Тема, обозначенная в заглавии, далеко не нова – более того, по-видимому, это одна из “вечных” тем и, возможно, многие не найдут ниже ничего существенно нового. Тем не менее, мне представляется полезным ещё раз обратиться к указанным вопросам, которые так или иначе приходится затрагивать при чтении курса истории математики.
Что такое математика? Начнём с широко известного определения, данного Ф. Энгельсом в 1878 г. в «Анти-Дюринге»[1]: “Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира…”
Мне кажется, что у математика, задумавшегося над этой дефиницией, неминуемо возникнет ряд вопросов, например,
Вопрос 1. Математическая логика (а также в большой мере топология, теория алгоритмов, алгебраическая геометрия, computer science, …) – это пространственные формы или количественные отношения?
Вопрос 2. Что такое пространственные формы и количественные отношения?
Вопрос 3. Что такое действительный мир и каковы в действительности взаимоотношения действительного мира и математики?
На последний вопрос как бы ответил сам Энгельс, завершив приведённое выше начало цитаты пояснением “стало быть, весьма реальный материал”. Однако многочисленные высказывания Энгельса показывают, что он понимал связь математики с действительным миром откровенно вульгарно:
“Результаты геометрии представляют собой не что иное, как естественные свойства различных линий, поверхностей, тел и, соответственно, их комбинаций, которые большей частью встречались уже в природе задолго до того, как существовали люди (радиолярии, насекомые, кристаллы и т.д.)”;
«Любая математическая операция «совершается самой природой», которая «оперирует этими дифференциалами, молекулами, точно таким же образом и по точно таким же законам, как математика оперирует своими дифференциалами”;
“Смешение математических действий, допускающих математическое доказательство, проверку, – так как они основаны на непосредственном материальном созерцании, – с такими чисто логическими действиями, которые допускают доказательство путём умозаключения и которым, следовательно, не свойственна положительная достоверность, присущая математическим действиям < ...>”;
“Математические понятия взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Они заимствованы из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления”.
Для иллюстрации неочевидности вопроса о связи математики с действительностью мой учитель Д.А. Гудков[1] приводил на своих лекциях по истории математики следующую схему.
Если с первой связью (стрелка 1) можно с небольшими оговорками[2] согласиться, то простые числа уже не так близки к действительности – вспомните Л. Кронекера (1823–1891): “Бог создал натуральные числа, всё остальное – дело рук человеческих”. Теорема Евклида может и вообще не иметь к действительности никакого отношения, поскольку вопрос о наличии в природе бесконечности, насколько мне известно, не решён. Можно ли тогда говорить, что стрелка 6 отвечает непосредственной связи с действительностью?
Нет никаких сомнений в том, что А.Н. Колмогоров (1903–1987), взявший определение Энгельса за основу в своей во многом основополагающей статье “Математика” (см. [2]), понимал недостатки этого определения лучше других. В частности, он пытался подправить это определение – например, снять Вопрос 2 не слишком конкретным разъяснением “Запас количественных отношений и пространст-венных форм, изучаемых математикой, непрерывно расширяется”, или непосредственно вставляя в определение наряду с “пространственными формами и количественными отношениями” математическую логику. Почему же Колмогоров не отказался от определения Энгельса? Ответ на этот вопрос представляется мне совершенно очевидным: в условиях, мягко говоря, идеологической несвободы сделать это было невозможно.
Негодность определения Энгельса была ясна многим математикам. Ряд из них предложили свои варианты определения математики. Приведу некоторые примеры.
Л.Д. Кудрявцев в 1980 г. писал [3]: “Чистая математика – это наука, изучающая специальные логические структуры, называемые математическими структурами, у которых описаны определённые отношения между элементами”. Мне не кажется удачной идея определять понятие “математика” через понятие “математическая структура”, хотя Н. Бурбаки [4] делает то же самое: “Математика есть набор абстрактных форм – математических структур”.
В недавней статье [5] Л.Д. Кудрявцев развернул своё определение: “Математика изучает определенного рода логические понятия и отношения между ними. Для этих понятий даются логические определения и постулируются их связи. Определяются теоретико-множественные, топологические, метрические, геометрические, аналитические, алгебраические и вероятностные структуры, которые и представляют собой предмет, изучаемый математикой”. И далее: “Математические структуры представляют собой часть информационного поля, которое существует наряду с материальным (физическим) полем. Информационное поле состоит из реально существующих абстрактных фактов. <…> Информационное поле содержит в себе разнообразные логические (не только математические) структуры, все сведения о материальном (физическом) мире, о законах его развития, взаимодействии его частей, о его прошлом и будущем”.
Перечислительный подход, не кажется мне обнадёживающим: пропущены, например, “алгоритмические” структуры, да и кто вообще даст гарантию, что с развитием математики не возникнут структуры какого-то неведомого пока вида? Что касается концепции информационного поля из последней цитаты, то в первой части (“реально существующие абстрактные факты”) она не слишком ясна, а во второй части (“все сведения о материальном мире,…, о его прошлом и будущем”) информационное поле по сути берёт на себя функции Создателя.
Определение, предложенное Д.Х. Муштари, А.Н. Шерстневым и В.А. Бажановым для “Татарской энциклопедии”: “Математика – наука о структурах, порядке и отношениях, возникшая в процессе развития практики вычислений, измерений и описания форм (реальных и абстрактных) объектов и отношений между ними и основанная на логических доказательствах и численных выкладках”[3], даёт, на мой взгляд, наиболее удачное из вышеприведённых описание математики, но и его нельзя считать определением в логико-математическом смысле: оно опирается не неформализованные понятия (структура, порядок, отношение) без выделения каких-то понятий в качестве исходных, неопределяемых.
Мне кажется, что обречённость попыток дать “настоящее” определение математики ясна с самого начала. Конечно, эта мысль не является новой. Например, по мнению Г. Вейля (1885-1955) “Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счете математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками” (см.[6], c.16). По этому же поводу А.П. Юшкевич (1906-1993) писал [7]: “Если меня спросят, что же такое математика, я не сумею ответить” и “Не знаю, возможно ли одной, хотя бы и длинной фразой определить, что же такое математика, если не говорить шутливо, что это предмет, которым занимаются так называемые математики <…>”.[4]
Чем же заменить (хотя бы в курсе истории математики) определение предмета математики? Д.А. Гудков полагал, что вместо определения математики следует описать её место среди других наук, и в качестве такого описания считал адекватной схему, предложенную Г. Грассманом (1809–1877) в его знаменитой статье [8], в самом начале которой написано: “Верховное деление всех наук состоит в разделении их на реальные и формальные науки, из которых первые отображают в мышлении бытие, как самостоятельно противостоящее мышлению. Их истина заключается в согласии мышления с этим бытием. Наоборот, формальные науки имеют своим предметом то, что полагается самим мышлением. Их истина заключается в согласии процессов мышления с самими собой”.
Студентам Д.А. Гудков пояснял подход Грассмана следующей схемой, называя стрелку 1 “первым отражением”, а стрелку 2 – “вторичным отражением” действительности.
Из сказанного выше мне представляется совершенно неоправданной практика, когда, скажем, на лекции без всяких комментариев даётся “классическое” определение математики через “пространственные формы и количественные отношения”[5]. Во-первых, это ничему не учит. Во-вторых, при всём искреннем уважении к А.Н. Колмогорову я не вижу никакого смысла в канонизации его подходов со всеми деталями. Наконец, мне кажется неэтичным как приписывать это определение А.Н. Колмогорову, так и сообщать, что это определение принадлежит Ф. Энгельсу, не сказав при этом о полном непонимании Энгельсом современной ему математики. Тщательное обоснование последнего утверждения можно найти в замечательной статье Ж. ван Хейенорта[6] [9], где, в частности, убедительно показано, что “Энгельс был столь же незнаком с историей анализа, сколько и с его принципами” и что “Для Энгельса математика фактически неотличима от физики, она как бы ветвь физики”[7]. Приведу только несколько цитат из Энгельса по [9]: “Квадратный корень из минус единицы не просто противоречие, а даже абсурдное противоречие, действительная бессмыслица. <…> Если только мы привыкнем приписывать корню квадратному из минус единицы или четвёртому измерению какую-нибудь реальность вне нашей головы, то уже не имеет особенно большого значения, сделаем ли мы ещё один шаг дальше, признав также и спиритический мир медиумов”; “Во всякой системе с нечётным основанием теряет силу различие чётных и нечётных чисел”; “Математические аксиомы самоочевидны для европейцев, но, конечно, не для бушменов и австралийских негров”[8]; “Лейбниц – основатель математики бесконечного, по сравнению с которым индуктивный осёл Ньютон является испортившим дело плагиатором”.
О периодизации истории математики
С точки зрения преподавания истории математики разбиение длительного пути её развития на отдельные периоды является прежде всего удобным и необходимым инструментом. В таблице ниже приведены известные мне подходы к периодизации истории математики. Конечно, следует иметь в виду, что каждая периодизация в значительной степени условна (как правило, границы периодов ориентировочны, региональные особенности не учитываются, в каждом новом периоде сохраняются черты предыдущих и т.д.).
Периодизация, предложенная В.В. Бобыниным (1849-1919), была бы безупречной, не будь она столь бедной. Классическая периодизация Колмогорова изложена в той же знаменитой статье “Математика”, что и обсуждавшийся выше его подход к определению математики. Последующие авторы, включённые в таблицу, принимают границы периодов, предложенные Колмогоровым[9], подразделяя некоторые периоды на более короткие. Так, Д.А. Гудков делит начальный период на “праматематику первобытного общества”, характеризующуюся накоплением опыта счёта и различения геометрических объектов, и на “праматематику дворцовых цивилизаций” – период накопления математических фактов. Приставка “пра” призвана подчеркнуть чисто индуктивный характер математики этих периодов. А.Д. Александров делит на части период “современная математика”, что тоже представляется обоснованным, поскольку он уже достаточно продолжителен и не является однородным. По поводу его деления и названий частей могут быть разные подходы. Так, А.П. Юшкевич [7] считал, что математику XIX и первой половины XX века можно охарактеризовать названием “эпоха нестандартной математики”, а вторую половину XX века – временем вычислительной и машинной математики. Мне кажется, что характерной чертой математики двух последних веков является также появление серии “отрицательных” результатов (доказательство неразрешимости трёх классических задач древности, недоказуемости V постулата Евклида, открытие алгоритмически неразрешимых проблем, логической непротиворечивости континуум-гипотезы и т.п.).
Однако названия “средних” периодов представляются мне неадекватными. По поводу неудачности термина “период элементарной математики” ясно высказался А.П. Юшкевич в [7], мотивируя это как неопределённостью самого термина “элементарная математика”, так и явной неэлементарностью (при любом разумном понимании этого термина) многих математических достижений античности[10]. Мне представляются неверными также названия “математика постоянных величин” и “математика переменных величин”: конечно, древним грекам не свойственны были выражения типа ”пусть x пробегает значения от 0 до 1“, однако ни апории Зенона, ни теорию Евдокса отношений величин, ни его же метод исчерпывания, ни “Tрактат о конфигурации качеств” Н. Орема (XIV в) – примеры можно продолжать – нельзя отнести к математике постоянных величин. Я не сомневаюсь (по-моему, это ясно видно из текста Колмогорова), что эти названия периодов – ещё один “идеологический рудимент”, спровоцированный известным высказыванием Энгельса: “Поворотным пунктом в математике была декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и диалектика…”. Замечу, что мои (последний столбец таблицы) названия этих периодов тоже не кажутся мне удачными – я их оставил за неимением лучших.
Замечание. Этот текст написан уже после того, как был сделан устный доклад, поэтому у меня есть приятная возможность поблагодарить участников VIII Международных Колмогоровских чтений за заинтересованное обсуждение.
Нижегородский госуниверситет
имени Н.И. Лобачевского
Литература
1. Ф.Энгельс. Анти-Дюринг. Переворот в науке, произведенный господином Евгением Дюрингом. – М. «Политиздат», 1983. 482 с.
2. А.Н. Колмогоров. Математика в её историческом развитии.– М., Наука, 1991. 223 с.
3. Л.Д.Кудрявцев. Современная математика и её преподавание. – М., Наука, 1985. 170 с.
4. Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. – М.: ИЛ, 1963. 292 с.
5. Л.Д. Кудрявцев. О математике // Математика в высшем образовании, 7 (2009). С. 9-20.
6. М. Клайн. Математика. Утрата определённости. – М.: Мир, 1984. 16 c.
7. А.П. Юшкевич. А.Н. Колмогоров о сущности математики и периодизации её истории. Историко-математические исследования, 35, 1994. С.8-16.
8. Г. Грассман. Чистая математика и учение о протяжённости. В кн. Математика. Метод, проблемы и значения её. – Спб.: Образование. 1913. (Серия «Новые идеи в математике», сборник первый.)
9. Ж. ван Хейенорт. Ф. Энгельс и математика. // Природа,1991. № 8, С. 90-105.
10.В.И. Арнольд. Что такое математика? – МЦНМО, 2002. 104 с.
Примечания
[1] Дмитрий Андреевич Гудков (1918-1992) – профессор Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. В 1969 г. он нашёл классификацию неособых кривых степени 6 и открыл (в виде гипотезы) сравнение в топологии вещественных алгебраических кривых, доказательство которого в последовавших работах В.И. Арнольда и В.А. Рохлина ознаменовало начало современного этапа в исследованиях по 16-й проблеме Гильберта. Д.А. Гудков также автор книги “Н.И. Лобачевский. Загадки биографии” (1992 г.).
[2] Конечно, для строгого дедуктивного использования натуральных чисел и они требуют формального описания – например, с помощью аксиоматики Пеано.
[3] Пользуюсь случаем поблагодарить профессора В.А. Бажанова, сообщившего мне это определение.
[4] Кстати, в той же статье [7] А.П. Юшкевич писал: “Недостаточность принятого за отправное определения Энгельса была ясна А.Н. [Колмогорову] с самого начала”.
[5] Мне довелось присутствовать на такой лекции уже в постсоветский период.
[6] Жан ван Хейенорт[6] (1912-1986) в 1932–1939 гг. был личным секретарём и телохранителем Л.Д. Троцкого, затем до 1945 г. – секретарём IV Интернационала. Разочаровавшись в марксизме, Ж. ван Хейенорт в 1946 г. закончил университет в Нью-Йорке и в 1949 г. защитил диссертацию по геометрии. Позже его интересы переместились в область математической логики, а затем – в историю логики и математики и в философию. В 1965–1986 гг. он преподавал философию в различных университетах США.
[7] Cр. с высказыванием В.И. Арнольда [10]: “Математика – это часть физики, являющаяся, как и физика, экспериментальной наукой: разница только в том, что в физике эксперименты стоят обычно миллионы долларов, а в математике – единицы рублей”. Впрочем, я не знаю математиков, согласных с этой формулировкой, и подозреваю, что в процитированном высказывании главным является его полемический или какой-то тактический смысл.
[8] По-моему, неплохая иллюстрация и к вопросу о пролетарском интернационализме.
[9] Отмечу, что выделение “момента зарождения” в периодизации, предложенной А.Д. Александровым, представляется мне неестественным.
[10] А.П. Юшкевич писал в [7]: “Как-то раз я попробовал затронуть этот вопрос в беседе с А.Н. Он выслушал мои замечания, но ответил только: «Интересно: об этом стоит подумать» и этим ограничился”. По-видимому, на этот вопрос у А.Н. Колмогорова не было уже ни сил, ни времени.
Напечатано в журнале «Семь искусств» #5(52)май2014
7iskusstv.com/nomer.php?srce=52
Адрес оригинальной публикации — 7iskusstv.com/2014/Nomer5/Polotovsky1.php
