Stochastic thinking in the Bible and the Talmud
Annals of Science, vol. 55, 1998, pp. 185 – 198
Авторский перевод с небольшими изменениями
1. Введение
1.1. Пояснения. Мы описываем с указанной точки зрения Библию, Талмуд, а также и Книгу Мормона, которую мормонская ветвь христианского вероучения (Церковь Иисуса Христа Святых последних дней) считает дополнением Библии.
Ранняя часть Талмуда (ее название – Мишна) является истолкованием Торы или Пятикнижия (первых пяти книг Ветхого завета) и подразделяется более чем на 60 трактатов. Остальная часть Талмуда составлена из позднейших комментариев самой Мишны, которые известны в двух вариантах. Соответственно, существуют два варианта Талмуда, – Иерусалимский, в основном законченный в IV в., – и более влиятельный, Вавилонский, – законченный примерно на столетие позже. Наши ссылки, поскольку не указано противное, относятся к Вавилонскому Талмуду и, например, T/Avoth относится к его трактату Avoth. Мы также упоминаем нескольких комментаторов Талмуда, особенно известного философа и ученого Мозеса Маймонида (113-1204).
Ссылки на Библию мы указываем по ее недавнему лондонскому изданию (год выпуска не указан, видимо 1990-х годов), однако впервые мы отыскали их в известном варианте Oxford Annotated Bible (1985). Впрочем, названия отдельных книг этих двух изданий не всегда идентичны. Не владея ивритом, мы в основном пользовались английской частью двуязычного Вавилонского Талмуда Mishnayot, vols 1 – 7. London, 1951 – 1956, редактор Ф. Блэкман, но изредка ссылаемся на Der Babylonische Talmud, Bde 1 – 12. Berlin, 1930 – 1936, редактор Л. Гольдшмидт и Le Talmud de Jérusalem, tt. 1 –
6. Paris, 1960, редактор М. Шваб. Русского перевода Мишны (тт. 1 – 6. СПб, 1899 – 1904, переводчик Н. Переферкович) мы не смогли увидеть. Русское написание трактатов Мишны нам известно лишь в нескольких случаях, названия же остальных мы указываем по Блэкману. Наконец, мы пользовались русским изданием Книги Мормона (Солт-Лейк-Сити, штат Юта, США, 1988).
1.2. Религия и наука. Наши рассуждения не связаны с религиозной верой, однако следует подчеркнуть, что тексты Библии и Талмуда отразили распространенные чувства древних общин и народов, т. е. что содержащиеся в них утверждения характеризуют накопленное к тому времени знание. Они, эти утверждения, дополнили пояснения Аристотеля (а иногда предшествовали им), который пытался пояснить понятия случайности и вероятности.
Древние комментаторы Мишны не обращали серьезного внимания на естествознание или математику. Так, раввин Elieser ben Chisma (T/Avoth 318) убеждал, что законы, относящиеся к
Жертвоприношениям птиц и наступлениям менструации, являются существенными традиционными установлениями, однако определение границ сезонов и геометрия это лишь придатки (after-course) мудрости1.
Общеизвестно, что во многих случаях церковь препятствовала признанию важнейших научных открытий, но что при изучении природы крупнейшие ученые, включая Ньютона, вдохновлялись желанием постичь божественные законы. И во всяком случае религия требовала логического мышления. Так, в Книге Притчи 14:28 мы находим прямое и противоположное утверждения: “Во множестве народа – величие царя, а при малолюдстве народа беда государю”. Можно сослаться и на Книгу От Матфея 12:33 и 35, но первый пример интересен и потому, что в середине XVII в. ту же мысль разделяли основатели политической арифметики, предшественницы статистики, Дж. Граунт и У. Петти, а в XVIII в. – немецкий статистик Зюссмильх. Подобный же пример, на этот раз из Талмуда, мы привели в п. 5.52.
1.3. Предшествующая литература. Назовем статьи Hasofer (1967), который описал применение жребиев в Талмуде, и книгу Rabinovitch (1973), частично написанную на основе предыдущих статей автора. Мы весьма обязаны Рабиновичу (частые ссылки на него мы обозначаем просто сокращением Раб), но не удовлетворены ни его выбором примеров, ни пояснениями. Он обнаружил не существующие в древних источниках аксиомы теории вероятностей и преувеличил значение действительно встречающихся там элементов некоторых понятий (закон больших чисел, заключения по выборочным данным)3.
Рабинович (1974) кроме того изучал линейные измерения, описанные в Талмуде, и мы и здесь многим обязаны ему, но снова не удовлетворены его публикацией.
Ineichen (1996) обсуждал нашу тему в краткой главе своей книги, в основном по работам обоих указанных выше авторов. Он, однако, не подошел к своей теме критически, и во всяком случае мы почти не перекрываемся с ним. Наконец, мы опираемся на наши предшествующие работы.
2. Случайность
Теория вероятностей изучает закономерности массовых случайных явлений, и случайность для этой дисциплины поэтому является основополагающим понятием. Первую попытку прояснить его мы находим у Аристотеля, и вот два из его примеров.
а. Копая яму для посадки дерева, некто находит клад. Случай – отсутствие закона или цели (Метафизика, кн. 5, ХХХ, 1025а).
b. Случайные ошибки “в действиях природы” приводят к появлению уродов, и ее первое уклонение от “типа”, вызванное искажающими влияниями, но в то же время и “естественная необходимость”, это рождение самки (девочки) вместо самца (мальчика).
Таковым (второй пример) было возможно первое (и вряд ли удачное) утверждение о связи необходимости и случайности (Физика 199b; О возникновении животных 767b, кн. 4, III).
Современное естественно-научное пояснение случайности ведет начало от Пуанкаре, который обсуждал это понятие в нескольких научно-популярных брошюрах и предложил для него несколько определений, а затем объединил свои рассуждения в статье 1907 г. и перепечатал ее в своем трактате (1896/1912, Введение) Вот самое известное и самое важное его определение (с. 11 русского перевода 1999 г.):
Очень мелкая, ускользающая от нас причина вызывает значительное действие, которое мы не можем не заметить; тогда мы говорим, что этим следствием мы обязаны случаю.
Здесь косвенно указано: в условиях неустойчивого равновесия; и можно даже сказать, что для такого равновесия необходимо и достаточно подобное следствие. Первый (и возможно второй) пример Аристотеля подходит под определение Пуанкаре: при небольшом сдвиге ямы клад не был бы найден.
Кеплер (1618-1621/1952, т. 16, с. 932) привел рассуждение, аналогичное второму примеру Аристотеля:
Будь небесные движения работой ума, […] совершенно круговые пути планет были бы правдоподобны, […] но небесные движения […] вызваны […] природой […],
исказились и стали эллиптическими.
И даже задолго до него раввин и ученый Леви Бен Гершон (Раб с. 77 со ссылкой на Milhamot haShem III-4) утверждал, что детерминизм в природе является лишь приближенным и иногда нарушается препятствиями. И вот утверждение Пуанкаре (1896/1912, русск. перевод 1999 г., с. 9):
Ни в одной области точные законы не определяли всего, они лишь очерчивали пределы, в которых дозволялось пребывать случаю.
Начиная с работ Мизеса математики пытаются определить бесконечную (и даже конечную) случайную числовую последовательность. Современный подход к этой теме основан на том, что начальный отрезок такой бесконечной последовательности должен быть “иррегулярным”, “незаконосообразным”. Таким образом, иррегулярность является существенным свойством случайности, а подразделение явлений на детерминированные и случайные остается исключительно трудной проблемой (см. также п. 5.1).
В Ветхом завете имеется несколько примеров случая, каждый из них в духе первого примера Аристотеля:
“Я случайно пришел на гору Гелвуйскую” (Вторая Царств 1:6).
“Там случайно находился один негодный человек” (там же 20:1).
“А один человек случайно натянул лук и ранил царя Израильского” (Третья Царств 22:34 и почти дословно то же во Второй Паралипоменона 18:33).
“Не проворным достается успешный бег, не храбрым победа […], но время и случай для всех их” (Екклезиаст 9:11).
3. Вероятность
Известны несколько видов вероятностей; помимо логической и субъективной есть и теоретическая (априорная) и статистическая (апостериорная). Закон больших чисел Якоба Бернулли соединил две последние, доказав, что в вероятностном смысле статистическая вероятность неограниченно приближается к теоретической.
Во многих случаях вероятность случайного события неизвестна, и некоторые авторы доказывали, что субъективно следует считать ее равной 1/2 (Poisson 1837, с. 47). Подобное заключение (по принципу безразличия) нельзя использовать ни в каких серьезных приложениях. Впрочем, оно предоставляет наименьшую возможную информацию о неизвестном событии и кроме того Лаплас и тот же Пуассон (Шейнин 2005, с. 117) прямо указывали на необходимость постоянного совершенствования принятых гипотез при помощи новых наблюдений.
Раб (с. 44 со ссылкой на Makhshirin 23–11 и Баба Батра 61) заметил, что при отсутствии “явного большинства” сомнение в Tалмуде оценивается как “половина и половина”. Тем не менее, в первом из его источников скорее сказано, что большинство равносильно целому. Примеры Рабиновича несомненно связаны с вероятностями, так что Пуассон имел предшественников.
И всё же по меньшей мере в одном случае (Ketubot 110; Makhshirin 29; Раб, с. 45) принцип половина и половина вряд ли приводил к правдоподобному заключению:
Если 9 лавок продают кошерное мясо, а одна лавка – не кошерное [видимо, говядину в обоих случаях], и кто-то купил в одной из них, но не помнит, в какой именно, – оно запрещено ввиду сомнения. Но если мясо найдено [на улице], то следует исходить из большинства.
В обоих случаях рассматривается по существу одно и то же, и вероятность нарушить запрет в них обоих одна и та же (0.1).
4. Случайная величина и ее ожидание
Математическая теория вероятностей не может рассматривать случайность саму по себе; соответственно, было введено понятие о случайной величине, но формально это сделал лишь Пуассон (1837, с. 140-141; Шейнин 2005, с. 134), да и то неуверенно. До него математики обсуждали случайные выигрыши в азартной игре, случайную продолжительность жизни, случайные ошибки наблюдения.
До начала XVIII в. считалось, что вероятности всех возможных значений случайной величины совпадают (Шейнин 1995, п. 7.1). Один из первых, кто не согласился с этим, был Мопертюи (1745/1756, т. 2, с. 109 и 120 – 121). По существу он объяснил сравнительно редкую схожесть ребенка с дальним предком, равно как и мутации (современный термин), “неравномерной” случайностью. В то же время он (1751/1756, там же, с. 146), обсуждая происхождение глаз и ушей у животных, лишь сравнил “равномерную и слепую склонность” с некоторым “принципом разума” и остановился на нем.
Маймонид (Раб с. 74 со ссылкой на Sefer haMitzvot, Запрещающая заповедь 290), однако, убеждал, что “среди случайных (contingent) вещей некоторые весьма правдоподобны, другие возможности [возможности других вещей?] весьма маловероятны, а еще некоторые промежуточны”. Иначе говоря, он указал на случайные события, вероятности которых весьма отличались друг от друга. Но он же (1977, с. 124) утверждал, что “события, постигающие людей, происходят не случайно (not of accident), но по божественному правосудию”.
Своеобразное случайное событие с довольно высокой вероятностью видимо рассматривалось в Книге Исход 21:29:
Но если вол бодлив был и вчера, и третьего дня, и хозяин, быв извещен о сем, не стерег его, а он убил мужчину или женщину, то вола побить камнями, и хозяина предать смерти.
Иначе: бодливый вол (источник повышенной опасности) весьма вероятно будет бодаться и впредь.
В 1654 г. Паскаль и Ферма независимо друг от друга ввели ожидание случайного события в качестве критерия для справедливого раздела ставки в прерванной серии азартных игр, и это понятие остается одним из важнейших параметров случайной величины.
Первым, кто упомянул ожидание (на до-математическом уровне) был, возможно, Маймонид (Раб с. 164 со ссылкой на Mishna Torah, Edut [Эдуйот?] xxi-1), который засвидетельствовал, что брачный контракт, обеспечивающий вдову или разведенную жену в 1000 зуз, “можно продать за 100 [этих денежных единиц], но контракт в 100 зуз – лишь меньше, чем за 10 зуз”. Этот контракт, как оказывается, имел более или менее установленную цену, притом большие возможные выигрыши считались предпочтительнее, хоть объективно они и не были благоприятнее. Та же самая субъективная склонность существует и сегодня (и нещадно используется устроителями лотерей).
Известно, что аналогичные идеи, также не вполне определенные, возникли в Европе на несколько столетий позже в связи со страхованием жизни (Шейнин 1977, с. 206-209). Добавим, однако, что ожидания в те времена (тем более при Маймониде) не обязательно понимались так же, как сегодня, и во всяком случае вероятности соответствующих событий (например, развода или дожития до определенного возраста) могли назначаться только субъективно (и интуитивно).
5. Вероятностные решения
5.1. Отделение случайного от предначертания. Именно это было главной целью ранней теории вероятностей и можно сослаться здесь на Муавра (1718/1756, с. 329), – на его Посвящение своей книги Ньютону. Он определил свою цель как
Установление определенных Правил для оценки того, насколько некоторые виды Событий могли быть вызваны скорее Предначертанием, чем Шансом.
Вот два классических примера. Слово Константинополь составлено из литеров наборной кассы. Можно ли заключить, что оно появилось намеренно? Подразумевалось, что вероятности выбора каждой литеры, равно как их взаимных расположений, совпадали.
Лаплас (1814/1999, с. 837, левый столбец) заявил, что слово появилось намеренно, поскольку оно осмысленно (ср. первый пример Аристотеля в п. 2), и имел в виду, что чисто вероятностный ответ невозможен. Эту задачу придумал Даламбер (1768, с. 254 – 255), – и называется она по именам их обоих, – который, однако, смутно решил, что все размещения равновероятны лишь математически, на самом же деле – нет.
Другой, более ранний пример, в котором нет явных равновероятных случаев, представляет заключение Кеплера (1604/1977, с. 337) о появлении новой звезды:
Я не хочу приписывать это удивительное совпадение по времени и в пространстве слепому случаю, и особенно потому, что появление новой звезды само по себе, даже безотносительно времени и пространства, является не обычным событием, как при броске игральной кости, а великим чудом […].
Он посчитал, что и время, и место появления Новой были также примечательны, так что шансы этого события, будь оно случайным, оказались бы слишком низкими, и оно должно было соответствовать предустановленной цели.
5.1.1. Библия. а) В Книге Бытие 41:1.6 описаны коровы и колосья, которых увидел Фараон в своих снах. Сны отличались друг от друга лишь по форме, по существу же они описывали невероятные события, притом дважды подряд. Иначе говоря, они не могли быть случайными.
Можно, конечно, предполагать, что весь этот эпизод малозначителен, но вот неожиданное заключение из Книги Мормона (1Нефий 16:29): “Малыми средствами господь совершает великие дела”. Отсюда, между прочим, видимо следует, что по меньшей мере иногда судьба человека (или человечества?) находится в неустойчивом равновесии (см. определение случайности по Пуанкаре в п. 2).
b) Другой повторный сон: Бытие 37:7-9.
с) Даже однократный и осмысленный (т. е. вряд ли случайный) сон иногда считался Божественным посланием (От Матфея, гл. 1 и 2).
d) Низкая (на этот раз статистическая в смысле общего представления) вероятность привела Иова (9:24 и 21: 17 – 18) к отрицанию случайности в пользу причины: “Земля отдана в руки нечестивых”, поскольку не часто “угасает их светильник”4.
5.1.2. Талмуд. В нем можно указать три аналогичных примера, см. также Раб (с. 87, 90 и 84).
а) Если три дня подряд, но не одновременно, и не в течение четырех дней, в городе, “выставляющем” 500 (1500) солдат, умирает 3 (9) жителей, то их смерть следует приписать чуме и объявить его на особом положении (Taanit 34). Количество солдат наверняка должно было отражать неизвестное число жителей города, а умершие, как следует полагать, считались по меньшей мере не очень больными и среди них не должно было быть младенцев.
b) Для утверждения в качестве надежного средства амулет должен вылечить трех больных подряд (Sabbath 62). Заметим, что дальнейших наблюдений над браслетом не предусматривалось.
с) Если найдено несколько связок ритуальной одежды, то следует проверить по три пары в каждой (Иерусалимский Талмуд/Eiruvin 101).
Первый пример мы рассмотрим в п. 5.3, здесь же остановимся на втором. Пусть амулет не обладает целебными свойствами, тогда вероятность, что он “поможет”, равна р = 1/2 (ср. п. 3), а вероятность случайного исцеления трех человек подряд окажется равной р = 1/8, т. е. более или менее низкой. Вероятности всех прочих исходов будут, правда, также равны 1/8, однако можно полагать, что три исцеления подряд следовало скорее приписать единой причине, – силе амулета, ср. рассуждение Лапласа в п. 5.1.
d) День Искупления. Ежегодно в этот день Первосвященник приносил в жертву двух козлов, – одного Богу, другого – Демону пустыни Азазелю (Leviticus 6:3–10). Он вытягивал два жребия из урны, по одному в каждую руку, и в течение 40 лет, пока им был Шимон Праведный, билетик “для Бога” неизменно оказывался у него в правой руке (Т/Yoma 41). Чудо, как его считали, приписывалось причине, – особым достоинствам Шимона.
е) Выкуп за перворожденных. Библия (Числа 3:44 – 49) описывает уплату выкупа за них лишними 273-мя “против числа Левитов” (освобожденных от уплаты), которые определялись по жребию (Иерусалимский Талмуд, Санхедрин 14)5. Моисей написал “Левит” на 22 000 билетиков и приготовил еще 273 билетика с надписью “5 сиклей” [шекелей]. В Иерусалимском Талмуде сказано, однако, что билетиков первого вида было 22 273, а раз жребий тянуло столько же человек, то Моисей подвергал себя риску (незначительному) недополучить ожидаемую сумму.
Оказалось, что все особые 273 билетика вышли в тираж (и все деньги были получены), притом через одни и те же интервалы, что было сочтено чудом. Но остается вопрос, который мы рассмотрим в п. 5.1.4.
5.1.3. Особый случай? И в Библии, и в Талмуде неоднократно описываются события, происшедшие трижды. Так, в Ветхом завете (Числа 22:23 – 27 (Валаамова ослица); Первая Царств 3:4 – 8; Третья Царств 18:34) и в Новом завете (Деяния 10:16; От Матфея, гл. 4; там же, 26:34 (“трижды отречешься от меня”) и 40 – 45; От Луки 23:18-22).
Аналогично, в Талмуде (Menahot 103; Parah 310) и, добавим мы, многократно в Книге Мормона (1Нефий 4:10 – 12; Геламан 5:31 – 33; 2Нефий 11:3 и 27:12; Ефер 5:3; 3Нефий 11:3 – 5; Мормон 3:13).
И всё-таки (п. 5.1.1) трижды происшедшее событие не было единственным доказательством отсутствия случайности.
5.1.4. Выкуп за перворожденных: особое обстоятельство. Мы возвращаемся к п. 5.1.2е и задаем вопрос: зачем были нужны лишние 273 билетика? Известно лишь (Иерусалимский Талмуд/Санхедрин 14), что некоторые участники жеребьевки вроде бы решили, что она не будет справедливой (последним 273-м возможно достанутся только особые билетики)6.
Нетрудно доказать, что перед началом жеребьевки ожидание избавиться от выкупа было одним и тем же для всех. Пусть в урне находится m билетиков, выигрывающих по а шекелей и n билетиков, выигрывающих b. В нашем примере а = 0 и b < 0, но эти ограничения несущественны. Более того, пример можно обобщить на случай билетиков трех, четырех, … видов.
При первом тираже ожидание выигрыша равно
Eξ1 = .
После этого в урне остается либо (m – 1) билетиков первого вида и n других билетиков, и этот случай произойдет m раз; либо m билетиков первого вида и (n – 1) других, что случится n раз. Ожидание второго участника жеребьевки окажется равным
Eξ2 = = Eξ1.
Аналогично, Eξ3 = Eξ2 =и т.д.
5.2. Принятие решений. В нашем сравнительно несложном контексте принятие решения означает либо наиболее благоприятный, либо наименее неблагоприятный выбор альтернативы. Так (п. 3), если 9 мясников из 10 продают кошерное мясо, то мясо неизвестного происхождения можно считать кошерным. Или, в другом примере (Т/Taanit 42, см. также Раб, с. 355), найдено три (рукописных) экземпляра Торы. Обнаружив незначительные расхождения между ними, “мудрецы отвергли один и приняли [совпадающие] тексты остальных”.
Римский врач Цельс (Celsus 1935, с. 19 англ. перевода) даже заявил, что “внимательные люди замечали, что, в общем, лучше подходит, и начали назначать то же самое своим пациентам. Так возникло искусство врачевания”. Он, видимо, имел в виду, что при некоторых теоретических познаниях дальнейшего продвижения медицины можно было достичь методами, обладающими более высокой (статистической) вероятностью успеха.
В свою очередь, Маймонид (Раб, с. 91 со ссылкой на Responsa) подчеркнул значение опыта: “Как были обнаружены все ныне хорошо известные средства от болезней, если не опытным путем? […] Должны ли мы сейчас запереть ворота перед экспериментированием?”
И вот походящее правило из Талмуда (Horayot 11; см. также Раб, с. 38), которое “в первую очередь” относилось к юриспруденции: “следуй за большинством”. Оно указывало, что приговоры могли выноситься большинством голосов (более квалифицированным, если случай допускал смертную казнь). Гражданские дела, видимо, также рассматривались в соответствии с указанным правилом, а в сомнительных случаях иногда не выносилось никакого суждения. Так произошло (Т/Yevamot 116) в примере с неопределенным отцовством7.
Сошлемся, наконец, на правило о подкидышах (Т/Makhshirin 27). Ребенок, найденный в городе с преимущественным не еврейским населением, предполагался таким же, и евреем как в противном случае, так и если население города делилось поровну между этими двумя группами (что можно было установить лишь весьма грубо).
Якоб Бернулли (1713/1986, с. 27) заявил, что должно “выбирать или следовать тому, что будет найдено лучшим, более удовлетворительным, спокойным и разумным”, и что вероятности “оцениваются одновременно и по числу, и по весу [соответствующих] доводов”8.
У Маймонида (1963, II-23, см. также Раб, с. 138) мы находим, что при сравнении сомнений о противоположных мнениях
Следует учитывать не число сомнений, а в первую очередь как велико их несоответствие и насколько они не согласуются с существующим. Иногда единственное сомнение сильнее тысячи других.
Можно предположить, что Маймонид имел в виду какую-то связь сомнений и их силы с вероятностями, потому что сомнительное возможно с более или менее низкой вероятностью.
Правила о запрещенной пище тоже косвенно опирались на (статистические) вероятности. Талмуд (например, Terumot) устанавливал запреты различной строгости на пищу, разрешенную лишь священникам: остальное население должно было в каждом отдельном случае руководствоваться определенными соотношениями запрещенного и разрешенного (например, для зерна двух видов), и таким образом существовала шкала соотношений. Раб (с. 41 со ссылкой на Mishna Tora, Запрещенная пища XV) сообщает, что Маймонид признавал семь соответствующих “уровней значимости”. Мы бы сказали: ввел шкалу из семи вероятностей для строгости различных степеней. Так, при разрешенном соотношении 1/100 вероятность съесть запрещенную пищу равнялась 1/101.
В новое время подобные шкалы (также и для логически устанавливаемых вероятностей) появились в юриспруденции и медицине еще до того, как вероятностные рассуждения стали полностью количественными (Лейбниц 1765/1936, кн. 2, гл. 16).
И вот особый пример вероятностного рассуждения (Раб с. 40), относящийся к раввину Shlomo ben Adret см. также [II, п. 4.2], которого Рабинович упоминает несколько раз, называет комментатором Талмуда и, на с. 5, указывает даты его жизни (1235-1310).
На тарелке лежат три или несколько (это неясно) кусков мяса, один из которых не кошерный. Можно съесть первый кусок, потому что он [вероятно] не запрещенный, так же само – второй [и т. д.?], а когда очередь дойдет до последнего, можно сказать, что “а этот разрешен, ибо по библейскому закону один из двух недействителен [?]”. Рабинович таким образом процитировал раввина и разъяснил (с. 39), что если запрещенный кусок смешивается с двумя разрешенными, то запрет отменяется.
Мы сомневаемся, что этот пример (и его обоснование) согласуется с решением о найденном куске мяса в конце п. 3, но главное в том, что описанное рассуждение противоречит здравому смыслу и может считаться разве лишь вероятностным софизмом, который, впрочем, вполне объясним опорой Shlomo ben Adret на субъективную, но отнюдь не объективную вероятность. И можно ли обобщить это рассуждение на произвольное число кусков мяса?
5.3. Выбор гипотезы: ожидания. Здесь критерием является не сама вероятность, как в примере об отцовстве (п. 5.2), а соответствующие ожидания выгоды (или наименьшего ущерба). Если некоторая альтернативная гипотеза, будь она менее вероятна, обеспечивает большее ожидание, то она более благоприятна (или наносит наименьший ущерб). Можно даже полагать, что с подобной целью интуитивно учитывались вероятности при слушании серьезных преступлений, при решениях о подкидышах и установлении запретов различной строгости на запрещенную пищу (п. 5.2). И выбор между случайным и детерминированным, видимо, иногда производился с той же целью.
Рассмотрим случай заподозренной чумы (п. 5.1.2). Да, действительно, случаи смерти 0, 1, 2 и 3 человек в течение трех дней (для меньшего города) видимо считались равновероятными (ср. там же пример b), и ложная тревога имела вероятность 1/8, но положение оказывалось серьезным и требовало принятия особых мер. Но почему случай трех смертей в течение, скажем, двух дней не принимался во внимание? Один из ранних комментаторов, раввин Meir (немецкое издание Талмуда, т. 3, с. 707), пояснил это, – на наш взгляд, вопреки здравому смыслу, – ссылкой на бодливого вола (п. 4).
В новое время выбор между гипотезами, основанный на ожиданиях, начался по существу с Паскаля (1669), – с его знаменитого посмертно опубликованного пари. Человек либо живет праведно и потому трудно, либо грешит. Если Бог существует, то греховодник проиграет, потому что вслед за конечными наслаждениями наступит бесконечное страдание, в противном же случае он выиграет. Вероятности существования Бога истинно верующий автор не назначил, хотя быть может только потому, что не успел отредактировать свой текст, но легко видеть, что при сколь угодно низкой, но конечной вероятности следует вести праведный образ жизни.
В иудаизме нет, кажется, четких понятий ада и рая, и Талмуд (Avoth 21) содержит лишь соответствующее детерминированное утверждение (вставки редактора Мишны):
Какой верный путь должен человек выбрать для себя? […] Соотнеси потери, вызванные [невыполнением] заповеди с наградой [обеспеченной ее соблюдением], а выгоду [от] нарушения – с [последующей] потерей9.
5.4. Особый выбор гипотез: моральная достоверность. Аристотель (Problemata 951b) считал, что предпочтительнее оправдать преступника, чем осудить невинного, т. е., в данном случае, отвергнуть верную гипотезу лучше, чем принять неверную. Современная презумпция невиновности не противоречит этому утверждению, и уже Якоб Бернулли (1713/1986, с. 31) считал, что приговоры в (уголовных) делах должны быть морально достоверными, т. е. быть справедливыми с вероятностью 0.99 или 0.999.
Много веков раньше Маймонид (1977, с. 124), как заметил Раб (с. 111), утверждал, что лучше освободить тысячу грешников, чем казнить одного невинного. И по меньшей мере в одном случае еврейский гражданский закон руководствуется той же мыслью. Талмуд (Yevamot 10) требовал свидетелей для объявления безвестно отсутствующего умершим. И вот современное толкование (Lexikon 1987, т. 4, часть 2-я, статья Verschollenheit, с. 1199):
Предположение о смерти, в соответствии с которым длительно отсутствующие объявляются официально умершими, не известно еврейскому закону.
Даже если гипотезы не вводятся явно, различие между указанными выше утверждениями и случаями, описанными в п. 5.2, всё же существенно, и состоит оно в том, что решения уже не зависят от простого сравнения соответствующих вероятностей.
5.5. Дополнение: гипотезы и наука. Мы кратко остановимся на вопросе, не относящемся к теории вероятностей или статистике. В другом случае спорного отцовства (ср. п. 5.2) Талмуд (Маккот 315–16; см. также Раб, с. 120) указал: “Что мы видим, то можно считать доказанным, но мы не считаем доказанным то, чего не видим”.
И вот утверждение Ньютона (1687/1936, с. 662): “Причину же этих свойств силы тяготения я до сих пор не мог вывести из явлений, гипотез же я не измышляю”.
Маймонид (1975, с. 123) убеждал врачей и судей, рассуждая в духе последовательной проверки гипотез, начиная притом с простейших: исцеление следует вначале добиваться “пищей”, при неудаче прописывать “нежные” лекарства, и только в качестве последней меры переходить к “сильным”.
Аналогично, судье следует “добиваться соглашения” между тяжущимися, затем объявлять суждение “в приятном тоне” и становиться “тверже” только после тщетного использования этих более мягких средств.
И вот ньютоново Правило “философствования” (т. е. умозаключений в физике) № 1 (1687/1936, с. 502): “Не должно принимать в природе иных причин сверх тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений”. Маймонид, правда, имел дело вовсе не с физикой, но “причины” тяжб, как, видимо, следовало вначале предполагать, можно было исключить достаточно простыми средствами.
6. Измерения
6.1. Линейные измерения. Понимая, что их наблюдения существенно искажены ошибками, древние астрономы представляли себе свои результаты не в виде определенных чисел, а отрезками, ограниченными некоторыми раннее установленными концами. Они поэтому считали возможным принимать за окончательное значение измеряемой константы почти любое число из такого отрезка (Шейнин 2005, п. 1.1.4). И даже в Средневековье (Price 1955, с. 6) “многие [крупномасштабные] карты” составлялись не на основе измерений, а в соответствии “с общим знанием местности”.
Еврейская традиция, однако, требовала довольно точных измерений различного рода. В субботу нельзя было покидать места своего жительства, и поэтому было необходимо устанавливать границы каждого поселения, т. е. проводить соответствующие линейные измерения в поле.
Единственным разрешенным средством для этого (Т/Eiruvin 54) была [льняная] “веревка длиной пятьдесят локтей”, и комментаторы разъяснили, что более короткая веревка вытягивалась, а более длинная – провисала бы. Впрочем, применялись и железные цепи, которые, однако, упомянуты в другом трактате (Т/Kelim 143). Ввиду возможных погрешностей границы поселений не считались жестко установленными; древний комментатор, раввин Shimon, допускал при этом ошибку в 0.75%. Для сравнения, точность, достижимая измерениями стальной лентой длиной 20м, составляет 0.14%10.
Рабинович (1974) исследовал древние измерения более подробно и добавил, что в своем комментарии Талмуда Shimon из Joinville (XIII в.) видимо полагал ошибки каждого знака в линейных измерениях равновозможными. Впрочем, некоторые составляющие полной ошибки (например, вызванные рельефом местности и неизбежной извилистостью измеряемой прямой) действуют систематически, – увеличивают длину.
6.2. Единица объема. Во многих случаях еврейский закон ссылался на куриное яйцо как на единицу объема и, более четко, на среднее из объемов “наибольшего” и “наименьшего” из них (Т/Kelim 176), т. е. на полусумму крайних значений объемов. Но определить эти значения можно было лишь по какому-то конечному числу яиц, указано же было – “на глаз”.
Начиная с Кеплера, или быть может на несколько десятилетий раньше, стандартной оценкой измеряемой константы стало среднее арифметическое из ее наблюдений (Шейнин 2005, с. 25 – 26). До того, однако, астрономы вряд ли придерживались какого-нибудь единого правила, хотя среднее из крайних значений (которое в случае двух наблюдений совпадало со средним арифметическим) иногда использовал Бируни.
7. Некоторые выводы
Библия (особенно Ветхий завет) и Талмуд содержали интересные примеры статистического мышления11. Случайность подразумевалась неоднократно (п. 2); устанавливалось различие между случайным и причинным (п. 5.1); и решения принимались на основе либо вероятностей, либо ожиданий (пп. 5. 2-5.3).
Соответствующие образ действий и эвристические понятия можно отыскать и в других источниках (Шейнин 1974, с. 117 – 119). Гиппократ приписал выздоровление пациента вероятной причине, а некоторые его афоризмы были основаны, мы бы сказали, на качественной корреляции, например: “Люди, очень полные по природе, склонны умирать в более раннем возрасте, нежели худощавые”. Тот же подход мы находим и у Аристотеля и интересно, что подобные высказывания были в духе качественной науки того времени.
Судебные приговоры, выносимые большинством, признавались не только Талмудом (п. 5.2), но и в Индии (и возможно не только там) начиная со II в., если не раньше. Также в Индии закон отличал случай от божественного возмездия виновному: считалось, что свидетель, с которым не позднее недели после дачи показаний случалось несчастье, был наказан свыше (там же, с. 108).
По мнению Конфуция (там же, с. 112, Прим. 68), судьбу должны разъяснять три предсказателя, двум из которых, если их указания совпадают, следовало доверять. И, наконец, Аристотель (п. 2) разъяснил случайность, чтобы включить это понятие в свое учение о причинах.
Наша статья подтверждает, что статистическое мышление стало естественным в древности. Более того, оно было широко распространено среди евреев, хотя и ограничивалось жесткими рамками (п. 5.1), поскольку каждое поколение изучало и Ветхий завет, и Талмуд.
Особо скажем, что Маймонид ввел элементарную шкалу вероятностей (п. 5.2) и что его рассуждения о сомнениях и гипотезах были эвристически родственны позднейшим утверждениям Ньютона и Якоба Бернулли (пп. 5.4-5.5).
Но мы обязаны добавить, что некоторые рассуждения в Талмуде и комментарии к ним противоречат здравому смыслу. Назовем примеры с мясом неизвестного происхождения (п. 3 и конец п. 5.2), условия, при которых смерть жителей города приписывалась чуме (п. 5.1.2а) и, особенно, несусветное обоснование этих условий (п. 5.3).
Признательность. Эта статья явилась результатом нашего доклада на заседании Общества еврейских врачей и психологов в Берлине под председательством д-ра Р. Скобло. В прениях проф. Г. Розенталь обратил наше внимание на сны Фараона (п. 5.1.1), а вопросы и предложения редактора журнала проф. А. Граттан-Гиннесса и рецензента помогли нам при окончательном оформлении рукописи.
Примечания
1. Но вот, правда, намного более позднее мнение Маймонида (1977, с. 122) о “математической астрономии”: “Наши мудрецы подтвердили, что [в этом] истинная мудрость (wisdom in the sight of the people), но теории астрологов лишены всякого значения”.
2. Прямое и обратное утверждения содержатся и в Учениях и заветах Церкви Иисуса Христа Святых последних дней. Драгоценная жемчужина (Солт-Лейк-Сити, штат Юта, 1995) 88:37. Во Введении (с. iii) сказано, что эта книга является собранием “Божественных откровений и Боговдохновленных изречений”.
Другую связь с политической арифметикой предоставляют вопросы Моисея (Числа 13: 17 – 20). Он
Послал мужей […] высмотреть землю Ханаанскую, [узнать] какова она, и народ, живущий на ней, силен ли он или слаб, малочислен ли он или многочислен? И какова земля […]. И каковы города […].
3. Раб (с. xi) опровергнул утверждение (Encyclopaedia 1962, с. 920 – 921) о том, что “древняя еврейская мысль не знала понятия вероятности” (точнее: никак не использовала ее).
4. Возможно, что это заключение вызвало следующий комментарий (Т/Avoth 415), хотя и без ссылки на него: “Раввин Jannai сказал, что не в наших силах объяснить ни процветание нечестивых, ни несчастья праведных”.
5. Жребии были распространены в древности. Проводимые в установленном порядке, они должны были сообщать божественное мнение, в противном же случае их результат считался чисто случайным.
6. В конце 1960-х годов квартиры в строящихся в Москве кооперативных домах должны были распределяться по жребию. В одном случае члены кооператива выразили аналогичное сомнение в справедливости жеребьевки, но В.Н. Тутубалин доказал им, что ее порядок не существен. В 1972 он описал этот эпизод в своей брошюре Теория вероятностей. М., МГУ.
7. Раб (с. 59) ввел разумные предположения и попытался решить эту задачу по теореме Бейеса, т. е. выбрать более (и достаточно) вероятную гипотезу, но определенного ответа так и не получил.
8. Бернулли видимо следовал средневековому учению пробабилизма, которое дозволяло опираться на вероятное мнение любого Отца католической церкви. Соответственно, он допускал неаддитивные вероятности (сумма которых превышала единицу), см. по этому поводу Shafer (1978).
9. Мы приведем выдержку из того же источника, в основном ввиду красоты слога: “День короток, а задание велико; работники вялы, [хоть] вознаграждение обильно, а Хозяин дома настойчив (urgent)”.
10. В соответствии с геодезическими наставлениями примерно 1960-х годов.
11. Будучи комментарием, написанным многими учеными людьми, он богаче по содержанию. Но сама краткость Библии, и, разумеется, ее более раннее появление означают бóльшую значимость ее утверждений.
Библиография
Аристотель, Aristotle (1975 – 1983), Сочинения, тт. 1-4. М. Метафизика включена в т. 1, Физика – в т. 3. О возникновении животных не попало в это собрание (но было переведено в 1940 г.), равно как и возможно не принадлежащее Аристотелю сочинение Problemata. Общеизвестны два собрания сочинений Аристотеля в английском переводе: 12 томов под редакцией Д. Росса (Оксфорд, 1908 – 1952; датировка по British Library Gen. Catalogue of Printed Books up to 1975), на которое мы ссылаемся, и двухтомное (Принстон, 1984).
Шейнин О. Б., Sheynin O. B. (1974), On the prehistory of the theory of probability. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 12, pp. 97 – 141.
– (1977), Early history of the theory of probability. Там же, т. 17, c. 201 – 259.
– (1995), Понятие случайности от Аристотеля до Пуанкаре. Историко-математич. исследования, вып. 1 (36), № 1, с. 85 – 105.
– (2005), Теория вероятностей. Исторический очерк. Берлин. Также www.sheynin.de
Bernoulli J., Бернулли Я. (1713, латин.), Искусство предположений. В книге автора О законе больших чисел. М., 1986, с. 23-59.
Celsus A. C. (1935, латин. и англ.), De Medicina, vol. 1. London.
D’Alembert J. Le Rond (1768), Doutes et questions sur le calcul des probabilités. В книге автора Mélanges de litterature, d’histoire et de philosophie, t. 5. Amsterdam, pp. 239 – 264.
De Moivre A. (1718), Doctrine of Chances. Третье изд. Лондон, 1756 перепечатано: Нью-Йорк, 1967.
Encyclopaedia (1962, иврит), Encyclopaedia Hebraica, vol. 14. Tel Aviv.
Hasofer A. M. (1967), Random mechanisms in Talmudic literature. Biometrika, vol. 54, pp. 316 – 321. Расширенный вариант: Proc. Assoc. Orthodox Jewish Scientists, vol. 2. Jerusalem – New York, 1977, pp. 63-80.
Ineichen R. (1996), Würfel und Wahrscheinlichkeit. Heidelberg.
Kepler J. (1604, нем.), A thorough description of an extraordinary new star. Vistas in Astronomy, vol. 20, 1977, pp. 333-339.
– (1618 – 1621, латин.), Epitome of Copernican Astronomy. В книге Great Books of the Western World, vol. 16, 1952, pp. 845-1004.
Laplace P.-S., Лаплас П. С. (1814, франц.), Опыт философии теории вероятностей. В книге Прохоров Ю. В., редактор (1999), Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. М., с. 834 – 863.
Lexikon (1987), Jüdisches Lexicon, Bde 1 – 4. Frankfurt/Main.
Leibniz G. W., Лейбниц Г. В. (1765, нем.), Neue Abhandlungen über menschlichen Verstand. Новые опыты о человеческом разуме. М. – Л., 1936.
Maimonides M. (1963), Guide for the Perplexed. Chicago.
– (1975), Introduction to the Talmud. New York.
– (1977), Letter to the Jews of Marseilles. В книге автора Letters. New York, pp. 118 – 129.
Maupertuis P. L. M. (1745), Venus physique. В книге автора (1756, t. 2, pp. 1 – 133).
– (1751), Système de la nature. Там же, c. 135 – 184.
– (1756), Œuvres, tt. 1 – 4. Lyon.
Newton I., Ньютон И. (1687, латин.), Математические начала натуральной философии. Перевод А. Н. Крылова. Книга составляет т. 7 Собрания сочинений Крылова (М. – Л., 1936).
Pascal B., Паскаль Б. (1669, франц.), [Pari]. Несколько русских переводов в переведенной книге автора Мысли о религии, которую мы не видели. Также в сборнике переводов Шейнин О. Б. (2007), Вторая хрестоматия по истории теории вероятностей и статистики. Берлин, с. 56 – 58 и в www.sheynin.de
Poincaré H. (1896, франц.), Calcul des probabilités. Paris, 1912. Теория вероятностей. Ижевск, 1999.
Poisson S.-D. (1837), Recherches sur la probabilité des jugements. Paris. [Paris, 2003.]
Price D. J. (1955), Medieval land surveying and topographical maps. Geogr. J., vol. 121, pp. 1-10.
Rabinovitch N. L. (1973), Probability and Statistical Inference in Ancient and Medieval Jewish Literature. Toronto.
– (1974), Early antecedents of error theory. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 13, pp. 348 – 358.
Shafer G. (1978), Non-additive probabilities in the work of [J.] Bernoulli and Lambert. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 19, pp. 309- 370.
