Выдающийся математик современности, академик РАН Владимир Игоревич Арнольд скоропостижно скончался в Париже 3 июня 2010 года, не дожив 9 дней до своего 73-летия (он родился в Одессе 12 июня 1937 года). О нем уже много написано (см., например, [1-6]) и будет написано еще гораздо больше. Настоящая статья – это существенно переработанный перевод на русский язык заметки [7], в которой я поделился некоторыми своими воспоминаниями об Арнольде и постарался кратко рассказать о его роли в создании теории Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ).
1. Арнольд, каким я его помню
С Владимиром Игоревичем (далее – В.И.) связан огромный пласт моей жизни. Я стал заниматься у него в начале 1980 года, еще будучи первокурсником мехмата МГУ. Под его руководством я писал курсовые работы, диплом и кандидатскую диссертацию. В конце первого года аспирантуры Арнольд предложил мне подготовить монографию по т.н. обратимым динамическим системам для серии “Lecture Notes in Mathematics”, и написание этой книги, вышедшей в издательстве Springer [8], было одним из ключевых событий моей научной биографии. Я общался с В.И. последний раз 3 ноября 2009 года на его семинаре на мехмате и видел В.И. последний раз 15 декабря 2009 года на заседании Московского математического общества¼
Если бы меня попросили назвать одну самую характерную черту Арнольда, каким я его запомнил, я бы ответил “подвижность”. Он стремительно шагал по коридорам МГУ (быстрее, чем большинство студентов, не говоря уже о преподавателях), его речь была очень быстрой и четкой, он почти всегда мгновенно реагировал на любую реплику собеседника, часто совершенно неожиданным образом. Его фантастическая работоспособность в науке и многочисленные спортивные увлечения общеизвестны в математической среде [2-4].
Своим ученикам В.И. всегда уделял поразительно много сил и времени. Среди его студентов и аспирантов были и весьма слабые, но я не помню случая, чтобы он отказался даже от явно “не тянущего” студента. В 80-е годы почти каждое заседание его знаменитого семинара по теории особенностей дифференцируемых отображений на мехмате МГУ (об этом семинаре подробно рассказано в статье С.К.Ландо [5]) начиналось со сбора “урожая” – записок учеников, где те излагали свои последние продвижения, или черновиков научных работ (при этом Арнольд возвращал студентам предыдущий “урожай” со своими замечаниями). После семинара или лекции спецкурса он часто еще 1-3 часа беседовал с несколькими участниками или слушателями. Щедрость В.И. проявлялась во всем. Он неоднократно давал многостраничные письменные математические консультации даже незнакомым людям, писал на представленные в журналы статьи рецензии, объемом превышающие саму статью. В последние годы он со всей присущей ему энергией пытался остановить обвальную деградацию школьного математического (и не только математического) образования.
О своих математических занятиях под руководством В.И. во время учебы в МГУ я постарался рассказать в заметке [9]. Здесь мне хотелось бы подчеркнуть, что у Арнольда не было никакого шаблона в общении со своими учениками. В одних случаях он лишь сообщал студенту – на чисто идейном уровне – что в огромном математическом мире есть такой-то заманчивый малоисследованный уголок, и если студент брался этот уголок обживать, то он должен был и находить основную литературу по данному вопросу, и изучать ее, и ставить новые задачи, и придумывать пути их решения, и воплощать эти замыслы в жизнь практически самостоятельно. Конечно, при этом В.И. держал руку на пульсе (я помню, как на пятом курсе, после того, как я долго не приносил “урожай”, но в конце концов добился существенных успехов, Арнольд с облегчением воскликнул: “Ну слава Богу, а я уже начал бояться, что мне придется Вам помогать”). В других ситуациях, напротив, Арнольд интенсивно обсуждал с учеником ту или иную проблему и привлекал его к совместному исследованию – так, например, возникла наша работа [10]. В случае необходимости В.И. прибегал и к довольно жестким методам. Я был свидетелем того, как он сказал одному своему студенту: “Вы слишком медленно работаете, я думаю, будет лучше, если Вы теперь раз в неделю будете мне рассказывать, что сделали за прошедшую неделю”. Арнольд никогда не старался щадить самолюбие собеседника.
В.И. обладал удивительным чувством единства математики, всего естествознания и всего сущего в целом. Он рассматривал математику как часть физики, и его “экономическое” определение математики как раздела физики, где эксперименты дешевы [11, 12], широко цитируется. От себя добавлю, что я бы предпочел охарактеризовать математику как естественно-научную дисциплину, изучающую феномен бесконечности, – по аналогии с малоизвестным, но замечательным определением топологии как науки, изучающей феномен непрерывности (это определение топологии я услышал в студенческие годы от своего сокурсника С.А.Спирина). Впрочем, специфику математики Арнольд видел и в другом: “Как справедливо отмечают, физики ссылаются на первого автора, а математики – на последнего” (этот афоризм он высказал на одном из заседаний семинара). В.И. вообще придавал колоссальное значение адекватности ссылок и другим вопросам, связанным с приоритетом, что было естественным продолжением его духовной щедрости, и убеждал учеников, что в статьях “благодарить надо по максимуму”.
В.И. последовательно боролся с “бурбакизмом” – самоубийственной тенденцией представить математику как формальный и бесцельный вывод следствий из немотивированных аксиом. Математика, по Арнольду, нужна для открытия новых законов природы, а не для “строгого” обоснования очевидных вещей. Восприятие математики и естествознания как единого инструмента постижения мира В.И. стремился передать и своим ученикам. Когда мне после окончания аспирантуры в силу ряда обстоятельств понадобилось частично переквалифицироваться в химика, я не испытал при этом – пройдя математическую школу Арнольда – никакого психологического дискомфорта.
2. Теория КАМ
Фундаментальные математические достижения Арнольда, так же как и его учителя академика Андрея Николаевича Колмогорова, охватывают почти всю математику. Возможно, что В.И. – последний универсал в истории этой науки. Ни один из учеников Арнольда не смог даже приблизиться к подобной универсальности в своем собственном творчестве. Моей математической специализацией является теория КАМ (Колмогорова-Арнольда-Мозера) – теория т.н. квазипериодических движений в неинтегрируемых динамических системах, основанная Колмогоровым, Арнольдом и Мозером (Jürgen Kurt Moser), выдающимся американским математиком немецкого происхождения, в 50-х – 60-х годах.
Об истории становления и некоторых фундаментальных результатах теории КАМ (или, как ее еще называют, КАМ-теории) рассказано, например, в блестящей популярной книге [13]. Из руководств на русском языке в качестве введения в теорию КАМ можно рекомендовать добавление 8 (с. 320–335) в учебнике [14], § 6.3 (с. 229–260) монографии [15] или лекционный курс [16], но эти книги рассчитаны скорее на старшекурсников математических специальностей. Я попытаюсь здесь изложить некое “понятийное ядро” теории КАМ в максимально общих терминах.
Если кто-нибудь случайно изменит всего один символ в компьютерной программе, то с весьма высокой вероятностью эта программа станет абсолютно неработоспособной (если, конечно, мы не используем специальные технологии типа помехоустойчивого кодирования). Аналогичным образом, мутация, затрагивающая всего лишь один нуклеотид в ДНК, вполне может быть летальной. С другой стороны, единичная опечатка в книге почти никогда не приводит к сколько-нибудь серьезным последствиям. Представим теперь динамическую систему (например, совокупность материальных точек в поле некоторых сил), характеризующуюся очень упорядоченными движениями (подобно планетам, обращающимся вокруг звезды по кеплеровым эллипсам под действием гравитационного притяжения к этой звезде, но не притягивающим друг друга). Такие динамические системы называются интегрируемыми. Изменим немного (как говорят в точных науках, возмутим) законы движения (например, начнем учитывать взаимное притяжение планет). Что произойдет? Может быть, регулярная картина движения полностью разрушится, и движение сразу станет хаотическим, как в случае компьютерной программы (большинство физиков до создания теории КАМ склонялись именно к такой точке зрения)? Или, может быть, малое возмущение лишь незначительно повлияет на общий вид движения в динамической системе, как в примере с книгой? Именно на эти вопросы и дает ответ теория КАМ. Отметим, что великий французский математик и физик А.Пуанкаре (Henri Poincaré) в конце XIX века назвал изучение малых возмущений интегрируемых гамильтоновых систем “основной задачей динамики” ([17], с. 34).
Оказывается, что при достаточно малом возмущении интегрируемой системы общего вида большинство траекторий движения остаются регулярными, но между этими упорядоченными движениями возникают зоны хаоса. Их совокупный объем невелик (и стремится к нулю, если рассматривать всё меньшие и меньшие возмущения), но зоны хаотического движения пронизывают всё пространство подобно дыркам в губке. Таким образом, возмущения интегрируемых динамических систем приводят к результатам, в некотором смысле промежуточным между последствиями опечатки в компьютерной программе и опечатки в книге.
Конечно, описать роль Арнольда в становлении теории КАМ, не прибегая уже к строгой математической терминологии, практически невозможно. Сам В.И. в сборнике избранных работ [18], посвященном его 60-летию, приводит следующий перечень основных результатов, полученных им (в 1958–65 годах) в той области качественной теории динамических систем, за которой позднее закрепилось название “теория КАМ” (см. с. XLIII сборника [18]):
а) Решение проблемы Биркгофа об устойчивости неподвижной точки в общем эллиптическом случае.
б) Доказательство теоремы об адиабатической инвариантности на бесконечных интервалах времени.
в) Доказательство вырожденной теоремы КАМ (из которой вытекает существование квазипериодических движений планетного типа в планетных системах с достаточно малыми планетами).
г) Открытие универсального механизма неустойчивости, названного физиками «диффузией Арнольда».
д) Основание теории эволюции при переходе через резонансы в многочастотных системах.
е) Формулировка гипотез о сопряженности повороту (одна из них была позже доказана М.Р.Эрманом, некоторые другие близки к результатам Ж.-К.Иоккоса, но до сих пор не доказаны).
Подробно вклад каждого из трех основателей теории КАМ описан Арнольдом в статьях [19, 20]. Следует отметить, что в подавляющем большинстве работ по теории КАМ рассматриваются только гамильтоновы системы (не обязательно конечномерные), однако Мозер еще в середине 60-х годов получил параллельные результаты для обратимых систем, а впоследствии разными авторами были сформулированы обобщения и для других классов динамических систем. В начале 80-х годов В.И. на короткое время вернулся к теории КАМ и исследовал некоторые виды квазипериодических движений в обратимых системах. Как раз в этот момент я приступал к выполнению дипломной работы. Так Арнольд заставил меня изучить и полюбить и причудливый мир обратимых систем, и невыразимо прекрасную теорию КАМ, за что я буду ему благодарен до конца жизни.
3. Развенчание мифов
Как это часто бывает, после безвременной кончины В.И. российские печать и Интернет захлестнула волна некрологов и воспоминаний, изобилующих неточностями, ошибками и просто выдумками. Даже КАМ-теория кое-где превратилась в K-теорию (между прочим, K-теория – реально существующий раздел математики, не имеющий ничего общего с теорией КАМ). В потрясающе безответственном некрологе, опубликованном в солидной, казалось бы, газете «Известия» [21], можно прочесть, например, следующее:
“Владимир Арнольд был знаменит своими чудачествами. Он никогда не давал интервью, никогда не пользовался интернетом и электронной почтой¼ Однажды во Франции Арнольд в ходе научного спора вызвал на дуэль своего оппонента, тоже академика. Они помирились на том основании, что математика позволяет сотрудничать со своим оппонентом”.
Конечно, то, что обозреватель газеты ничтоже сумняшеся употребляет слово “чудачества” по отношению к крупнейшему ученому, неприемлемо в любом случае. Но и с чисто фактической стороны этот пассаж чрезвычайно далек от истины.
Во-первых, за свою жизнь В.И. дал очень много интервью самым разным изданиям, как отечественным, так и зарубежным. Некоторые из них перепечатаны в сборниках [2] (интервью «Новой газете», с. 149-151, интервью газете «Троицкий вариант», с. 179-185, интервью В.Б.Демидовичу для сборника «Мехматяне вспоминают – 2», с. 217-249, интервью В.С.Губареву для журнала «Наука и жизнь», с. 283-293) и [18] (интервью S.H.Lui для Hong Kong Mathematical Society Newsletter, с. 713-726). Из других известных интервью можно отметить [22-25]. Ряд интервью собран на интернетовской странице [26].
Во-вторых, я не был свидетелем того, как В.И. пользовался Интернетом, однако в 90-е годы не раз общался с ним по e-mail в режиме реального времени (посылал ему письмо и тут же получал ответное письмо). Впрочем, в начале 2000-х Арнольд действительно прекратил пользоваться электронной почтой, когда число ежедневно получаемых им сообщений – настоящих сообщений, не считая спама – достигло, как он рассказывал, трех тысяч. Мнение, что Арнольд никогда не пользовался e-mail из принципиальных соображений, – уже устоявшийся миф (см., например, воспоминания в сборнике [2] на с. 48 или упомянутый там некролог [27]).
В-третьих, в математическом сообществе хорошо известен эпизод, когда выдающийся французский математик Ж.-П.Серр (Jean-Pierre Serre) вызвал Арнольда на публичный диспут о влиянии группы Бурбаки на развитие математики. Об этом диспуте, состоявшемся 13 марта 2001 года в Институте А.Пуанкаре в Париже, В.И. рассказал в своем эссе “Математическая дуэль вокруг Бурбаки” [28]. В известинском некрологе [21] этот эпизод мило проинтерпретирован таким образом, что не Арнольда вызвали, а он вызвал, причем на настоящую дуэль!
В том же некрологе [21] говорится, что международный язык математики – французский (на самом деле, конечно, английский, как и всего естествознания, а до Второй мировой войны был скорее немецкий), есть и другие грубые несуразности.
Другой пример. Сразу же после смерти В.И. в сетевом издании «Yтро.ru» появился уже упоминавшийся некролог [27] с характерным названием “Умер математик, ненавидевший компьютеры”, где можно прочесть следующее:
“Из других чудачеств ученого известна его неприязнь к компьютерам и особенно Интернету. Арнольд до последних дней своей жизни упорно не пользовался электронной почтой и верил, что компьютерщики «разрушают мировую науку и культуру»”.
Про “чудачества” и электронную почту я уже разъяснил выше. Что же касается компьютеров вообще, то вовсе не ненавидел их В.И., рассматривая компьютеры, в частности, как совершенно необходимый инструмент математического моделирования там, где речь идет о действительно больших объемах вычислений. Он был инициатором многих компьютерных экспериментов в теории динамических систем и теории чисел и сам иногда участвовал в их проведении (см., например, воспоминания [20], с. 45). Однако к агрессивному проникновению компьютерных технологий во все поры общества и к тенденции превращения человека в утративший собственный разум беспомощный придаток интеллектуальных устройств Арнольд, конечно, относился резко отрицательно. Делить 111 на 3 все-таки надо уметь без электроники, а желательно и без бумажки (см. по этому поводу, например, [2], с. 284).
Миф о том, что Арнольд в принципе не принимал компьютеры, очень широко распространен, поэтому я позволю себе привести здесь четыре короткие цитаты из двух брошюр В.И. последних лет (см. также [2], с. 231). После этих цитат читатель сможет сам решить, была ли присуща Арнольду неприязнь к компьютерам как таковым или нет.
“Я к тому времени успел уже не только посотрудничать с «генералом», но и серьезно возражать генеральскому мнению: он считал, что Советскому Союзу не надо разрабатывать новую компьютерную технику, так как наши математики настолько сильны, что и без компьютеров сумеют всё рассчитать, что надо. Мои возражения на его решение, далеко отодвинувшее страну назад, не повлияли. Но высказанные мною в этих спорах идеи о методах (компьютерного) расчета орбит спутников всё же сегодня всюду используются.” ([29], с. 50)
“Когда коэффициенты многочлена известны, проверка того, сколько у него овалов в параболической кривой, занимает, даже без компьютера, считанные минуты. Так что из окончательных теорем компьютерный эксперимент можно было бы и выбросить. Но найти эти замечательные многочлены без компьютера никак не удавалось, так что вклад этого компьютерного эксперимента в трудное решение описываемой задачи оказался решающим”([30], с. 10).
“Я сделал в этом направлении только первые шаги, но при привлечении надлежащей компьютерной техники можно быстро продвинуться вперед в этих эмпирических исследованиях.” ([30], с. 102)
“Вычисления для s = 97 и 199 – компьютерные, их провел по моей просьбе А.Годер.” ([30], с. 104)
К сожалению, неверная информация об Арнольде иногда встречается даже в воспоминаниях его учеников. Например, в замечательной статье С.К.Ландо [5] сказано следующее:
“Сам Владимир Игоревич не слишком высоко ставил свое участие в решении 13-й проблемы Гильберта и развитии КАМ-теории. Он полагал, что основные продвижения в проблеме Гильберта о представлении функции в виде композиции функций от меньшего числа переменных и в теории КАМ получены его учителем А.Н.Колмогоровым, а его собственный вклад состоит лишь в уточнении и подробной записи результатов Колмогорова”.
В действительности Арнольд никоим образом не “полагал, что основные продвижения в проблеме Гильберта о представлении функции в виде композиции функций от меньшего числа переменных и в теории КАМ получены его учителем А.Н.Колмогоровым, а его собственный вклад состоит лишь в уточнении и подробной записи результатов Колмогорова”, просто потому, что это объективно совершенно не так. Вклад В.И. можно назвать продолжением и далеким развитием результатов Колмогорова, но никак не “уточнением”. На с. XLIII сборника [18] приведены составленные самим Арнольдом списки его основных результатов, относящихся к теории КАМ (этот список процитирован выше в пункте 2) и к 13-й проблеме Гильберта. В воспоминаниях [19] в том же сборнике В.И. непосредственно рассказывает о своем вкладе в теорию суперпозиций функций (13-я проблема Гильберта) и в теорию КАМ. Я ограничусь двумя цитатами, относящимися к теории КАМ.
“После этого я обратился к собственному вырождению. Сначала, в качестве модельной задачи, я рассмотрел случай негамильтоновой системы, в которой отношение частот пропорционально параметру возмущения (ДАН, 1961, 138, № 1, 13–15). Этот случай уже не укладывается в стандартные рамки теории возмущений и метода Колмогорова, так как решение не разлагается в ряд Тейлора по параметру возмущения.” ([19], с. 736)
“Главное из моих собственных достижений в теории возмущений неинтегрируемых гамильтоновых систем было опубликовано в ДАН, 1964 (156, № 1, 9–12). Эта работа описывает универсальный механизм неустойчивости гамильтоновых систем со многими степенями свободы, который позже физики назвали «диффузией Арнольда». Эта «диффузия» противоречила интуиции Колмогорова, который думал, что устойчивость может сохраняться и в многомерных системах общего положения, несмотря на то, что устойчивость в этих случаях не обеспечивается существованием инвариантных торов.” ([19], с. 740)
Как видно хотя бы из этих цитат, Арнольд вовсе не считал свое участие в развитии теории КАМ всего лишь “уточнением и подробной записью результатов Колмогорова”.
4. О веселом
В.И. было присуще тонкое чувство юмора. Его своеобразную задорную улыбку забыть невозможно.
Эта фотография, сделанная С. Третьяковой, взята из раздела
«Фотографии для официальных целей» страницы [1]
Я хотел бы в заключение поделиться с читателями пятью шутками В.И. (которые я сам слышал) – с надеждой, что они помогут ощутить неповторимое обаяние этого человека (впрочем, понимание этих шуток требует известной математической квалификации).
Докладчик на семинаре без конца повторяет слова “можем поднять” (ту или иную структуру с базы на пространство расслоения). Арнольд: “Такое впечатление, что у Вас доклад про достижения в тяжелой атлетике – можем поднять, можем поднять”.
После студенческой научной конференции присутствующие в аудитории путем тайного голосования выявляют лучшие доклады. Каждый голосующий оценивает каждый доклад определенным числом баллов. Потом дежурные подсчитывают суммарное число баллов, полученных каждым докладом. Видно, что они последовательно определяют, сколько людей выставили данному докладу максимальное число баллов, сколько – на единицу меньшее, и т.д. Арнольд (наблюдая за работой дежурных): “По Лебегу считают!”
Арнольд читает лекцию, доказательство некоторой теоремы требует длинных вычислений: “Каждый должен один раз проделать эти вычисления – но только один раз. Я их в свое время уже провел, так что теперь повторять не буду и оставляю слушателям”.
Арнольд рассказывает на семинаре о своих недавних исследованиях: “Я проделал эти вычисления три раза, и в двух случаях из трех получил один и тот же результат, который и выписал на доске. Так что в его правильности нет никаких сомнений”.
Осень 1987 года. В СССР набирает силу горбачевская перестройка. Докладчик на семинаре рисует серию картинок, изображающих перестройку некоторого геометрического объекта при изменении параметра. Арнольд: “Что-то тут не то. Почему у Вас центральный страт везде одинаковый? Перестройка всегда начинается в центре, а потом распространяется к периферии”.
Литература
1. Страница памяти В.И.Арнольда на сайте Московского центра непрерывного математического образования: http://www.mccme.ru/arnold/.
2. Мы – математики с Ленинских гор. Вып. 5: В.И.Арнольд (составитель А.Д.Белова). – М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, 2011. 352 с. (воспоминания однокурсников, друзей и учеников, а также несколько статей и интервью самого Арнольда).
3. Tribute to Vladimir Arnold (B.A.Khesin, S.L.Tabachnikov, coordinating editors) // Notices of the American Mathematical Society, 2012, Vol. 59, № 3, P. 378–399 (воспоминания учеников и коллег).
4. Memories of Vladimir Arnold (B.A.Khesin, S.L.Tabachnikov, coordinating editors) // Notices of the American Mathematical Society, 2012, Vol. 59, № 4, P. 482–502 (воспоминания учеников и коллег).
5. С. К. Ландо. Владимир Игоревич Арнольд // Математика в высшем образовании, 2012, № 10, С. 99–110; Семь искусств, 2013, № 6(43) (краткий очерк, рассказывающий о вкладе Арнольда в математику, его стиле работы и его взаимоотношениях с учениками).
6. А. Д. Белова. Великий мир Великого Арнольда (поэма) / В кн.: Алла Белова. Собрание сочинений. Том 3. Поэмы. – М., 2013, С. 173–243.
7. M. B. Sevryuk. Some recollections of Vladimir Igorevich // Notices of the American Mathematical Society, 2012, Vol. 59, № 3, P. 390–392.
8. M. B. Sevryuk. Reversible Systems. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1211. – Berlin: Springer-Verlag, 1986. v+319 p.
9. М. Б. Севрюк. Мой научный руководитель – В.И.Арнольд // Математическое просвещение (3-я серия), 1998, Вып. 2, С. 13–18.
10. V. I. Arnold, M. B. Sevryuk. Oscillations and bifurcations in reversible systems / In: Nonlinear Phenomena in Plasma Physics and Hydrodynamics (R.Z.Sagdeev, editor). – Moscow: Mir, 1986, P. 31–64.
11. В. И. Арнольд. О преподавании математики // Успехи математических наук, 1998, Том 53, Вып. 1, С. 229–234.
12. В. И. Арнольд. Математика и физика: родитель и дитя или сестры? // Успехи физических наук, 1999, Том 169, № 12, С. 1311–1323.
13. H. S. Dumas. The KAM Story: A friendly introduction to the content, history, and significance of classical Kolmogorov–Arnold–Moser theory. – Singapore: World Scientific, 2014. xv+361 p.
14. В. И. Арнольд. Математические методы классической механики. 4-е изд. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. 408 с.
15. В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт. Математические аспекты классической и небесной механики. 2-е изд. – М.: Эдиториал УРСС, 2002. 416 с.
16. Р. де ла Яве (Rafael de la Llave). Введение в КАМ-теорию. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 176 с.
17. А. Пуанкаре. Избранные труды в трех томах. Том I. Новые методы небесной механики. – М.: Наука, 1971. 772 с.
18. В. И. Арнольд. Избранное–60. – М.: ФАЗИС, 1997. XLVIII+770 с.
19. В. И. Арнольд. От суперпозиций до теории КАМ / В кн.: В. И. Арнольд. Избранное–60. – М.: ФАЗИС, 1997, С. 727–740.
20. В. И. Арнольд. От проблемы Гильберта о суперпозициях до динамических систем / В кн.: Математические события XX века. Сборник статей. – М.: ФАЗИС, 2003, С. 19–51.
21. С. Лесков. Он был Моцартом науки // Известия, 7 июня 2010, № 101, С. 11.
22. S. Zdravkovska. Conversation with Vladimir Igorevich Arnold // The Mathematical Intelligencer, 1987, Vol. 9, № 4, P. 28–32.
23. С. Л. Табачников. Интервью с В.И.Арнольдом // Квант, 1990, № 7, С. 2–7, 15.
24. M. Audin, P. Iglésias. Questions à V.I.Arnold // Gazette des Mathématiciens, 1992, № 52, P. 5–12.
25. Д. С. Шмерлинг. Считаются не только деньги (интервью с В.И.Арнольдом) // Московские новости, 16-22 октября 2001, № 42, С. 19.
26. Коллекция публицистических статей и интервью В.И.Арнольда на сайте Московского центра непрерывного математического образования: http://www.mccme.ru/edu/index.php?ikey=viarn.
27. С. Николаев. Умер математик, ненавидевший компьютеры // http://www.utro.ru/articles/2010/06/03/898581.shtml; http://www.gazeta.lv/story/14880.html.
28. В. И. Арнольд. Математическая дуэль вокруг Бурбаки // Вестник РАН, 2002, Том 72, № 3, С. 245–250.
29. В. И. Арнольд. Наука математика и искусство математиков. Лекция лауреата Государственной премии Российской Федерации 2007 года в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова. Москва, 24 июня 2008 г. – М.: Изд-во МГУ, 2008. 58 с.
30. В. И. Арнольд. Экспериментальное наблюдение математических фактов. 2-е изд. – М.: Изд-во МЦНМО, 2012. 120 с.
Напечатано в журнале «Семь искусств» #7(54)июль2014
7iskusstv.com/nomer.php?srce=54
Адрес оригинальной публикации — 7iskusstv.com/2014/Nomer7/Sevrjuk1.php
