, что оценка быстроты сходимости у Бернулли (см. выше) слишком груба, но недопустимо сравнил его закон больших чисел с ошибочной птолемеевой системой мира. Он, видимо, не придавал большого значения теоремам существования (в данном случае тому, что теоретическая вероятность была пределом статистической).

3. Новые задачи

 Граунт (Graunt 1662/1939, с. 79) не был уверен, что статистика нужна кому-либо, кроме государя и его главных министров, однако со временем положение резко изменилось. В XIXв. судебная статистика постепенно стала незаменимой, а Кетле (1869, т. 1, с. 419) рекомендовал исследовать социальные последствия прокладки телеграфных линий и железных дорог.

Новые важные потребности возникли в ХХ в. с появлением государств всеобщего благосостояния, как они официально назывались, и принятием государственных решений (Bartholomew 1995), см. также высказывание Махаланобиса 1950 г. (Rao 1993, с. 339): Задача статистики состоит в принятии решений на вероятностной основе по существующим данным.

Другими областями исследований явились изучение общественного мнения и статистический контроль качества массовой продукции. Экономика, статистика и математика слились воедино при образовании эконометрики (Frisch 1933, с. 1): созданное в то время эконометрическое общество имело целью продвижение экономической теории в её отношениях со статистикой и математикой.

Но вот на протяжении быть может полутораста лет статистики отказывались признать закон больших чисел и вообще математику и не считали нужным изучать случайные события с переменными вероятностями его появления в отдельных испытаниях, а об оценке точности результатов и речи почти не было (Шейнин 2013, § 4.2.3).

Громадные изменения произошли в естествознании. В основном в XIX в. возникли новые дисциплины, связанные со статистикой: эпидемиология, общественная гигиена, т. е. предшественница экологии, география растений, зоогеография, климатология, звёздная статистика, биометрика и кинетическая теория газов. Многие фундаментальные проблемы, например, влияние солнечной активности на земные явления, начали изучаться статистически.

Оставляя в стороне возникновение статистического истолкования физических и биологических законов, заметим, что в астрономии астероиды составляли статистическое множество и параметры их орбит изучались статистически (Ньюком), и само существование неизвестных малых планет (ныне называемых карликовыми) стало объектом статистических выводов (Пуанкаре). То же можно сказать о размещении звёзд в пространстве (У. Гершель, с середины 18 в.), а позднее об их собственном движении. По предложению Каптейна (Kapteyn 1906) был введён в действие план международного выборочного изучения звёздного неба.

Гумбольдт (Humboldt 1817) применил статистические данные о температуре воздуха для построения изотерм и тем самым выделил климатологию из метеорологии и ввёл климатические зоны (известные древним, которые основывались лишь на качественных понятиях). Введение контурных линий для представления статистических данных было блестящим примером предварительного исследования данных (Andrews 1978). Впрочем, ещё в 1701 г. Галлей опубликовал карту Северной Атлантики с линиями равного магнитного склонения (Chapman 1941, с. 5).

Гумбольдт (1845–1862, т. 1, с. 18 и 72; т. 3, с. 288) обусловил изучение естественных явлений исследованием средних значений (состояний). В последнем случае он упомянул единственный решающий метод средних значений. Бёйс-Баллот (Buys Ballot 1850, с. 629) заметил, что изучение уклонений от средних значений составляет вторую стадию развития метеорологии. Он мог бы назвать и другие науки (геодезию: изучение формы и размеров Земли, да и статистику!).

В начале XX в. появилась биометрическая школа, которая статистически исследовала наследие Дарвина, но вот на континенте Европы ничего похожего не произошло. Одной из причин могло послужить заявление Кетле (1846, с. 259), который заявил, что растения и животные остались такими же, какими они вышли из рук Творца. Дарвина он ни разу не упомянул.

В истории статистического метода можно выделить три этапа. Вначале выводы основывались на подмеченных качественных закономерностях, что соответствовало сути древней науки. Вот утверждение римского врача Цельса (Celsus 1935, с. 19):

Внимательные люди замечали, что именно, в общем, лучше подходит и начали назначать то же самое своим пациентам. Так возникло искусство врачевания.

Вторая стадия (Тихо Браге в астрономии, Граунт в статистике населения и медицинской статистике) отличалась сбором и наличием статистических данных. Важные открытия были сделаны при помощи простых стохастических идей и методов, или даже непосредственно (Сноу, см. § 1). На нынешней стадии, начавшейся в конце XIX в., выводы стремятся проверять количественными критериями.

4. Планирование эксперимента и теория ошибок

Планирование эксперимента (Cochran 1978) возникло в 1920-е годы при изучении сельскохозяйственных опытов Фишером. В него можно было бы включать изучение оптимальных методов наблюдений в практической астрономии и геодезии (Box 1964). Многое в этой дисциплине, не зависящее от случайностей, было предметом поглощённой ей детерминированной теории ошибок.

По Романовскому (1955) и Большеву (1963) стохастическая теория ошибок принадлежит статистике, но естественнее полагать её приложением статистического метода к обработке наблюдений в экспериментальной науке, а её значимость вряд ли достаточно осознаётся. По Романовскому, изучение систематических ошибок не относится к математической статистике, с чем мы решительно не согласны, и в любом случае оно относится к теоретической статистике, см. § 7.

Экспериментальная наука не может обойтись без понятия истинного значения неизвестной величины. Фурье (1826/1890, с. 534) определил его как предел среднего арифметического из наблюдений, число которых неограниченно возрастает. Это неизбежно означало, что в истинное значение включалась остаточная систематическая ошибка (Eisenhart 1963/1969, с. 31). Позднейшие авторы неоднократно повторяли определение Фурье независимо друг от друга, самого же Фурье никто из них не упомянул. Эвристически оно напоминает определение вероятности по Мизесу (Шейнин 2007).

Статистика отошла от истинных значений к оценкам параметров плотностей и функций распределения (Fisher 1922), но полностью избавиться от них не смогла. Хальд (Hald 1998) неоднократно упоминал их в гл. 5 и 6, а на с. 91 заметил: оценка истинного значения, т. е. параметра сдвига …

Стохастическая теория ошибок началась с Симпсона (Simpson 1756, 1757) и Ламберта (Lambert 1760, 1765a, 1765b), Шейнин (1966; 1971b). Симпсон по существу ввёл случайную величину (которую формально определил Пуассон (1837), хоть и назвал её временным термином, вещь А) и производящие функции. Ламберт изучал основы теории ошибок (не слишком успешно) и ввёл и этот термин, и принцип наибольшего правдоподобия.

Истинным изобретателем метода наименьших квадратов был Гаусс (1809, 1823), хоть Лежандр первым опубликовал его в 1805 г. В своём первом мемуаре Гаусс предположил, что среднее арифметическое из наблюдений является вероятнейшим значением неизвестной константы и соответственно вывел закон ошибок, нормальный, который впервые косвенно появился у Ник. Бернулли в 1713 г., в письме Монмору (Montmort 1708/1713, с. 388–394).

Гаусс не удовлетворился принципом наибольшего правдоподобия (и вряд ли единственностью закона ошибок). В 1823 г. он ввёл дисперсию (но не сам термин) в качестве меры точности наблюдений и смог бы сразу же определить её несмещённую выборочную оценку, пропорциональную сумме квадратов остаточных свободных членов исходной системы уравнений (см. ниже), см. Шейнин (2012).

Это немедленно привело бы его к принципу наименьших квадратов, фактически же Гаусс вначале весьма сложным путём обосновывал технологию применения этого принципа и даже не намекнул на указанную возможность. В результате громадное число учебников и руководств по-прежнему описывали только его мемуар 1809 г., и Eisenhart (1964, с. 24) заметил, что второй мемуар был известен лишь студентам повышенных курсов математической статистики. Недаром Фишер (Fisher 1925, с. 24) заявил, что метод наименьших квадратов является специальным случаем применения метода наибольшего правдоподобия, исходя из которого его можно вывести.

Несколько авторов, начиная с середины XIX в., всё же выступили против мемуара 1809 г., но сложности основного мемуара они, конечно же, не могли устранить. В России в пользу второго обоснования метода наименьших квадратов резко высказался Марков, который, однако, отрицал оптимальность этого метода (Марков 1899/1951, с. 246) и тем самым обесценил своё высказывание.

Ввиду неизбежных систематических ошибок точность наблюдений плохо оценивается дисперсией, и отбраковка отклоняющихся наблюдений является весьма деликатной процедурой.

5. Геометрическая вероятность и случайность

Геометрическая вероятность окончательно закрепилась в теории вероятностей в XVIII в., хотя уже Ньютон (1664–1666/1967) указал на возможность её применения. Многие авторы фактически применяли её при обращении со случайными величинами с непрерывными законами распределения, но лишь Бюффон впервые начал изучать её. Вот его основная задача, появившаяся в анонимной (несомненно, его самого) заметке 1735 г. Игла длиной 2rслучайным образом падает на пучок параллельных прямых, расположенных на расстоянии a>2r друг от друга. Требуется определить вероятность того, что она пересечёт одну из них. Оказывается, что

 P = 4r/πa.

Основной целью Бюффона (Buffon 1777/1954, с. 471) было введение геометрической вероятности в свои права в науке о случае.

Несколько раньше Мичел (Michell 1767) попытался определить вероятность того, что две звезды случайно расположены близко друг к другу. Его задача привела к общим рассуждениям о случайном.

Курно (1843, § 18) предложил общее определение вероятности, пригодное и для дискретных, и для непрерывных случайных величин: она является отношением протяжённостей [сейчас следовало бы сказать мер] благоприятных случаев ко всем случаям.

В другой знаменитой задаче (Bertrand 1888, с. 4) требовалось определить вероятность того, что случайная хорда заданного круга короче длины стороны вписанного в него равностороннего треугольника. Как и Мичел, Бертран имел в виду случайную величину с равномерным распределением. Его задачу обсуждали более столетия, причём вводили различные варианты задачи (например, хорда может перемещаться параллельно самой себе; перемещаться так, чтобы один её конец оставался неподвижным). В конце концов выяснилось, что, во-первых, возможных решений было несчётное количество, и, во-вторых, что разумно считать, что искомая вероятность равна половине. Никто не заметил, что половинная вероятность равносильна полному незнанию (Шейнин 2003).

Заметим, что книга Бертрана поражает своим часто необоснованным и неконструктивным отношением к теории вероятностей и обработке наблюдений (Шейнин 1994).

Мы подошли к фундаментальному понятию случайности, которая неизбежно проникает в статистику (Chaitin 1975). Уже Аристотель привёл примеры случайных событий: неожиданная встреча знакомых (Физика, гл. 4) и неожиданная находка клада [а не ржавого гвоздя] (Метафизика, кн. 5, гл. 13). Ср. Пуанкаре (Poincaré 1896/1999, с. 11): если при неустойчивом равновесии очень малая причина вызывает значительное следствие, то этим следствием мы обязаны случаю. Его рассуждение возвестило начало современного периода изучения случая (Шейнин 1991).

Среди предшественников Пуанкаре назовём Максвелла (Maxwell 1873/1969, с. 442), который сослался на неустойчивое преломление лучей в двуосном кристалле. Он же (1859/1927, с. 295–296) заявил:

В динамике существует весьма общая и очень важная проблема. […] Отыскав частное решение уравнений движения любой материальной системы, определить, вызовет ли небольшое возмущение движения, указанное решением, небольшую периодическую вариацию или расстройство движения.

Пуанкаре (1896/1999, с. 9) высказался и о связи случайного и необходимого, хоть и упустил закономерность массовых случайных событий:

Ни в одной области точные законы не определили всего, они лишь очерчивали пределы, в которых дозволялось пребывать случаю. В этой концепции слово случай имело [имеет] точный, объективный смысл.

В последние десятилетия начали изучаться хаотические процессы, при которых небольшое искажение начальных условий движения приводит к его экспоненциальному уклонению, что несравненно превосходит расстройство движения по Максвеллу и необычайно расширяет схему Пуанкаре малая причина — существенные следствия. Мы не нашли количественного определения подобных процессов, но можем предложить простой пример их отличия от прежней случайности. Как бы сложно и продолжительно ни было бы падение подброшенной монеты, ни количество возможных исходов, ни их вероятности не изменятся, тогда как хаотический процесс означает быстрое возрастание неустойчивости движения и появление несчётного количества его возможных траекторий. В теории вероятностей хаотичность можно понимать как совершенно беспорядочный закон (!) распределения.

В математике случайная переменная должна быть статистически устойчива, но в естествознании случайность понимается шире, и её можно иллюстрировать примером Ламарка (Lamarck 1815, т. 1, с. 133, 173): уклонения от лестницы живых существ должны были быть случайными. Вот подходящее утверждение Колмогорова (1983/1986, с. 467):

 Нужно различать случайность в […] широком смысле и стохастическую случайность(которая и является предметом теории вероятностей).

Количественного критерия стохастической устойчивости, видимо, нет, но её следует, видимо, понимать как подчинение ошибок наблюдений одному и тому же закону распределения, т. е. как противопоставление хаотичности.

У. Гершель (Herschel 1817/1912, с. 579) ещё не знал, что размеры звёзд чудовищно различны и ошибочно посчитал, что размер звезды, выбранной наудачу из всех, видимых простым глазом, будет вряд ли намного отличаться от некоторого среднего размера из всех. Он также не учёл, что из ничего ничего не следует.

Это латинское изречение разъясняет некоторые результаты, связанные с субъективной вероятностью. Не имея никаких предварительных сведений и введя произвольное допущение о равной возможности различных вариантов поставленной задачи, Пуассон (1837, § 14) получил субъективную вероятность изучаемого события, равную половине, и разумно заключил (§ 4), что это означает полное недоумение.

Случайность появилась в системе мира. Кеплер (Kepler 1609/1992, с. 404–405) приписал эксцентричность планетных орбит случайным причинам. Кант (Kant 1755/1910, с. 337) согласился с Кеплером (но не сослался на него), хоть и должен был бы знать, что Ньютон доказал, что эксцентриситеты определились исходными скоростями обращения планет около Солнца (случайными или нет?). И уж трудно понять, как Лаплас (1796/1982, с. 328), не ссылаясь ни на кого, повторил их мысли. Последнее прижизненное издание его книги вышло в 1811 г. …

6. Социология

Зюссмильх (Süssmilch 1741) пытался выявить божественный порядок в статистике населения, но вот советские статистики отыскали порядок в схемах Маркса, поскольку считали целью статистики их количественное обоснование. Это ярко выявилось на московской статистической конференции 1954 г. (Аноним 1954; Шейнин 1998/2006, с. 107–109). Так (Аноним, с. 61), статистика не изучает массовых случайных явлений, притом же они не обладают никакими закономерностями (с. 74), и даже честные буржуазныестатистики нарушают свой профессиональный долг (с. 46).

Вице-президент академии наук, К. В. Островитянов (с. 82), невежественно утверждал, что нельзя применять одни и те же статистические приёмы при изучении астрономии и экономики. Это заявление противоречило определению математической статистики по Колмогорову (Аноним, с. 46–47), который также упомянул безопасные области применения статистического метода (работа телефонной сети, страховое дело и т. д.). О статистике населения следовало умалчивать. Перепись 1937 г. выявила демографическую катастрофу, была объявлена вредительской, а Центральное статистическое управление разгромлено (Шейнин 1998/2006). Статистика и деспотизм несовместимы (Schlözer 1804, с. 51)!

Намного позже Рябушкин (1980) в соответствии с резолюцией конференции указал, что статистические описания должны быть неразрывно связаны с качественной стороной явлений. Так же считали Буняковский (1866, с. 154), Чупров (1903/1960, с. 42) и Fisher (1935, с. 1), но никто из них, в отличие от Рябушкина, не подразумевал … связаны с марксизмом. Вот Буняковский:

Тот не [прикладной] математик, кто не вникает в смысл, свойственный числам, над которыми он производит какие-либо вычисления.

Лишь Орлов (1990, с. 69) заявил, что отвергает решения конференции и выявил подлоги советской статистики и её отсталость (несомненно известную за рубежом).

7. Единство статистики обеспечивается одним лишь её методом,
т. е. математической статистикой

Schlözer (1804) назвал свою книгу теорией статистики, но никакой теории в современном понимании в ней не было. Имея в виду и других авторов первой половины XIX в., мы можем предположить, что в то время теорией статистики называлась систематизация и упорядочение статистических данных в соответствии с разумно выбранными показателями. В подобном же виде Ахенваль представил теорию государствоведения.

Лишь в середине ХХ в. Мизес (1964, посмертно, с. 1) и Кендалл (Kendall 1978, с. 1093) заявили, что математическая статистика (отдел теории вероятностей, как решил Мизес) является математической теорией статистики.

Позднее Колмогоров (1948, с. 216) заметил, что, если математическая статистика это наука о математических методах изучения массовых явлений, то теория вероятностей должна считаться её органической частью; что (с. 218) статистика лишь постепенно перестаёт быть прикладной теорией вероятностью, а математическая статистика это наука о математических методах изучения массовых явлений.

Непонятно: где же малые выборки (конец § 2)? Через несколько лет Колмогоров (Аноним 1954, с. 46–47) лишь заявил, что математическая статистика не является прикладной теорией вероятностей, а много позже опубликовал иное мнение, см. ниже.

Следующие два определения можно было бы видоизменить, заменив статистику теорией статистики, а массовые наблюдения статистическими данными. Фишер (1925, с. 1) утверждал, что статистика — ветвь прикладной математики, и её можно считать математикой, приложенной к данным наблюдения, а К. Пирсон (1978, с. 3) заявил, что статистика — приложение математической теории к истолкованию массовых наблюдений.

Alph. DeCandolle (1833, с. 334) и Chaddock (1925, с. 26) полагали, что статистика является ветвью математики. Это неполное определение также можно видоизменить, чтобы оно соответствовало мыслям Мизеса и Кендалла.

В соответствии со сравнительно новым определением Колмогорова и Прохорова (1974, столбец 1428), математическая статистика это

 Раздел математики, посвящённый математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных […, т. е. сведений ] о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающей теми или иными признаками. […] Метод исследования, опирающийся на рассмотрении статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим.

И, в частности (столбец 1429), статистический метод сводится к рассмотрению [… ] количественных признаков, применению при необходимости выборочного метода […],использованию теории вероятностей. […] Эта формальная математическая сторона статистических методов […] и составляет предмет математической статистики.

Авторы, видимо, исключили теорию ошибок; неясно, считаются ли статистические данные исправленными (вначале или при систематизации при помощи предварительного исследования данных, § 3). Впрочем, видимо, полагают, что такое исправление, и, конечно, не названный в определении сбор этих данных включаются в теоретическую статистику, которая оказывается шире математической. Статистический метод авторы упомянули и во множественном числе, безусловно имея в виду его различные разновидности. Это уточнение можно было бы выделить отдельно, а в основном определении оставить единственное число; ниже, мы на этом методическом изменении и будем основываться.

 Многие определения схожи с описанным. Butte (1808, с. XI) заявил, что статистика — наука об искусстве познания и должной оценки статистических данных, их сборе и систематизации.

Журавский (1846, с. 173) назвал статистику весьма обширной наукой, косвенным приложением математики, основанным на категорической нумерации. Максвелл (1871/1927, т. 2, с. 253; 1877, с. 242) определил статистический метод как оценку среднего состояния группы атомов; как изучение вероятного числа тел в каждой исследуемой группе.

Свои определения предложили Эгон Пирсон (Bartholomew 1995, с. 7), Kendall (1950, с. 130), Kendall & Buckland (1971), Marriot (1991), Bancroft (1966, с. 530), Kruskal (1978, c. 1072), Wilks (1968, с. 162), анонимные авторы (1968, с. 166 и 1985, с. 230) и Dodge (2003, с. 388)

Первые два определения несколько абстрактны, таково же в меньшей степени и четвёртое, другие более или менее напоминают определение Колмогорова и Прохорова. И вот Dodge:

 Статистика это наука сбора, исследования и истолкования данных, т. е. численных сведений, относящихся к совокупности отдельных элементов.

Следует оговориться: в английском языке уже сам термин статистика понимается широко, часто подразумевая и математическую статистику.

Некоторые авторы предложили более узкое и потому вряд ли удовлетворительное определение статистики. Чупров, в неопубликованной диссертации 1896 г. (Шейнин 1990/2010, с. 147) назвал [теоретической] статистикой искусство точно определять меру[…] незнания. Lindley (1984, с. 360) и Stigler (1986, с. 1) полагали, что статистика измеряет наше невежество или неопределённость, а Чернов и Мозес (1959/1962, с. 9) даже заявили, что

Несколько лет назад было принято считать, что статистика занимается главным образом обработкой результатов наблюдения. Однако, статистики сегодняшнего дня имеют гораздо больше оснований сказать, что статистика связана с вопросами принятия решений в условиях неопределённости.

Ср. заявление Махаланобиса (начало § 3). В свою очередь, Bancroft заметил, чтостатистические выводы делаются при наличии неопределённости.

Некоторые авторы (Fox 1860, с. 331); Миклашевский 1901, с. 476) утверждали, что статистика это лишь метод. Alph. DeCandolle (1873, с. 12), вопреки своему намного более раннему мнению, согласился с этим и даже противопоставил статистику и математику, притом ошибочно полагая, что последняя (лишь) приходит к детерминированным выводам.

Особо выделим мнения нескольких авторов. В 1896 г. Чупров (Шейнин 1990/2010, с. 147) заявил, что статистический метод изучает доступные более или менее точной численной характеристике массовые явления. Повторим: не только массовые.

Колмогоров и Прохоров, см. выше: формальная математическая сторона статистических методов […] и составляет предмет математической статистики.

К. Пирсон (1892, с. 15): Единство всей науки состоит только в её методе. Мы можем заменить всю науку статистикой.

Наше заключение: теорией статистики может служить только математическая статистика.

 Добавим другие соображения.

Статистика и статистический метод: иногда эти термины полагают равнозначными, но точнее было бы сказать, что статистический метод почти равнозначен математической (лучше, теоретической) статистике или теории статистики. Выражения типа звёздная или медицинская статистика означают применение статистического метода к звёздной астрономии или медицине. Аналогичный вывод о теории ошибок противоречил бы определению математической статистики по Колмогорову и Прохорову, однако их понимание статистических данных можно расширить, включив в них результаты наблюдений (измерений). Социология или наука о жизни общества и его группах существенно применяет статистический метод.

Особое замечание: для статистики аксиоматическая теория вероятностей бесполезна.

***

Примечания

Сокращение: JNÖS = Jahrbücher f. Nationalökonomie u. Statistik
Сокращение: AHES = Arch. Hist. Exact Sci.

S, G, n означает, что соответствующий источник имеется на нашем сайте sheynin.de или в Google, Oscar Sheynin, в документе n.

Gauss (1823/1887, p. 130), к примеру, означает ссылку на издание 1887 г. мемуара Гаусса 1823 г. Источники, помеченные символом ■, не упомянуты в тексте статьи.

Основной источник по нашей теме: Шейнин (2013).

Литература

Аноним (1954), Обзор научного совещания по вопросам статистики. Вестник статистики, №. 5, с. 39–95. Также в Вестнике экономики, №. 12, с. 75–111.

Аристотель, Метафизика. М., 2006.

Физика. В книге Философы Греции. Харьков, 1999.

Бернулли Я. (1713, латин.), Искусство предположений. Перевод части 4 в книге автора О законе больших чисел. М. Ред. Ю. В. Прохоров.

Большев Л. Н. (1963), Физич. энц. словарь, т. 3, с. 577. М. Также в нескольких последующих источниках.

Буняковский В. Я. (1866), Опыт о законах смертности в России и т. д. Зап. Имп. АН, т. 8, прил. 6.

Гаусс К. Ф. (1809, латин.), Теория движения небесных тел, кн. 2, раздел 3. В книге автора (1957, с. 89–109.

— (1823, латин.), Теория комбинации наблюдений … Там же, с. 17–57.

— (1957), Избр. геодезич. соч., т. 1. М.

Журавский Д. П. (1846), Об источниках и употреблении статистических сведений. Киев.

Колмогоров А. Н. (1948), Основные проблемы теоретической статистики. Резюме. Второе всесоюзное совещание по математической статистике 1948 г. Ташкент, с. 216–220.

— (1983, англ.), О логических основаниях теории вероятностей. В книге автора Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1968, с. 467–471.

Колмогоров А. Н., Прохоров Ю. В. (1974), Математическая статистика. БСЭ, третье издание, т. 15, с. 480–484.

Курно О. (1843, франц.), Основы теории шансов и вероятностей. М., 1970.

Лаплас П. С. (1796, франц.), Изложение системы мира. Л., 1982.

Лексис В. (1879, нем.), О теории стабильности статистических рядов. В книге Четвериков Н. С., редактор (1968), О теории дисперсии. М., с. 5–38.

Марков А. А. (1899), Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. Избр. тр. Без места, 1951, с. 231–251.

Миклашевский И. Н. (1901). Статистика. Энц. Словарь Брокгауза и Ефрона, полутом 62, с. 476–505.

Орлов А. (1990), О перестройке статистической науки и её применении. Вестник статистики, №. 1, с. 65–71.

Пирсон К. (1892, англ.), Грамматика науки. СПБ, 1911.

Прохоров Ю. В., редактор (1999), Вероятность и математическая статистика. Энц. М.

Романовский В. И. (1955), Ошибок теория. БСЭ, второе издание, т. 31, с. 500–501.

Рябушкин Т. В. (1980), Статистика. БСЭ, третье издание, т. 24/1, с. 437–439.

Толстой Л. Н., Tolstoy L. N. (1884–1886), The Death of Ivan Ilyich. В книге автора The Death of Ivan Ilyich and Man and Master. Ney York, 2003, pp. 3–59.

Чернов Г., Мозес Л. (1959, англ.), Элементарная теория статистических решений. М., 1962.

Чупров А. А. (1903), Статистика и статистический метод, их жизненное значение и научные задачи. В книгеавтора Вопросы статистики. М., 1960, с. 6–42.

Шейнин О. Б., Sheynin O. B. (1966), Origin of the theory of errors. Nature, vol. 211, pp. 1003–1004.

— (1971a), Newton and the theory of probability. AHES, vol. 7, pp. 217–243. S, G, 47.

— (1971b), Lambert’s work in probability. AHES, vol. 7, pp. 244–256. S, G, 47.

— (1977), Early history of the theory of probability. AHES, vol.17, pp. 201–259. S, G, 30.

— (1978), Poisson’s work in probability. AHES, vol. 18, pp. 245–300.

— (1986), Quetelet as a statistician. AHES, vol. 36, pp. 281–325. S, G, 29.

— (1990), А. А. Чупров. Жизнь, творчество, переписка. Берлин, 2010.

— (1991), Poincaré’s work in probability. AHES, vol. 42, pp. 137–172.

— (1994), Bertrand’s work on probability. AHES, vol. 48, pp. 155–199. S, G, 47.

— (1998, нем.), Статистика и идеология в СССР. В книге Российская и европейская экономическая жизнь: опыт Санкт-Петербурга. СПБ, 2006, с. 97–119.

— (2002), Newcomb as a statistician. Historia Scientiarum, vol. 12, pp. 14 –167.

— (2003), Geometric probability and the Bertrand paradox. Hist. Scientiarum, vol. 13, pp. 42–53. S, G, 47.

— (2007), The true value of a measured constant and the theory of errors. Там же, vol. 17, pp. 38–48. S, G, 47.

— (2008), Bortkiewicz’ alleged discovery: the law of small numbers. Там же, vol. 18, pp. 36–48.

— (2012), New exposition of Gauss’ final justification of least squares. Math. Scientist, vol. 37, pp. 147–148.

— (2013), Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин. S, G, 11.

— (2014), К истории государствоведения. Финансы и бизнес, № 1, с. 136–158.

Achenwall G. (1752), Staatsverfassung der europäischen Reiche im Grundrisse. Göttingen. The first edition (Göttingen, 1749) was called Abriß der neuesten Staatswissenschaft etc. A large number of later editions up to 1798, but in 1768 the title was again changed.

Andrews D. F. (1978), Data analysis, exploratory. В книге Kruskal & Tanur (1978, pp. 97–107).

Anonymous (1839), Introduction. J. Stat. Soc. London, vol. 1, pp. 1–5. S, G, 19.

Anonymous (1968), Statistics, mathematical. Enc. Brit., vol. 21, pp. 166–170.

Anonymous (1985), Statistics. New Enc. Brit., vol. 28, pp. 230–239.

Bancroft T. A. (1966), Statistics. Enc. Amer., vol. 25, pp. 530–536a.

Bartholomew D. J. (1995), What is statistics? J. Roy. Stat. Soc., vol. A158, pp. 1−20.

Bayes T. (1764–1765), An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Phil. Trans. Roy. Soc., vols 53–54 за 1763–1764, с. 360–418, 296–325. Немецкий перевод: Leipzig, 1908. Перепечатка первой части меуара: Biometrika, vol. 45, 1958, с. 293–315; также в книге E. S. Pearson & Kendall (1970, с. 131–153). S, G, 14.

Bertrand J. (1888), Calcul des probabilités. Второе издание: 1907. Перепечатка первого издания: New York, 1970.

Bortkiewicz L. von (1904), Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf Statistik. Enc. Math. Wiss. Leipzig, Bd. 1, pp. 822–851. S, G, 18.

Box G. E. P. (1964). Errors, theory of. Enc. Brit., vol. 8, pp. 688–689.

Buffon G. L. L. (1777), Essai d’arithmétique morale. В книге автора (1954, с. 456–488). S, G, 16.

— (1954), Œuvres philosophiques. Paris. Редакторы, J. Piveteau, M. Fréchet, C. Bruneau.

Butte W. (1808), Die Statistik als Wissenschaft. Landshut.

Buys Ballot C. H. D. (1850), Die periodischen Änderungen der Temperatur. Fortschritte Phys., Bd. 3 за 1847, pp. 623–629.

Campbell L., Garnett W. (1882), Life of Maxwell. London. [London, 1884; New York — London, 1969.]

Cauchy A. L. (1845), Sur les secours que les sciences du calcul peuvent fournir aux sciences physiques on même aux sciences morales. Oeuvr. compl., sér. 1, t. 9. Paris, 1896, pp. 240–252.

Celsus (1935, англ.), De medicina, vol. 1. London. Написано в первом веке н. э.

Chaddock R. E. (1925), Principles and Methods of Statistics. Boston.

Chaitin G. J. (1975), Randomness and mathematical proof. Scient. American, vol. 232, pp. 47–52. S, G, 51.

Chapman S. (1941), Halley As a Physical Geographer. London.

Cochran W. G. (1978), Laplace’s ratio estimator. В книге Papers in Honor of H. O. Hartley. Ff H. A. David. New York, pp. 3–10.

De Candolle Alph. (1833), Revue des progrès de la statistique. Bibl. Universelle, Cl. Litt., année 18, t. 52, pp. 333–354.

— (1873), Histoire des sciences. Genève — Bale. Немецкие переводы: 1911, 1921.

Delambre, J. B. J. (1819), Analyse des travaux de l’Académie … pendant l’année 1817, partie math. Mém. Acad. Roy. Sci. Inst. de France, t. 2 за 1817, pp. I–LXXII раздела Histoire.

De Moivre, A. (1718), Doctrine of Chances. Позднейшие издания 1738 and 1756. Перепечатка последнего издания: New York, 1967.

De Moivre A. (1733, латин.), A method of approximating the sum of the terms of the binomial (a + b)n expanded into a series from whence are deduced some practical rules to estimate the degree of ascent which is to be given to experiments. Перевод автора, включён во второе издание Doctrine (1738) и в расширенном виде в третье издание, с. 243–254.

Dodge Y. (2003), Oxford Dictionary of Statistical Terms. Oxford, University Press.

Double F. J., Dulong P. L., Larrey F. H., Poisson S. D. (1835), Отчёт о рукописи J. Civiale, “Recherches de statistique sur l’affection calculeuse.” C. r. Acad. Sci. Paris, t. 1, pp. 167–177.

■ Dufau P. A. (1840), Traité de statistique ou théorie de l’étude des lois, d’après lesquelles se développent des faits sociaux. Paris.

Eisenhart C. (1963), Realistic evaluation of the precision and accuracy of instrument calibration. В книге Ku (1969, pp. 21–47).

— (1964), The meaning of “least” in least squares. J. Wash. Acad. Sci., vol. 54, pp. 24 — 33. S, G, 19.

Finney D. J. (1960), An Introduction to the Theory of Experimental Design. Chicago, Univ. of Chicago Press. I refer to the preface, written in 1967, of the Russian edition, Moscow, 1970.

Fisher R. A. (1922), On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. Roy. Soc., vol. 222, pp. 309 — 368.

— (1925), Statistical Methods for Research Workers. В книге Fisher (1990, отдельная пагинация, перепечатка издания 1973 г.). Статистические методы для исследователей. М., 1958.

— (1935), Design of Experiments. Там же, отдельная пагинация.

— (1990) Statistical Methods, Experimental Design and Scientific Inference. Oxford, Oxford University Press.

Fourier J. B. J., редактор (1821–1829), Recherches statistiques sur la ville de Paris et de département de la Seine, tt. 1–4. Paris.

— (1826), Sur les résultats moyens déduits d’un grand nombre d’observations. Œuvres, t. 2. Paris, 1890, pp. 525 — 545.

Fox J. J. (1860), On the province of the statistician. J. Stat. Soc. London, vol. 23, pp. 330 — 336.

Frisch R. (1933), Editorial. Econometrica, vol. 1, pp. 1–4. S, G, 44.

Gatterer J.C. (1775), Ideal einer allgemeinen Weltstatistik. Göttingen.

Gavarret J. (1840), Principes généraux de statistique médicale. Paris. Немецкий перевод: Erlangen, 1844.

Graunt J. (1662), Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality. Baltimore, 1939. Редактор, W. F. Willcox. S, G, 13.

Hald A. (1998), History of Mathematical Statistics from 1750 to 1930. New York.

Herschel W. (1817), Astronomical observations and experiments tending to investigate the local arrangement of celestial bodies in space. В книге автора (1912, vol. 2, pp. 575–591).

Herschel W. (1912), Scientific Papers, vols 1–2. London. [Bristol, 2003.]

Humboldt A. (1817), Des lignes isothermes. Mém. Phys. Chim. Soc. d’Arcueil, t. 3, pp. 462–602.

— (1845–1862), Kosmos, Bde 1− 5. Stuttgart. Третье издание, тт. 1–4. Stuttgart, 1877. Космос. М., 1866–1871.

Kant I. (1755), Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des Himmels. Ges. Schriften, Bd. 1. Berlin, 1910, pp. 215–368. [Erlangen, 1988).] Всеобщая естественная история и теория неба. Избр. произв., т. 2. М., 1959, с. 8 — 296.

Kapteyn J. C. (1906), Plan of Selected Areas. Groningen.

Kendall M. G. (Sir Maurice) (1950), The statistical approach. Economica, vol. 17, pp. 127–145.

Kendall M. G. (1978), The history of the statistical method. В книге Kruskal & Tanur (1978, vol. 2, pp. 1093–1102).

Kendall M. G. & Buckland W. R. (1971). Statistics. Dictionary of Statistical Terms. Edinburgh, Oliver & Boyd.

Kendall M. G., Plackett R. L., редакторы (1977), Studies in the History of Statistics and Probability, vol. 2. London, Griffin.

Kepler J. (1609, латин.), New Astronomy. Cambridge, 1992.

Knapp G. F. (1872), Quetelet als Theoretiker. Jarbücher f. Nationalökonomie u. Statistik, Bd. 18, pp. 89 — 124.

Kruskal W. H. (1978), Statistics: the field. В книге Kruskal & Tanur (1978, vol. 2, pp. 1071–1093).

Kruskal W. H., Tanur J. M., редакторы (1978), International Encyclopedia of Statistics, vols. 1–2. New York, McMillan.

Ku H. H., редактор (1969), Precision Measurement and Calibration. Nat. Bureau Standards Sp. Publ. 300, vol. 1. Washington.

Lamarck J. B. (1815), Histoire naturelle des animaux sans vertèbres, t. 1. Paris. Естественная историябеспозвоночных животных. Избр. произв., т. 2. М., 1959, с. 8–296.

Lambert J. H. (1760), Photometria. Augsburg.

— (1765a), Anmerkungen und Zusätze zur practischen Geometrie. В книге автора Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Tl. 1. Berlin, 1765, pp. 1–313.

— (1765b), Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche. Там же, pp. 424 — 488.

Lazarsfeld P. F. (1961), Notes on the history of quantification in sociology. Isis, vol. 52, pp. 277–333.

Libri-Carrucci G. B. I. T., докладчик (1834), Au nom d’une Commission. Procès verbaux des séances. Acad. Sci. Paris, t. 10, pp. 533–535. Отчёт о представленной рукописи I. J. Bienaymé. Члены комиссии: S. F. Lacroix, S. D. Poisson.

Liebermeister, C. (примерно 1876), Über Wahrscheinlichkeitsrechnung in Anwendung auf therapeutische Statistik. Sammlung klinischer Vorträge No. 110 (Innere Medizin No. 39). Leipzig, pp. 935–961.

Lindley D. V. (1984), Prospects for the future. The next 50 years. J. Roy. Stat. Soc., vol. A147, pp. 359–367.

Louis P. C. A. (1825), Recherches anatomico-pathologiques sur la phtisie. Paris.

Marriot F. H. C. (1991), Statistics. Dictionary of Statistical Terms. Harlow (Essex), New York, p. 196.

Maxwell J. C. (1859), On the stability of the motion of the Saturn’s ring. В книге автора (1890/1927, pp. 288–376).

— (1871), Introductory lecture on experimental physics. В книге автора (1927, vol. 2, pp. 241–255). Вводная лекция по экспериментальной физике. В книге автора Статьи и речи. М., 1968, с. 20–36.

Maxwell J. C. (зачитано 1873), Does the progress of physical science tend to give any advantage to the opinion of necessity […] over that of contingency of events. В книге Campbell & Garnett (1882, pp. 357–366; 1969).

Maxwell J. C. (1877), Рецензия: H. W. Watson, Treatise on the Kinetic Theory of Gases. Oxford, 1876. Nature, vol. 16, pp. 242–246.

Maxwell J. C. (1890), Scientific Papers, vols 1–2. Cambridge. Reprints: Paris, 1927, New York, 1965.

Michell J. (1767), An inquiry into the probable parallax and magnitude of the fixed stars. Phil. Trans. Roy. Soc. Abridged, vol. 12, 1809, pp. 423–438.

Mises R. von (1964), Mathematical Theory of Probability and Statistics. Редакция и дополнения Hilda Geiringer. New York.

Montmort P. R. (1708), Essay d’analyse sur les jeux de hazard. Paris, 1713. [New York, 1980.]

Newton I. (1967), Рукопись без названия. Mathematical Papers, vol. 1, pp. 58–61. Cambridge. S, G, 14.

Pearson E. S. (1990), “Student”. A Statistical Biography of W. S. Gossett. Редакция и дополнения R. L. Plackett при участии G. A. Barnard. Oxford. S, G, 68.

Pearson E. S., Kendall M. G., редакторы (1970), Studies in the History of Statistics and Probability [vol. 1]. London, Griffin.

Pearson K. (1925), James Bernoulli theorem. Biometrika, vol. 17, pp. 201–210.

— (1978), The History of Statistics in the 17th and 18th Centuries. Редактор E. S. Pearson. London, Griffin. Лекции1921–1933 гг.

Poincaré H. (1896), Calcul des probabilités. Paris. Второе издание, 1912, его перепечатка: Sceaux, 1987. Теориявероятностей. Ижевск, 1999.

Poisson S.-D. (1837), Recherches sur la probabilité des jugements, principalement en matière criminelle et en matière civile. Paris. [Paris, 2003.] S, G, 52.

Quetelet A. (1826), À M. Villermé etc. Corr. Math. et Phys., t. 2, pp. 170–178.

— (1846), Lettres … sur la théorie des probabilités. Bruxelles.

— (1848), Du système social et des lois qui le régissent. Paris.

— (1869), Physique sociale, tt. 1–2. Bruxelles. Пересмотренное издание книги 1836 г. [Bruxelles, 1997.]

Rao C. R. (1993), Statistics must have a purpose: the Mahalanobis dictum. Sankhya, vol. A55, pp. 331–349.

Rümelin G. von (1863–1864), Zur Theorie der Statistik. В книге автора Reden und Aufsätze. Tübingen, 1875, pp. 208–284.

Schlözer A. L. (1804), Theorie der Statistik nebst Ideen über das Statium der Politik überhaupt. Göttingen. S, G, 76.

Simpson T. (1756), On the advantage of taking the mean of a number of observations. Phil. Trans. Roy. Soc., vol. 49, pp. 82–93. S, G, 14.

— (1757), Расширенный вариант статьи. В книге автора Miscellaneous Tracts on Some Curious… Subjects… London, pp. 64–75. S, G, 14.

Snow J. (1855), On the mode of communication of cholera. In Snow on Cholera. New York, 1965, pp. 1–139.

Stigler S. M. (1986), The History of Statistics. Cambridge, Mass. Harvard Univ. Press.

Süssmilch J. P. (1741), Die Göttliche Ordnung in den Veränderungen des menschlichen Geschlechts, aus der Geburt, dem Tode und der Fortpflanzung desselben. Berlin, 1761. Несколько последующих изданий.

— (1758), Gedancken von dem epidemischen Krankheiten. В книге Wilke J., редактор (1994), Die königliche Residenz und die Mark Brandenburg im 18. Jahrhundert. Berlin, pp. 69–116.

Wilks S. S. (1968), Statistics. Enc. Brit., vol. 21, pp. 162 — 166.

Woolhouse W. S. B. (1873), On the philosophy of statistics. J. Inst. Actuaries, vol. 17, pp. 37–56.

 

Оригинал: https://7i.7iskusstv.com/y2022/nomer3/oshejnin/