Каждое новое открытие, сделанное из чистого любопытства, давало впоследствии людям неисчислимые блага в виде новых механизмов,материалов, устройств и технологий. Нередко такие открытияказались людям ненужной тратой денег и сил, чудачеством и более ничем.
Марк Зальцберг, профессор Хьюстонского университета, шт. Техас, США
Упаковки шаров – какие ассоциации у вас, дорогой читатель, возникают? У меня сразу возникает прилавок на рынке, на котором громоздятся пирамиды яблок, помидоров и других шарообразных продуктов, для красоты и аппетитности они все подобраны по размеру и аккуратно выстроены.
Когда ваш покорный слуга учился в нефтяном институте, мы изучали разные упаковки шаров, так как они позволяли представить структуру тех пород, в которых могла находиться нефть. И, конечно, уделяли внимание правильным упаковкам. Что такое правильный? Когда мы говорим «правильный треугольник», то как-то все понимают, что у этого треугольника все стороны одинаковые. Так и правильная упаковка шаров – значит такая, когда все шары одинакового размера и одинаково расположены по отношению друг к другу. Конечно, может быть ситуация с шарами одинакового размера, когда они расположены «случайно» друг к другу (в жизни это бывает чаще всего), но это неправильная упаковка. Правильная упаковка – это модель, образец для подражания (какие бы ещё слова сказать?). И для правильной упаковки мы всегда можем указать число контактов данного шара с окружающими, так называемое координационное число. Для пирамид, которые мы видим на базаре, можно сказать, что каждый шар окружён 12 шарами. Координационное число равно 12. Есть такая правильная упаковка, даже две её разновидности (она называется гексагональной). А когда число шаров 11 или 10 – могут ли быть такие правильные упаковки? Нет. Упаковки такие могут быть, но они – неправильные. А какая же следующая правильная? С координационным числом 6. Представьте себе куб, в вершинах которого шары, каждый шар контактирует с шестью окружающими шарами. Такая правильная упаковка называется кубической.
А может ли быть правильная упаковка с меньшим координационным числом? Может, с координационным числом 4. И она очень часто, даже очень, очень часто встречается в природе. В молекулярной структуре веществ. Вот алмаз – его атомы расположены именно в такой упаковке. Кристаллическая решётка углерода в алмазе или кремния в силикатах или структуры разных минералов – в них очень часто используется упаковка шаров с координационным числом 4 (рис. 1).
Кристаллографы в начале XX века заинтересовались этой упаковкой. А за ними и математики – Давид Гильберт и Стефан Кон-Фоссен описали её в своей книге «Наглядная геометрия» (немецкое издание вышло в 1932 г, русский перевод – в 1936 г.). Эти авторы назвали её тетраэдрической, т. к. шары образуют тетраэдр (правильную треугольную пирамиду – один шар в центре, а четыре – в вершинах пирамиды). Но как-то так получилось, что после первого внимания никому больше эта упаковка оказалась не нужна: Мартин Гарднер отмечал в 1983 г, что после Гильберта и Кон-Фоссена не появилось работ, связанных с этой упаковкой. Добавлю, что не изучали её ни в средней школе, ни в высшей. Но она привлекла внимание автора.
Первый вопрос, возникающий в подобных случаях – а кому это может быть нужно, если до сих пор никому не потребовалось? Но ведь, логически рассуждая, если до сегодня не потребовалось, это не значит, что не потребуется и завтра. А что мы знаем об этой упаковке? Почти ничего. Ну, пористость её (долю пространства, не занятого самими шарами) вычислили Гильберт и Кон-Фоссен, она оказался равной ~0.660. И практически на этом всё? Как выглядит эта упаковка, какие гидравлические сопротивления она может представить? На всё это не было ответа. И первое, с чего начал автор – это попытаться представить, как выглядит эта упаковка в объёме, превышающем единичную ячейку. В наше компьютерное время самое лёгкое, что можно сделать – это изобразить желаемое на экране с помощью компьютера. Вместе с Л. Балуашвили мы попытались изобразить упаковку в блоке, составлявшем по две единичных ячейки по высоте, длине и ширине. И получили результат, который огорошил нас.
Оказалось, что вид этой упаковки зависит от того, как смотреть. Вот смотришь на блок прямо – шары заслоняют друг друга, ничего не видно. А повернули на какой-то небольшой угол – и между шарами обнаружились проходы и, если просветить блок шаров под этим направлением, то свет спокойно пройдёт насквозь, и на экране за блоком мы увидим зайчики света. И не сразу приходит в голову, как это назвать. А ведь слово такое есть – анизотропность. Значит, свойства в одних направлениях существенно отличаются от свойств в других направлениях. Это слово часто применяют к горным породам. Но чтобы кристаллическая решётка отличилась этим свойством?
Как только слово произнесено или написано, оно мгновенно порождает кучу вопросов. И первый вопрос – сколько таких направлений?
Ничего не поделаешь, надо посмотреть книгу Гильберта и Кон-Фоссена, что они сказали по этому поводу. Книгу написал Гильберт, а чертежи-иллюстрации к ней – Кон-Фоссен и, надо сказать, прекрасные чертежи, выполненные в центральной перспективе (так видит глаз и фотокамера и так понятнее).
На рис. 2 показана система точек, соединяющих центры шаров в правильной тетраэдрической упаковке. Центры соседних шаров соединены прямыми линиями.
Мы видим, что направлений, соединяющих центры шаров упаковки всего четыре. А если теперь вернёмся к рис. 1, то увидим, что эти четыре направления параллельны четырём диагоналям куба единичной ячейки этой упаковки.
Взгляните теперь на другой чертёж Кон-Фоссена, показывающий эту же тетраэдрическую упаковку (Рис. 3).
Мы видим, что точечная структура центров шаров упаковки образует шестигранные призмы, которые идут перпендикулярно чертежу. Именно проявление этих призм в виде сквозных проходов мы с Л. Балуашвили увидели, рассматривая компьютерную модель упаковки шаров. На рис. 3 видно, что плоскость, перпендикулярная направлению протяжённости шестигранных призм, определяется вертикальным направлением отрезков, соединяющих центры шаров, и одним из трёх оставшихся невертикальных направлений этих отрезков.
И мы получаем ответ на вопрос, появившийся выше. Поскольку направления отрезков, соединяющих центры шаров упаковки, соответствуют диагоналям куба единичной ячейки, и число плоскостей, включающих по две диагонали куба, равно шести (число перестановок из 4 по 2), то количество направлений с просветами через всю упаковку тоже должно быть равно шести. Это направления, соединяющие центры противоположных рёбер элементарной ячейки. Т. е. когда мы смотрим на упаковку в направлении одной из координатных осей куба элементарной ячейки, то шары повсюду заслоняют друг друга. Но стоит повернуть блок упаковки относительно вертикальной оси на угол 45°, и мы попадаем на просвечиваемое направление. Доворот на следующие 45º и мы снова на направлении, где все шары заслоняют друг друга.
Таким образом, мы видим, что анизотропия рассматриваемой упаковки шаров имеет шесть направлений максимальной просвечиваемости и три направления минимальной просвечиваемости (это направления координатных осей элементарной ячейки). Иными словами, если измерить гидравлические сопротивления упаковки, то в направлениях максимальной просвечиваемости получим одни значения, а в направлениях минимальной просвечиваемости гидравлические сопротивления будут намного больше. И никто до сих пор эти измерения не сделал и не пытался сделать. Кто первый сделает, тот будет Первым.
Итак, мы видим, что оказался почти не изученным один из видов правильной упаковки шаров, а именно тетраэдрическая упаковка. А ведь эта упаковка как модель может быть использована и при изучении процессов в кипящем слое (например, при крекинге нефти), при изучении поведения зыбучих песков. А изучение акустических свойств может дать свои новые результаты. Можно назвать и совершенно отдалённые области человеческой практики, где эти новые знания потребуются, например, архитектуру. Все помнят дома-книжки на Новоарбатском проспекте в Москве. Такие дома при шквальных ветрах создают большие нагрузки на фундамент. А если построить дома по схеме правильной тетраэдрической упаковки шаров, то такие дома окажутся хорошо продуваемыми во многих направлениях, и это может создать определенный экономический и иной эффект.
Напечатано: в журнале "Семь искусств" № 5(74) май 2016
Адрес оригинальной публикации: http://7iskusstv.com/2016/Nomer5/Cajger1.php
