The true value of a measured constant and the theory of errors.
Hist. Scientiarum, vol. 17, 2007, pp. 38 – 48
-
Введение
Понятие истинное значение было всегда связано с измерениями, и лишь математическая статистика почти изменила это положение. Впрочем, появилось оно, видимо, только в эпоху градусных измерений в конце XVII в. Наше второе понятие, теория ошибок, мы определяем как статистический метод (или сама статистика) в приложении к обработке наблюдений в экспериментальной науке. Её определение, принятое в математике (Никулин 1999), вводит в заблуждение, поскольку ограничивает её рассмотрением нормального распределения. Сам термин теория ошибок ввёл Ламберт в 1765 г.
-
Среднее арифметическое и истинное значение
Picard (1693/1729, с. 330, 335, 343) первым назвал среднее арифметическое истинным(véritable) значением (измеренного угла триангуляции). Следующим и более подробным автором был Ламберт. Вначале он (1760, § 286) заявил, что
Поскольку погрешности встречаются тем чаще, чем они меньше, в каждом данном случае повторных экспериментов более часто появляющиеся величины ближе расположены к среднему значению, или также к истинному значению.
В § 290 он добавил, что погрешность среднего арифметического намного меньше, чем у отдельного наблюдения и что поэтому среднее арифметическое ближе к истинному значению. Затем Ламберт (1765, § 3) убеждал, что ошибки наблюдения, говоря современным языком, обладают чётной плотностью распределения вероятностей:
Среднее большого числа экспериментов должно перемещаться тем ближе к истине, чем больше экспериментов повторено. Ибо, среди всех случаев, которые только можно представить себе, наиболее вероятен тот, при котором равные крупные отклонения в ту и другую сторону происходят одинаково часто.
Он, как и некоторые позднейшие авторы, см. ниже, молчаливо, но почти прямо предположил, что плотность одновершинна и не относится к плохим, типа распределения Коши, при котором одно наблюдение не хуже среднего. Но, конечно же, Ламберт ничего не обосновал. Только Симпсон в 1756 г. по существу доказал второе утверждение Ламберта, да и то лишь для двух распределений.
Стремление среднего к значению соответствующего теоретического параметра теперь называется свойством состоятельности, которое имеет место для линейных оценок вообще; впрочем, это замечание вряд ли имеет значение для нас.
Следующим автором был Лаплас. Он (1795/1912, с. 161) утверждал, что при неограниченном возрастании числа наблюдений их среднее стремится к определённому числу, так что
Если неограниченно увеличивать число наблюдений или экспериментов, их средний результат будет стремиться к постоянному члену. Поэтому, если взять по обе его стороны сколь угодно малый интервал, то вероятность, что средний результат окажется в нём, в конце концов будет отличаться от уверенности меньше любой назначенной величины. Этот член и есть сама истина, если только положительные и отрицательные ошибки равновероятны.
Лаплас (1810а/1898, с. 303) дословно повторил это высказывание, и примерно в то же время (1810b/1979, с. 110/272) сообщил то же самое чуть в иной форме: не сама истина, а сливается с истиной. А в своём Опыте (1814/1999, с. 843 правый столбец), первоначальным наброском которого были его Лекции 1795 г., мы находим: Чем многочисленнее наблюдения, и чем менее они расходятся, тем ближе их результаты к истине. Он добавил, что наилучшие средние результаты определяются при помощи теории вероятностей. Известно, что Лаплас усиленно пропагандировал метод наименьших квадратов (МНКв) и был одним из его создателей (создателем его практически почти не применимого варианта), так что здесь, обсуждая случай одного неизвестного, он, конечно же, имел в виду среднее арифметическое.
Гаусс (1809, § 177), в своём первом обосновании принципа наименьших квадратов, предположил, в частности, что среднее арифметическое является вероятнейшим значением искомой константы или близким к нему. Вслед за Лапласом Пуассон (1811, с. 136; 1824, с. 297; 1829, с. 12 и 19) применял термин истинное значение (vraie valeur) и по существу заявил, что это значение является средним из бесконечно большого количества измерений.
-
Определение
Формальное определение предложил Фурье (1826/1890, с. 533 – 534):
Предположим […], что собрано большое число наблюденных значений [некоторой константы] и что их сумма разделена на [их] число […], что дало для среднего значения величину А; мы уже заметили, что почти то же самое значение А будет определено при применении очень большого числа других наблюдений. Вообще, если исключить особые и отвлеченные случаи, которые мы совсем не будем рассматривать, выведенное подобным образом среднее значение из громадного числа наблюдений нисколько не изменяется. Оно имеет определенную величину Н, и можно сказать, что средний результат бесконечного числа наблюдений есть неизменное количество, в котором больше нет ничего случайного и которое имеет достоверное отношение к сути наблюденных событий. Именно эту неизменную величину Н мы имеем в виду как истинный объект исследования.
Мы не нашли ни единой ссылки на это высказывание; возможно, впрочем, что оно считалось очевидным. Многие авторы по сути повторяли его независимо и друг от друга, и, видимо, от Фурье: Гаусс, во всех своих сочинениях по обработке наблюдений; Пуанкаре (1896/1999, § 113, с. 145); Марков (1899/1951, с. 250); Whittaker & Robinson(1924/1958, с. 215 прим.); Колмогоров (1946, название § 7). И только Марков (1900/1924, с. 323) с присущей ему строгостью заметил, начиная свою главу о МНКв, что
Прежде всего необходимо допустить существование числа, приближённые величины которых доставляются наблюдениями.
Аналогичное замечание о неизвестной вероятности Марков привёл на с. 352; первое появилось во всяком случае в издании 1908 г., второе – в 1913 г.
Вероятность (см. выше) не существует в реальном мире, по крайней мере в обычном смысле, и это обобщение понятия истинного значения существенно для естествоиспытателей, хотя и не для чистого математика-Маркова. Гаусс (1816, §§ 3 и 4), который был и тем и другим, многократно рассматривал истинные значения меры точности наблюдений, см. также соответствующее высказывание Фишера и других авторов в нашем §4.
Заметим нежелание Маркова выходить за пределы математики: он так и не упомянул истинного значения; напомним, что он не привёл ни одного примера приложения своих цепей в естествознании.
Определение Фурье эвристически напоминает знаменитое определение вероятности по Мизесу. Вот что последний (1919/1964, с. 40 и 46) заявил, во многом повторив своего предшественника (и самого себя):
Истинное среднее значение наблюдения (т. е. такое, которое должно появиться как среднее, если ряд наблюдений продолжать до бесконечности) […].
Истинное среднее значение является лишь величиной, которая должна появиться по определению понятия вероятности как среднее арифметическое, когда серия извлечений продолжается до бесконечности.
В 1919 г. соответствующие страницы были 80 и 87. Именно в указанном сочинении Мизес впервые ввёл свою частотную теорию. Иначе говоря, он ввёл понятие вероятности (Wahrscheinlichkeitsbegriff) как её частотное определение. Теперь, извлечения: пусть урна содержит белые и чёрные шары и m белых шаров и n чёрных было извлечено с возвращением по одному. Тогда, как утверждал Мизес, отношение m/n приближается к неизвестному соотношению белых и чёрных шаров. Он таким образом пояснил, но прямо не определил связи истинного значения и частотной вероятности.
Обратимся теперь к автору (Eisenhart 1963/1969, с. 30 – 31), обсуждавшему метрологию, важную научную дисциплину, которую вряд ли затрагивают статистики при их (редком) упоминании теории ошибок:
Истинное значение некоторой величины […] – это предельное среднее в мыслимом образцовом процессе. […] Масса стандарта массы […] определяется […] как масса металлического содержания стандарта плюс масса среднего объёма воздуха, адсорбированного его поверхностью при стандартных условиях. Я надеюсь, что в теории и практике измерений традиционный термин истинное значение будет отброшено и заменено более подходящим, как, например, искомое (target) значение.
Итак, Эйзенхарт по существу повторил Фурье, но он явно указал (как это должно было быть ясно с самого начала), что остаточная систематическая ошибка включается в истинное значение. Далее, образцовый процесс в метрологии подразумевает постоянство внешних условий, но в практической астрономии и геодезии наблюдать следует при различных (но благоприятных) условиях, чтобы по возможности исключать систематические погрешности. Надежда Эйзенхарта не осуществилась, хотя определённый смысл в ней был: отказ от философских терминов.
-
Математическая статистика
Считается, что математическая статистика отказалась от истинных значений, заменив их параметрами плотности (или функций распределения). Действительно, Фишер (1922, с. 309 – 310) ввёл понятия состоятельности, эффективности и достаточности статистических оценок без всяких ссылок на теорию ошибок или истинные значения. Но на следующей же странице мы читаем:
Чисто словесная путаница помешала чётко формулировать статистические задачи, ибо обычно [Биометрическая школа] применяет то же название среднее, стандартное отклонение, коэффициент корреляции и т. д. и для истинного значения, которое мы хотели бы узнать, но можем лишь оценивать, и для частного значения, которого удаётся достичь нашими методами оценивания.
Итак, истинное значение было ещё живо в математической статистике. Вот ещё несколько примеров. Словарь (Александров 1962) упоминал истинную корреляцию, истинные средние и значение. Болшев (1964, с. 566) рассматривал истинное значение параметра. Он комментировал Бернштейна (1941/1964), который обсуждал истинную вероятность неравенства (§ 5, с. 390). И вот наш современник Hald (1998, с. 91): До сих пор мы рассматривали только оценку истинного положения параметра сдвига… И он неоднократно упоминал истинные значения в главах 5 и 6. Так же поступали другие авторы (Уилкс 1962, § 101) и, позже, снова Хальд (Hald 2007, c. 105).
Но существует и неверное мнение о ненужности обсуждаемого нами термина (Chatterjee2003, с. 264):
Методы теории ошибок редко применялись вне этих узких областей [астрономии и геодезии] и синдром истинного значения в конце концов был оставлен.
Будем великодушны и скажем, что автор написал узкие (narrow), имея в виду ограниченные, и что о метрологии он позабыл. Но есть ведь и геофизика (магнетизм, ускорение силы тяжести), есть физика (скорость света в пустоте, масса электрона). Далее (с. 273), Кетле будто бы сдерживался синдромом истинного значения, и, что следовало косвенно, уклонения были для него менее важны. Кетле повинен во многих грехах, но только никак не в этом (Шейнин 1986), см. также § 5.
Синдром означал мнение или поведение, типичное либо для данного человека, либо при обсуждении некоторой проблемы (есть и чисто медицинское определение), и какой-то синдром мы усматриваем у самого автора! Наконец, поскольку Chatterjee (с. 248 – 249) всё ещё верит в существование мифической теоремы Гаусса – Маркова [iv, § 6.12], мы сомневаемся, что он достаточно знаком с историей статистики (и особенно с историей обработки наблюдений).
-
Промежуточная стадия
Обычно Гальтон считается первым, кто отошёл от истинных значений (и теории ошибок вообще). Так (Eisenhart 1978, с. 382), в 1908 г. он указывал:
Основные цели гауссового закона ошибок в некотором смысле точно противоположны моим. Они были направлены на исключение или принятие в расчёт погрешностей, но эти ошибки или уклонения были именно тем, что я хотел сохранить и про что выяснить.
Закон ошибок здесь не при чём, а теория ошибок стремится уменьшить влияние погрешностей. Высказывание Гальтона интересно лишь тем, что он противопоставил Гаусса статистике. Но существовала и промежуточная стадия между математической статистикой и теорией ошибок, и формально начало ей положил Кондорсе (1805/1986, с. 604):
Теория средних значений […] является введением к социальной математике. […] В каждой физической и математической науке одинаково полезно иметь средние значения наблюдений или результатов экспериментов.
На той же странице он определённо отделил эту теорию от теории исчисления вероятностей, но не пояснил этой мысли и не определил новую теорию. Он (с. 555 – 559) также рассуждал о связи среднего арифметического (только для конечного числа измерений) и неизвестного истинного значения и заметил (с. 555), что следует различать два вида средних, см. ниже. Вообще же соображения Кондорсе следует воспринимать крайне осторожно. В приложении теории вероятностей к судебной статистике неопределённость и противоречивость [его рассуждений] не имеет равных (Todhunter 1865, с. 352). В самой теории вероятностей он следовал за Даламбером, см. его письмо французскому государственному деятелю Тюрго 1772 г. (Henry 1883/1970, с. 97 – 98), чьи потрясающие ошибки хорошо известны, а про его биографии Эйлера и Даниила Бернулли лучше умолчать.
Но теория средних величин действительно возникла, хотя быть может только в мыслях учёных. Она представлялась общее теории ошибок, потому что дополнительно исследовала средние из переменных величин или состояний, и только в этом смысле мы её признаём.
Вот одно из соответствующих утверждений Кетле (1846, с. 65):
Принимая средние, можно иметь в виду две вполне различные вещи. Можно стараться определить число, которое реально существует, но можно и вычислять число, которое даёт нам наиболее близкое возможное представление о многих однородных объектах, отличающихся друг от друга по величине.
То же сказал несколько позже Давидов (1857, с. 14), который добавил (с. 16), что различие существенно только в связи со свойствами уклонений от среднего. Изучение средних значений или состояний, а не истинных значений, но также и не законов распределения вероятностей, было необходимой стадией в развитии естественных наук [viii, § 4.1]. Сошлёмся теперь на Гильберта (1901/1969, Проблема № 6), одного из последних учёных, упомянувших теорию средних значений, которая больше заведомо не существует; как промежуточную, её поделили статистика (к которой её отнёс уже Кетле) и теория ошибок.
В астрономии отход от промежуточной стадии яснее всего, видимо, выразил Каптейн (1906, с. 397):
Так же, как физик […] не может надеяться проследить ни за какой отдельной молекулой в её движении, но всё же может вывести важные заключения, как только определит среднюю скорость всех молекул и частоту установленных отклонений от этого среднего, так же […] наша основная надежда будет состоять в определении средних и частот.
-
Выводы
Известно, что развитие математики было неизменно связано с её непрестанным удалением от природы (например, от натуральных чисел к действительным, а затем к мнимым числам), и что чем дальше, тем она становилась абстрактнее, и тем полезнее оказывалась для своих приложений. В частности, общий переход от истинных значений к оценкам параметров функций в математической статистике был шагом в верном направлении.
Но подчеркнём, что наука измерения реальных объектов и обработки собранных наблюдений вовсе не отказалась от истинных значений и что даже сама статистика их не забыла. Что Мизес (§ 3) также нашёл возможным определить истинное значение (правда, не формально) и косвенно связать его со своей теорией, явно подкрепило нашу точку зрения. Конечно, его теория относится к естествознанию, а не к математике, но ведь и теория ошибок лишь частично относится к последней. Утверждение Chatterjee (§ 4) и, возможно, аналогичное мнение других авторов следует отвергнуть.
Идеи и методы математической статистики должны быть в какой-то степени восприняты в теории ошибок, и в первую очередь мы имеем в виду оценку точности. О теории корреляции и дисперсионном анализе также нельзя забывать, но они в нашем контексте не появлялись.
Библиография
Александров П. С., редактор (1962), Англо-русский словарь математических терминов. М.
Бернштейн С. Н. (1941), О доверительных вероятностях Фишера. В книге автора (1964, с. 386 – 393).
— (1964), Собрание сочинений, т. 4. Без места.
Большев Л. Н. (1964), Комментарий к статье Бернштейн (1941). В книге Бернштейн (1964, с. 566 – 569).
Гаусс К. Ф. (1809, латин.), Теория движения небесных тел. В книге Гаусс (1957, с. 89 – 109).
— (1816, нем.), Определение точности наблюдений. Там же, с. 111 – 120.
— (1957), Избранные геодезические сочинения, т. 1. М.
Гильберт Д. (1901, нем), Проблемы Гильберта. М., 1969.
Давидов А. Ю. (1857), Теория средних величин. Речи и отчёт, произнесённые в торж. собр. Моск. унив. М., отдельная пагинация.
Колмогоров А. Н. (1946), К обоснованию метода наименьших квадратов. Успехи математич. наук, т. 1, с. 57 – 71.
Марков А. А. (1899), Закон больших чисел и способ наименьших квадратов. В книге автора (1951, с. 231 – 251).
— (1900), Исчисление вероятностей. М., 1924.
— (1951), Избранные труды. Без места.
Никулин М. С. (1999), Случайная ошибка. В книге Прохоров (1999, с. 587).
Прохоров Ю.В., редактор (1999), Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. М.
Пуанкаре А. (1896, франц.), Теория вероятностей. Ижевск, 1999.
Шейнин О. Б., Sheynin O. B. (1986), Quetelet as a statistican. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 36, pp. 281 – 325.
Уилкс С. С. (1962, англ.), Математическая статистика. М., 1967.
Chatterjee S. K. (2003), Statistical Thought: a Perspective and History. Oxford.
Condorcet M. J. A. Caritat de (1805), Elémens du calcul des probabilités et son application aux jeux de hasard, a la loterie, et aux jugemens des hommes. In author’s book Sur les élections et autres textes. No place, 1986, pp. 483 – 623.
Eisenhart C. (1963), Realistic evaluation of the precision and accuracy of instrument calibration systems. In Ku, Editor (1969), Precision Measurement and Calibrations. Washington, pp. 21 – 47.
— (1978), Gauss. In Kruskal W., Tanur Judith M., Editors. Intern. Enc. of Statistics, vols 1 – 2. New York, single paging, pp. 378 – 386.
Fisher R. A. (1922), On the mathematical foundations of theoretical statistics. Phil. Trans. Roy. Soc., vol. A222, pp. 309 – 368.
Fourier J. B. J. (1826), Sur les résultats moyens déduits d’un grand nombre d’observations. Oeuvr., t. 2. Paris, 1890, pp. 525 – 545.
Hald A. (1998), History of Probability and Statistics and Their Applications from 1750 to 1930. New York.
— (2007), History of Parametric Statistical Inference from Bernoulli to Fisher, 1713 – 1935. New York.
Henry M. Ch. (1883), Correspondance inédite de Condorcet et de Turgot. Genève, 1970.
Kapteyn J. C. (1906), Statistical methods in stellar astronomy. [Reports] Intern. Congr. Arts & Sci. St. Louis – Boston 1904. No place, vol. 4, pp. 396 – 425.
Lambert J. H. (1760, in Latin), Photometria. Augsburg. Соответствующий материал не был включен в немецкий перевод книги в серии Ostwald Klassiker. Цитата в тексте переведена с немецкого перевода отрывка в книге Schneider (1988, p. 228).
— (1765), Theorie der Zuverlässigkeit der Beobachtungen und Versuche. In author’s Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Tl. 1. Berlin, pp. 424 – 488.
Laplace P. S. (1795), Leçons de mathématiques. Oeuvr. Compl., t. 14. Paris, 1912, pp. 10 – 177.
— (1810a), Sur les approximations des formules qui sont fonctions de très grands nombres et sur leur application aux probabilités. Ibidem, t. 12. Paris, 1898, pp. 301 – 345.
— (1810b), Notice sur les probabilités. In Gillispie C. C. (1979), Mémoires inédites ou anonymes de Laplace. Revue d’histoire des sciences, t. 32, pp. 223 – 279.
— (1814, франц.), Опыт философии теории вероятностей. В книге Прохоров 1999, с. 834 – 863).
Mises R. von (1919), Fundamentalsätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Math. Z., Bd. 4, pp. 1 – 97. Partly reprinted in author’s Selected Papers, vol. 2. Providence, Rhode Island, 1964, pp. 35 – 56.
Picard J. (1693), Observations astronomiques faites en divers endroits du royaume en 1672, 1673, 1674. Mém. Acad. Roy. Sci. 1666 – 1699, t. 7, 1729, pp. 329 – 347.
Poisson S.-D. (1811), Review of a memoir of Laplace. Nouv. bull. sciences. Soc. philomatique Paris, t. 2, No. 35, pp. 132 – 136.
— (1824), Sur la probabilité des résultats moyens des observations. Connaissance des tems pour 1827, pp. 273 – 302.
— (1829), Second part of same. Ibidem pour 1832, pp. 3 – 22 of second paging.
Quetelet A. (1846), Lettres sur la théorie des probabilités. Bruxelles.
Schneider I., Herausgeber (1988), Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis 1933. Darmstadt.
Todhunter I. (1865), History of the Mathematical Theory of Probability. New York, 1949, 1965.
Whittaker E.T., Robinson G. (1924), The Calculus of Observations. London – Glasgow, 1958. Уиттекер Э., Робинсон Г. (1935), Математическая обработка результатов наблюдений. М.
Оригинал: https://7i.7iskusstv.com/y2022/nomer5/oshejnin/
