1. О подсолнухах и числах Фибоначчи, цикадах и простых числах, многоножках и Архимедовой Спирали
В те далекие годы, когда я учился на физфаке Харьковского Университета отношение к биологам было снисходительное, покровительственное и слегка насмешливое. Добропорядочный физик-теоретик, наткнувшись на набор непереваренных, сырых, плохо упорядоченных, наукообразных знаний, цедил сквозь зубы: это зоология. Хуже, чем к биологам, мы относились только к специалистам по научному коммунизму. С тех пор биология скачкообразно эволюционировала, и в научной моде заняла место ведущего бренда. Лучшие студенты идут в биологи, это безошибочный критерий перепадов давления, градиентов внутри научной среды: биология сегодня в центре наук. Если верить Канту, то во всякой науке ровно столько собственно научного знания, сколько в ней математики. Наша статья посвящена весьма необычным взаимоотношениям математики и биологии, которые меня занимают в последнее время. Название текста отсылает к замечательному тексту Е. Вигнера, трактующему поразительные успехи математики в физике и химии [1]. На эту тему мы уже пытались думать на страницах этого журнала [2]. Сегодня перед нами куда более серьезный вызов, обусловленной сложностью биологического знания, что бы мы ни понимали под понятием «сложность», самим по себе имеющим тонкую структуру.
Замечу сразу, что очевидной пользы от статистических методов, позволяющих грамотно интерпретировать массивы биологических данных, мы не затрагиваем. Мы поставим вопрос по-иному: почему самые абстрактные математические идеи и представления, укорененные в теории чисел и геометрии, проявляются в организмах? Начнем с того, что организмы: растения, животные зачастую предъявляют удивительную симметрию, иллюстрированную нижеприведенным рисунком.
Рис. 1. Примеры симметрии в живой природе.
Симметрия сплошь и рядом наблюдается в неживой природе, начиная от элементарных частиц и заканчивая обустройством Космоса; невероятные успех и значение идей симметрии в физике мы недавно обсуждали [3]. Но почему цветок, птица и бабочка, показанные на рисунке, предпочитают симметрию? Почему симметрия биологически оправданна? Что заставляет лепестки цветка образовывать симметричную фигуру? Каков он, движущий биологический механизм, располагающий перья птицы симметрично?
Отнюдь не только симметричные фигуры наблюдаются в живой природе. Математические закономерности иногда обнаруживается в биологии совсем неожиданным образом: например, спирали зерен подсолнуха, упорядочены в соответствии с числами Фибоначчи (см. рис. 2). Числа (последовательность) Фибоначчи просты до невозможности: каждое последующее число является суммой двух предыдущих, т.е. последовательность выглядит как 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… и так далее до бесконечности.
Рис. 2. Спирали зерен подсолнуха следуют числам Фибоначчи
Числа Фибоначчи появляются с завидным постоянством в физике и химии, но что заставляет зерна подсолнечника следовать последовательности Фибоначчи? Что подсолнуху до теории чисел?
Рис. 3. Леонардо Пизанский (Леонардо Фибоначчи).
Леонардо Фибоначчи (Леонардо Пизанский) и вообще примечательнейшая фигура проторенессанса, первый математик Европы, посетивший в XII веке Египет, Сирию, Византию и ознакомивший европейцев с позиционной системой исчисления, немало способствовавшей прогрессу европейской науки [5-6]. Но все же: что заставляет зерна подсолнечника укладываться в спирали, следующие последовательности Фибоначчи?
Приведем еще более разительный пример, связанный с циклом жизни цикад. Оказывается, что продолжительность циклов большинства цикад не случайна, а представляет собой интервалы из простых чисел (чисел, делимых без остатка только на себя — 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.). Ну, какое отношение имеет продолжительность жизни цикад к простым числам? Было выдвинута гипотеза, что подобный цикл жизни цикад представляет собою наиболее действенную стратегию выживания и размножения [7]. Честно говоря, мне эта гипотеза представляется слабой и надуманной, но мы обсудим ее подробнее позже. И почему так часто в живой природе встречается Архимедова Спираль? Поглядите на красавицу Millipede (многоножка) из семейства членистоногих на приведенном рисунке. Что многоножке до Архимедовой спирали?
Рис. 4. Многоножка, сворачиваясь, образует Архимедову спираль.
Скорее всего, единообразный ответ на эти вопросы невозможен, и мы рассмотрим различные возможности ответа на них.
2. Физика и биология: структуры живых организмов продиктованы неживой природой
Один из возможных ответов на поставленный вопрос выглядит так: формы и структуры живых организмов продиктованы физикой. Предложенная гипотеза не так проста, как кажется, а многослойна. Пойдем снизу-вверх (bottom-up approach): живое, как и неживое состоит из атомов и молекул, а в тех в свою очередь царствует симметрия. Именно эта симметрия микромира проявляется в симметрии самих организмов. Например, молекула воды — высоко-симметрична, а живое, как правило — мокрое. И вот именно эта симметрия молекулы воды, на более высоком уровне обнаруживается в симметрии всего организма. Мне эта гипотеза представляется достойной рассмотрения, но слабой. Настораживает громадный логический скачок. Ее авторы подозрительно легко преодолевают расстояние между молекулой и живым существом. Свойства отдельных молекул вовсе не обязаны прямо, грубо, зримо, непосредственно проявляться в свойствах живого организма.
Другая гипотеза предполагает движение сверху-вниз (up-bottom approach): свойства среды, в которой живет организм определяют его симметрию. Подобного подхода придерживается венгерский биолог Gabor Hollo [8,9]. Вкратце его идея выглядит следующим образом: биологический объект живет не в вакууме, а некоторой среде: жидкой или газообразной. В этой среде ему необходимо двигаться. Так вот, симметрии среды накладывают отпечаток на симметрию всего организма [8,9]. Эта идея выглядит логично, но требует еще очень большой разработки, детализации, чтобы превратиться в научную теорию. Но, как один из возможных ответов на загадку «биологических симметрий», гипотеза Габора Холло выглядит вполне разумно и привлекательно. Заметим, что абсолютно симметричный объект (будь то живой или неживой) в симметричной же среде двигаться не сможет, для движения потребуется нарушение симметрии.
3. Симметрии и естественный отбор
Совершенно иная, бурно обсуждаемая идея такова: симметрия эволюционно оправдана. Животное или растение, демонстрирующее ту или иную симметрию, имеет больше шансов на выживание. И это касается не только симметрии: те или иные математические закономерности, проявляющиеся в жизнедеятельности или строении живого организма — результат естественного отбора. Заметим сразу, что подобное предположение не так далеко расположилось от гипотезы Габора Холло [8,9]. В самом деле, если симметрия тела организма помогает ему двигаться, то в той же мере она помогает ему выживать.
Предполагается, что математические закономерности, обнаруживаемые в мире живого, эволюционно обоснованы. Рассмотрим цикл появления цикад, описываемый простыми числами [10]. Выдвигается следующее объяснение: простые числа 13 и 17 «защищают» цикад от хищных врагов. Например, если в какой‐то год появились и цикады‐17, и хищники, у которых длина жизненного цикла n<17, то следующая «встреча» состоится только через 17n лет (наименьшее общее кратное чисел n и 17). Хищники не смогут ждать так долго… А подобрать мутацию вида хищников так, чтобы длина цикла была равна 17, — сложная задача даже для естественного отбора. Я по грехам своим этого объяснения, никогда не мог понять: чем простое число сложнее для хищника, чем непростое, мне непонятно.
Есть и более экзотические, теории оправдывающие эволюционное происхождение математических закономерностей, свойственных биологоческим объектам. Вернемся к симметрии. Было показано, что самец зебрового зяблика предпочитает самку с более симметричным рисунком оперения [11,12]. Более симметричная самочка кажется самцу более привлекательной, красивой. Самочка (см. рисунок ниже) зебрового зяблика в свою очередь тоже предпочитает более симметричного самца. Вообще говоря, это не слишком удивительно: самец человека разумного вряд ли предпочтет одноногую самку, симметричной женщине о двух ногах. Впрочем, эстетика — дело тонкое, абсолютно симметричное лицо кажется нам отталкивающим.
Рис. 5. Зебровый зяблик
Таким образом, эволюция направляется эстетическими предпочтениями животных, в свою очередь, глубоко укоренных в идеях симметрии [3]. Эта гипотеза выглядит вполне разумно, но нуждается в серьезной проработке.
4. Информационная природа биологических закономерностей
Совершенно иной и весьма неожиданный подход к объяснению непостижимой распространенности простых математических закономерностей в биологии был предложен недавно и звучит он так: наблюдаемые математические законы позволяют экономить генетическую память [13]. Информация о развивающемся организме записана в его генокоде, его объем велик, но не бесконечен, и приходится экономить биты биологической информации, для того чтобы описать грядущую историю развития организма. Так вот, симметрия позволяет существенно экономить информацию, программы, описывающие симметричные объекты проще и короче программ, задающих объекты случайные и асимметричные [13,14]. А предел информации, которая может быть записана в ДНК, клетке и другом биологическом объекте положен принципом Ландауэра, который мы недавно обсуждали [15].
Согласно Принципу Ландауэра, информация — физична, и должна быть записана на конкретном и вполне материальном носителе, которым в биологии является молекула ДНК [15,17]. Для записи одного бита информации потребуется энергия, превышающая характерную энергию теплового шума. Бесконечное количество информации в молекулу ДНК впихнуть нельзя, приходится экономить. Симметричные структуры и структуры, описываемые такими простыми соотношениями, как числа Фибоначчи, позволяют существенно сокращать длину и сложность программ, описывающих организм и его развитие. Для того чтобы описать симметричный рисунок оперения зебрового зяблика требуется меньше генетической памяти, нежели для описания случайного узора. Для описания Архимедовой спирали, описывающей сворачивание многоножки, потребуется тоже совсем немного драгоценных битов информации.
Мне эта идея необычайно симпатична, ибо превращает физику, химию и биологию в единое знание, в котором первокирпичиком, неделимым элементом выступает один бит информации. Как говорил Джон Арчибальд Уилер: “it from bit”, источником и первоосновой всего сущего служит информация [18]. Принцип Ландауэра устанавливает количественную связь между информацией, энергией и массой, делая важный шаг к «великому объединению» и предоставляя общую информационную рамку для наук о живом и неживом. Таким образом, и симметрия, и последовательность Фибоначчи, и прочие математические жемчужины, обнаруженные в мире живого, обусловлены информационными соображениями, принципом экономии генетической памяти.
Ошеломляющие успехи математики в естествознании, не в последнюю очередь обусловлены тем, что математика обеспечивает колоссальную экономию мышления. Ознакомившись с таблицей умножения и уразумев, что семью девять — шестьдесят три, я навсегда избавлен от необходимости семь раз складывать девятки, чтобы получить шестьдесят три. Единожды доказав, что сумма углов треугольника равна двум прямым, я навсегда избавлен от необходимости проверять этот вывод для всех треугольников на свете. В той же мере, математические закономерности позволяют экономить генетическую память, высвобождая драгоценные биты информации.
5. Заключение
Мы попытались поразмышлять о необычайной эффективности математики в биологии. Симметрии и математические закономерности неожиданно выявляются на самых разных уровнях, описания организмов. Единообразное объяснение появления математических структур на разных этажах биологии едва ли возможно. По-видимому, зачастую математические закономерности и структуры, наблюдаемые в мире живого, обеспечивают выживание организма и его приспособление к внешней среде. Кроме того, простые математические закономерности обеспечивают экономию генетической памяти, принципиальная ограниченность которой диктует ее фиксацию в генокоде при помощи коротких, простых в колмогоровском смысле программ. Подобный мета-кибернетический подход к биологии может оказаться продуктивным в биологии, перекидывая в неожиданном, глубоководном месте мост между знанием о живом и неживом [19].
Литература
[1] Вигнер, Е. Непостижимая Эффективность Математики в Точных Науках, в сборнике «Этюды о симметрии», Москва, Мир, 1971, 182-198.
[2] Бормашенко Эд. Непостижимая эффективность математики в точных науках, 7 Искусств, 12 (127), 2020, https://7i.7iskusstv.com/y2020/nomer12/bormashenko/
[3] Бормашенко Эд. Ворота в Никко, 7 Искусств, 4 (131), 2021, https://7i.7iskusstv.com/y2021/nomer4/bormashenko/
[4] Pletser V. Fibonacci Numbers and the Golden Ratio in Biology, Physics, Astrophysics, Chemistry and Technology: A Non-Exhaustive Review. arXiv:1801.01369
[5] Карпушина Н. «Liber abaci» Леонардо Фибоначчи, Математика в школе, № 4, 2008.
[6] Дроздюк А. В.; Дроздюк Д. В. Фибоначчи, его числа и кролики. Пер. с англ. — Торонто: Choven, 2010. — С. 20. — 145 с.
[7] Webb G. F. The prime number periodical cicada problem, American Institute of Mathematical Sciences, 2001, 1(3), 387-399.
[8] Hollo, G. Demystification of animal symmetry: symmetry is a response to mechanical forces, Biol. Direct. 2017, 12, 11.
[9] Hollo G. A new paradigm for animal symmetry, Interface Focus, 2015, 5, 520150032.
[10] Cox R. T., Carlton C. E. A Commentary on Prime Numbers and Life Cycles of Periodical Cicadas. The American Naturalist, 1998, 152 (1), pp. 162-164.
[11] Swaddle J. H. Reproductive success and symmetry in zebra finches, Animal Behaviour, 1996, 51 (1), 203-210.
[12] Hansen L. T. T., Amundsen T., Forsgren E. Symmetry: attractive not only to females, 1999, Proc. R. Soc. Lond. B, 2661235–1240.
[13] Johnston I. G., Dingle K., Greenbury S. F., Camargoh C. Q., Doyei J. P. Q., Ahnert S. E., Louis, A. A. PNAS 2022, 119 (11) e2113883119.
[14] Dingle K., Camargo C. Q., Louis A. A., Input-output maps are strongly biased towards simple outputs. Nat. Commun. 2018, 9, 761.
[15] Бормашенко Эд. Информационная парадигма естествознания, 7 Искусств, 2021, 8 (135),
https://7i.7iskusstv.com/y2021/nomer8/bormashenko/
[16] Landauer R. Dissipation and heat generation in the computing process. — IBM Journal of Research and Development 1961, 5, 183.
[17] Landauer R. Information is physical. Physics Today 1991, 44 (5), 23–29.
[18] Wheeler J. A. Information, Physics, Quantum: The Search for Links, Proceedings of the 3rd International Symposium on Foundations of Quantum Mechanics in the Light of New Technology, Tokyo, 1989, 354–368.
[19] Yolles M., Frieden R. Viruses as Living Systems — A Metacybernetic View, Systems 2022, 10(3), 70
Оригинал: https://7i.7iskusstv.com/y2022/nomer7/bormashenko/
