1. Общие сведения
Пуассон определил понятия случайной величины и функции распределения. Он получил интересные результаты в области предельных теорем и ввёл в теорию вероятностей закон больших чисел (ЗБЧ), доказав его для случая испытаний Пуассона. Много внимания Пуассон уделил изучению судебной статистики и систематически определял значимость статистических данных. Он подчёркивал различие между субъективной и объективной вероятностями; первые применяются и сейчас в качестве экспертных оценок. Основное сочинение Пуассона — это его руководство (1837а).
Араго (доклад 1850 г., опубл. 1854) обсуждал работу Пуассона в различных областях знания, включая важные исследования о Солнечной системе. Они должны были быть основаны на применении статистических данных (чего Араго не упомянул), но мы эту тему не затрагивали. Мы пользуемся результатами нашей предыдущей статьи (1978) и совместной работы Гнеденко и Шейнин (1978).
2. Статистика
2.1. Области и принципы приложения в XVIII — XIX веках
Статистический метод обычно считается равнозначным прикладной статистике, но иногда понимается лишь как приложение статистики к естествознанию; его отдельными ветвями являются, например, медицинская и звёздная статистика. Судебная статистика оказывается скорее принадлежащей к общей статистике, т. е. к статистике, изучающей общество.
Пуассон оставил несколько высказываний (иногда в соавторстве) о статистике и о необходимости её существенной связи с теорией вероятностей. К примеру, Кетле (1869, т. 1, с. 103) засвидетельствовал, что он
иногда с суровой и мало успокаивающей насмешкой упоминал в своих письмах статистиков, которые склонны заменять истинные принципы науки своими измышлениями.
Более определёнными были иные его утверждения (частично в соавторстве). Так, Libri Carrucci и др. (1834, с. 535):
Наиболее тонкие проблемы социальной арифметики могут быть разрешены лишь при помощи теории вероятностей.
Термин социальная арифметика, возможно введенный Пуассоном, означал статистику населения, медицинскую и страховую статистику.
Через год Double и др. (1835, с. 174) заявили, что статистика является приложением исчисления вероятностей к бесконечным [?] массам (с. 174). Это высказывание, видимо, было одним из первых, соединявших статистику с большим объёмом данных.
Поскольку Пуассон неизменно требовал проверять значимость эмпирических расхождений между результатами различных серий наблюдений, его можно считать крёстным отцом Континентального направления статистики (Лексис, затем Борткевич, Чупров, Марков, Больман), которое изучало население и социальную статистику. Его подход, впрочем, не был достаточно широк (§ 2.6).
Программа Пуассона (1837b) по теории вероятностей и социальной арифметике для факультета наук Политехнической школы уделяла серьёзное внимание статистике населения, медицинской статистике и статистике финансовых учреждений. Вот выписка из неё:
Таблицы населения и смертности. Средняя продолжительность жизни в различных странах. Распределение населения по возрасту и полу. Влияние оспы, её вариоляции и оспопрививания на население и на среднюю продолжительность жизни. […]
Прибыли и расходы учреждений, которые зависят от вероятностей событий. Пожизненные ренты, тонтины, сберегательные кассы, страхование, ежегодные ренты, амортизационные фонды, займы.
Вариоляцией называлась не вполне безопасная прививка лёгкой формы оспы здоровому человеку. Она практиковалась до внедрения оспопрививания в начале ХIX в. и была весьма полезна, особенно для государства в целом. Даниил Бернулли был первым, кто опубликовал (в 1766 г.) важное статистическое исследование вариоляции.
Ренты вполне можно считать одной из форм страхования жизни, тонтинами же назывались группы застрахованных примерно одного и того же возраста, которые учредители (обычно государство или город) рассматривали как единое целое. Тонтины распределяли ежегодные выплаты (проценты на уплаченные её членами взносы) только между своими остающимися в живых членами, так что долгожители получали изрядные суммы. Своё название они получили от имени итальянского банкира Лоренцо Тонти (1630–1695).
Многие учёные изучали страхование жизни, достаточно назвать Муавра, Эйлера, Буняковского, Остроградского и Маркова (Шейнин 1997). Эйлер (1776) предложил новую, гибкую форму тонтины, участники которой могли бы уплачивать различные взносы (и получать различные выплаты), их возраст не имел особого значения, и вступать в тонтину они могли бы в любое время, см. Шейнин (2007, § 5.6). Его предложение не было принято, возможно потому, что общественное мнение отрицательно относилось к тонтинам. Пуассон лишь участвовал в отклонении проекта тонтины (Fourier 1826).
Пуассон (1830) опубликовал мемуар о соотношении мужских (m) и женских (f) рождений. Он заметил, что это соотношение примерно постоянно для всей Франции и указал что отношение m:f меньше в случае рождений вне брака. Соответствующие современные данные нам неизвестны.
2.1. Теория вероятностей в приложении к статистике
Можно полагать, что исследования Пуассона в теории вероятностей были частично вызваны запросами статистики. Важна была его формула
вероятности события произойти не более n раз в большом числе μ испытаний, если вероятность его успеха в каждом испытании равнялась q = 1 — p ≈ 0.
Эта формула оставалась почти без употребления пока Борткевич (1898) не предложил свой закон малых чисел. Несколько десятилетий этот закон считался основополагающим для статистики, но Колмогоров (1954) заметил, что он просто совпадает с формулой Пуассона, и мы (2008) доказали это.
Более всего известен закон больших чисел Пуассона. Его первым вариантом можно считать закон, открытый Якобом Бернулли и посмертно опубликованный в 1713 г. Муавр в 1733 г. усовершенствовал открытие Бернулли, доказав первый вариант центральной предельной теоремы (ЦПТ), как Полиа назвал её в 1920 г. Пуассон обобщил закон Бернулли на случай переменных вероятностей успеха в серии испытаний. Многие авторы справедливо критиковали вывод ЗБЧ, мы же лишь коснёмся нескольких обстоятельств.
Во-первых, подобные серии испытаний рассматривал уже Лаплас (1812, глава 9). Во-вторых, сам Пуассон вовсе не ограничивал свой закон случаем этих заранее известных переменных вероятностей, что доказывается приведенными им примерами. Первым, не позднее 1897 г., это заметил Борткевич в своих переговорах с Марковым (Шейнин 1990/2010, с. 61).
Наконец, и Якоб Бернулли, и Муавр, и Пуассон считали, что неизвестная вероятность успеха может быть равным образом установлена опытным путём, а примеры, приведенные Бернулли и Пуассоном, указывали, что они допускали и невозможность существования этой вероятности. Только Бейес (до Пуассона) понял, что соответствующий обратный ЗБЧ может применяться и в упомянутом особом случае, но что он менее точен, чем прямой (Шейнин 2011).
Многие авторы утверждали, что статистики начали обосновывать свои исследования законом больших чисел Пуассона, фактически же они признавали только закон Бернулли. Если же теоретическая вероятность успеха не была известна (тем более, не существовала), они вообще отказывались обращаться к теории вероятностей. Хуже того, ЗБЧ они понимали лишь в крайне упрощенном смысле. Так, Maciejwski (1911, с. 96) ввёл закон больших чисел статистиков, который лишь утверждал, что колебания статистических чисел убывают с возрастанием числа испытаний.
2.3. Теория ошибок
Стохастическая теория ошибок является приложением статистического метода к обработке наблюдений. С середины XVIII в. до примерно 1930 г. она оставалась основной ветвью теории вероятностей, тогда как математическая статистика переняла её принципы наибольшего правдоподобия и наименьшей дисперсии.
В 1805 г. Лежандр ввёл без количественного обоснования принцип наименьших квадратов (который был известен Гауссу с 1795 г.). В 1809 и 1823 гг. Гаусс обосновал его двумя различными способами, второй раз по принципу наименьшей дисперсии. В обоих случаях он имел в виду уравнивание конечного и даже небольшого числа наблюдений, но так и не признал публично приоритета Лежандра.
Лаплас предложил свой вариант обоснования, который требовал большого числа наблюдений и наименьшего значения абсолютного ожидания погрешности. Второе условие ограничивало возможность вычислений нормальным распределением ошибок наблюдений, а оба они вместе привели к практической бесполезности его варианта.
Пуассон следовал за Лапласом и о вариантах Гаусса не упоминал, тем более, что французские математики (но не сам Лаплас) были справедливо возмущены отношением Гаусса к Лежандру. Вот что он (1833, с. 361) заявил на похоронах Лежандра:
Наш собрат — автор одного из методов вычисления орбит планет. […] Именно ему наука о наблюдениях обязана правилом вычисления, которое называется методом наименьших квадратов и которому Лаплас придал все возможные преимущества в точности результатов […].
Ошибочное и вредное отношение! Но интересна одна подробность. Обсуждая точность стрельбы в цель, Пуассон (1837с, с. 73) заявил, что чем меньше разброс точек попадания (т. е. соответствующая дисперсия), тем лучше оружие. Он таким образом сделал шаг к признанию гауссова выбора критерия обработки наблюдений.
Мы не рассматриваем детерминированной теории ошибок, которую теперь следовало бы включить в планирование эксперимента и которой Пуассон не занимался.
2.4. Юриспруденция
Лаплас и Пуассон (а до них — Кондорсе, но вряд ли удачно) исследовали судопроизводство в идеальном случае независимых суждений присяжных заседателей. Лаплас (1812/1886, с. 523) мимоходом отметил это ограничение, Пуассон же умолчал о нём. Также в отличие от Лапласа Пуассон (1837, с. 4) ввёл априорную вероятность вины подсудимого, которую никак нельзя было приписывать отдельным лицам. Оба учёных стремились исследовать долю осуждений обвиняемых и соответственно сравнить различные способы судопроизводства, имея в виду также уменьшить число возможных неверных вердиктов.
Одно из утверждений Пуассона (1837а, с. 375 — 376) спорно. Он полагал, что доля осуждений должна возрастать с преступностью, но (с. 21) признавал, что преступность указывает моральное состояние нашего государства. По поводу неверных осуждений Пуассон, видимо, следовал за Лапласом, который считал, что осуждение невинного должно считаться более вредным, чем оправдание виновного. Здесь, видимо, следовало бы всё-таки иметь в виду тяжесть преступления.
По мнению Гаусса (фактически, также и Лапласа и Пуассона) результаты исследования судебной статистики могут служить путеводной нитью для установления надлежащего числа свидетелей и присяжных. Это сообщил W. E. Weber в письме 1841 г., опубликованном в Трудах Гаусса (1829, с. 201 — 204).
Той же темой много занимался Кетле. Его первые соответствующие сочинения появились ещё до Пуассона, но в конце концов он несомненно извлёк выгоду из самого факта занятия той же темой столь прославленного геометра. Математический уровень работ Кетле не был высоким, но он всё же смог внести здесь свой вклад.
Приложение теории вероятностей к юриспруденции неоднократно критиковалось. Пуансо, который участвовал в дискуссии по докладу Пуассона (1836), назвал применение исчисления вероятностей к моральным вещам опасной иллюзией и ложным приложением математических наук (с. 380) и напрасно сослался на Лапласа: ввиду деликатных соображений, не удивительно, если два лица, имея одни и те же данные, приходят [в теории вероятностей] к разным результатам (1814/1999, с. 836, левый столбец).
Напрасно, потому что там же (с. 848, левый столбец) Лаплас призвал
Приложить к политическим и нравственным наукам метод, основанный на наблюдении и исчислении, который служил нам так хорошо в науках естественных. Не будем противополагать бесполезного и часто опасного сопротивления неизбежным следствиям прогресса просвещения […].
Под нравственной (моральной) статистикой со времён Кетле понималось изучение явлений, зависящих от воли человека (преступления, самоубийства, женитьбы и разводы). С тех пор её область значительно расширилась и включает, например, благотворительность и профессиональную и географическую подвижность населения.
Тот же Опыт философии содержал три главы, посвященные подобным приложениям, и не забудем, что сам Лаплас ими занимался.
Но продолжим. Милль (1843/1914, с. 490) заявил, что
Неудачные приложения исчисления вероятностей […] сделали [его] настоящим позором математики. Достаточно упомянуть о его приложении к установлению достоверности свидетелей и правильности приговоров, выносимых присяжными.
В 1899 г., в связи с пресловутым делом Дрейфуса, Пуанкаре (Шейнин 1991, с. 167) положительно отозвался об этом утверждении, а позднее (1896/1999, с. 22) заявил, что наши привычки панургова стада [баранов] противодействуют независимости суждений.
Забыв, правда, о Кетле (и Курно), Heyde & Seneta (1977, с. 28–34) заметили, что в XIX в. в интересующей нас области произошёл всплеск деятельности, стимулированный Пуассоном (с. 31) и, в частности, описали работы Бьенеме. Кроме того, они исследовали, хоть и недостаточно, работы Буняковского, Остроградского и Маркова (Шейнин 1997) и отметили возросшее ныне понимание важности общих данных о преступлении (например, о круге возможных преступников). Впрочем, многие учёные, включая Милля и даже Лейбница (в письмах Якобу Бернулли в самом начале XVIII в.), издавна придерживались того же мнения. Авторы указали, что в 1970-е годы вновь появились сочинения на указанные применения статистики (добавим: и позже), и в том числе статьи, изучающие исследования Пуассона.
2.5. Статистическая физика
Пуассон качественно связал свой ЗБЧ с существованием устойчивого среднего расстояния между молекулами тела, см. Gillispie (1963, с. 438) и Шейнин (1978, с. 271). Клаузиус, Максвелл и Больцман упустили и это, и интересные сопутствующие соображения Пуассона.
2.6. Медицинская статистика
Возможно ли сочетать индивидуальный подход к данному пациенту со статистической точкой зрения? Аналогичная проблема существовала в приложениях к юриспруденции, и ответы в обоих случаях были аналогичными. Double и др. (1835, с. 173 и 176), на которых мы уже ссылались в § 2.1, заявили:
В вопросах статистики, т.е. в разнообразных попытках количественной оценки фактов, самой первой заботой является забвение человека самого по себе и его рассмотрение только как частички целого. В прикладной медицине задача всегда индивидуальна. […] По своему состоянию медицинские науки в этом [возможность математизации] отношении не хуже и не отличаются ни от каких других физических и естественных наук, юриспруденции, моральных и политических наук и т. д.
Сейчас непонятно почему физические науки отделены от естественных.
Так или иначе, статистический метод смог вторгнуться в медицину. Во-первых, статистика населения тесно связана с медицинскими проблемами, что усматривается уже у Граунта. Eй занимался Лейбниц (Шейнин 1977, с. 225). Он рекомендовал практикующим врачам записывать свои наблюдения, предложил составить медицинскую энциклопедию и учредить Санитарную коллегию, возложив на неё, в частности, обязанность собирать статистические данные.
Галлей составил первую (после ненадёжной таблицы Граунта) таблицу смертности для закрытого населения и оценил население по данным о рождаемости и смертности. Даниил Бернулли, Ламберт и Эйлер изучали смертность, рождаемость и подверженность заболеваниям, и их результаты принадлежат истории и теории вероятностей, и медицины.
Во-вторых, в середине XIX в. область применения статистического метода в медицине чрезвычайно расширилась с появлением общественной гигиены (в основном предшественницы экологии) и эпидемиологии. В третьих, примерно тогда же хирургия и акушерство, отрасли собственно медицины, подчинились статистическому методу. Наконец, в 1825 г. французский врач Луи ввёл так называемый количественный метод (фактически применявшийся задолго до того в различных отраслях естествознания) для изучения симптомов болезней.
Этот метод был статистическим, но почти не применял стохастических соображений. Дискуссии о нём продолжались не менее нескольких десятилетий. Так, d’Amador (1837) ошибочно обвинил Луи в рекомендации невозможного по его мнению приложения теории вероятностей.
Gavarret (1840) чётко указал на недостаточность количественного метода, ввёл в медицинскую науку две формулы, способствующие приложению теории вероятностей, — формулу нормального приближения биномиального распределения и оценки значимости расхождения между частостями успеха в двух сериях пуассоновых испытаний. Он привёл примеры применения второй формулы и в частности обсудил сравнение различных методов лечения и проверку начальной гипотезы (как она теперь называется). К примеру, на с. 194 он указал:
Первая задача наблюдателя, который установил различие между результатами двух длинных рядов наблюдений, состоит в проверке, не является ли неправильность просто кажущейся, или же она реальна и указывает на вмешательство возмущающей причины; и далее он должен […] попытаться определить эту причину.
До изучения медицины Гаварре закончил Политехническую школу, в которой был студентом Пуассона. Он (1840, с. xiii) тепло отозвался о своём учителе:
Лишь после длительных раздумий над лекциями и сочинениями великого геометра мы смогли познать […] всю обширность систематического применения экспериментального метода в искусстве врачевания.
Итак, Гаварре популяризовал теорию вероятностей и ввёл принцип проверки начальной гипотезы, притом фактически в естествознании в целом. Этот принцип допустимо считать логическим завершением мысли Пуассона о значимости эмпирических расхождений. Книга Гаварре стала общеизвестной, и многие авторы повторили его рекомендации, но время для медицинской статистики ещё не подошло, и при бурных успехах хирургии в середине XIX в.(внедрение анестезии и антисептики) о нём не вспомнили. И неудивительно! Гаварре, как и Пуассон, основывался на существовании большого числа наблюдений, см. также ниже. Пуассон (1937, с. VI), правда, лишь в подстрочном примечании к Содержанию этой книги, заявил, что медицина не будет ни искусством, ни наукой, пока не станет основываться на многочисленных наблюдениях. По смыслу всего дальнейшего, он имел в виду не клинические, а численные наблюдения.
Большое число наблюдений! Однако, по крайней мере с середины XVIII в. (Bull 1959, с. 227) ценные выводы были получены в медицине и без того. Но только Liebermeister (прим. 1877, с. 935 — 940) решительно возразил Гаварре и Пуассону. Он заявил:
Нам, практическим врачам, теоретики частенько указывают в категорической форме, что все наши выводы о преимуществе или недостатках тех или иных методов лечения, поскольку они основаны на статистике действительно имевших место результатов, просто висят в воздухе, коль скоро мы не применяем строгих правил теории вероятностей. […] Если врачи до сих пор так редко применяли теорию вероятностей, то причину этого следует искать не столько в том, что они иногда не придавали должного значения этой дисциплине, а главным образом в том, что ее аналитический аппарат был слишком несовершенен и неудобен. […] И вот математики говорят: Вы, врачи, если хотите получить надежные выводы, работайте всегда с большими числами; вы обязаны собирать тысячи или сотни тысяч наблюдений. […] [Это невозможно.] Но если же это условие выполнено, то часто окажется спорным, будет ли столь настоятельно необходима теория вероятностей. …
Сотни тысяч Либермейстер упомянул напрасно, зато не указал, что наблюдения должны были быть ещё как-то разбиты на группы в соответствии со многими характеристиками пациентов. И всё-таки заметим, что многочисленные наблюдения нужны в эпидемиологии.
Гаварре принял, как и Пуассон в отдельных задачах, до некоторой степени произвольно в качестве достаточной вероятности 0.9953 или 212:213.
…Если шансы успешности двух методов лечения относятся всего лишь как 10:1, разве этого недостаточно,
добавил Либермейстер. Современная статистика действительно никак не может ограничиваться случаем большого числа наблюдений. Статистики лишь недавно обнаружили его сочинение, написанное как бы специалистом по математической статистике, и его можно считать пионером медицинской статистики. Freudenthal & Steiner (1966, с. 181–182) бездоказательно и ошибочно приписали Гаварре, а не Либермейстеру переход от безусловной уверенности к разумной степени вероятности.
Литература
Гнеденко Б.В., Шейнин О.Б. (1978), Теория вероятностей. Глава в книге Математика XIX века. Ред. А. Н. Колмогоров, А. П. Юшкевич. М., с. 184–240.
Колмогоров А.Н. (1954), Малых чисел закон. БСЭ, 2-е изд., т. 26, с. 169.
Шейнин О.Б., Sheynin O. (1977), Early history of the theory of probability. Arch. Hist. Ex. Sci., vol. 17, pp. 201–259.
— (1978), Poisson’s work in probability. Ibidem, vol. 18, pp. 245–300.
— (1982), On the history of medical statistics. Ibidem, vol. 26, pp. 241–286.
— (1990), А. А. Чупров. Жизнь, творчество, переписка. М., 2010.
— (1991), Poincaré’s work in probability. Ibidem, vol. 42, pp. 137–172.
— (1997), А. А. Марков и страхование жизни. Историко-математич. исследования, вып. 2 (37), с. 22–33.
— (2007), Euler’s work in probability and statistics. In Euler Reconsidered. Tercentenary Essays. Heber City, Uta, pp. 281–316.
— (2008), Bortkiewicz’ alleged discovery: the law of small numbers. Hist. Scientiarum, vol. 18, pp. 36–48.
— (2011), Обратный закон больших чисел. Историко-математич. исследования, вып. 14 (49), с. 212–219.
d’Amador R. (1837), Mémoire sur le calcul des probabilités appliqué à la médecine. Paris.
Arago F., Араго Ф. (1854, доклад 1850г., франц.), Пуассон. Биографии знаменитых астрономов, физиков и геометров, т. 3. СПБ, 1861, с. 1–56.
von Bortkiewicz L. (1898), Das Gesetz der kleinen Zahlen. Leipzig.
Bull J.P. (1959), The historical development of clinical therapeutic trials. J. Chronic Diseases, vol. 10, pp. 218 — 248.
Double F.J, rapporteur, Dulong P.L., Larrey F.H., Poisson S.D. (1835), Review of Civiale, Recherches de statistique sur l’affection calculeuse. C. r. Acad. Sci. Paris, t. 1, pp. 167–177.
Euler L. (1776), Eclaircissements sur les établissements publics en faveur tant des veuves que des morts etc. Opera Omnia, ser. 1, t. 7. Leipzig — Berlin, 1923, pp. 181–245.
Fourier J.B.J., rapporteur, Poisson S.D., Lacroix S.-F. (1821, publ. 1826), Rapport sur les tontines. In Fourier (1890), Oeuvres, t. 2. Paris, pp. 617–633.
Freudenthal H., Steiner H.-G. (1966), Die Anfänge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. In Grundzüge der Mathematik, Bd. 4, Göttingen, pp. 149–195.
Gauss C.F. (1929), Werke, Bd. 12. Göttingen. All 12 volumes of the Werke reprinted: Hildesheim, 1973–1981.
Gavarret J. (1840), Principes généraux de statistique médicale. Paris.
Gillispie C. (1963), Intellectual factors in the background of analysis by probabilities. In: Scientific Change. Ed., A.C. Crombie. New York, 1963, pp. 431–453.
Heyde C.C., Seneta E. (1977), I. J. Bienaymé. New York.
Laplace P.S., Лаплас П.С. (1812), Théorie analytique des probabilités. Oeuvr. Compl., t. 7. Paris, 1886.
— (1814, франц.), Опыт философии теории вероятностей. В книге Прохоров Ю.В., ред. (1999), Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. М., с. 834–863.
Libri-Carrucсi G.B.I.T., rapporteur, Lacroix S.F., Poisson S.D. (1834), Report on Bienaymé’s manuscript. Procès verbaux des séances Acad. Sci. Paris, t. 10, pp. 533–535.
Liebermeister C. (ca. 1877), Über Wahrscheinlichkeitsrechnung in Anwendung auf therapeutische Statistik. In Sammlung klinischer Vorträge. Innere Medizin, NNo. 31 — 61. Leipzig, n. d., No. 39 (No. 110 of the whole series), pp. 935–962.
Maciejewski C. (1911), Nouvaux fondements de la théorie de la statistique. Paris.
Mill J.S., Милль Дж. С. (1843, англ.), Система логики. СПБ, 1914.
Poincaré H., Пуанкаре А. (1896, франц.), Теория вероятностей. Ижевск, 1999.
Poisson S.-D. (1824), Observations relatives au nombre de naissances des deux sexes. Annuaire de Bureau des longitudes pour 1825, pp. 98–99.
— (1830), Sur la proportion des naissances des filles et des garcons. Mém. Acad. Sci. Paris, t. 9, pp. 239–308. Preceded by а note of 1824.
— (1833), Discours prononcé aux funéralles de M. Legendre. J. für d. reine u. angew. Math., Bd. 10, pp. 360–363.
— (1836, April 11 and 18), Note sur la loi des grandes nombres. C. r. Acad. Sci. Paris, t. 2, pp. 377–382, 395–400.
— (1837a), Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile. Paris. Also Paris, 2003.
— (1837b), Elements du calcul des probabilités et arithmétique sociale, this being a part of the Programmes de l’enseignement de l’Ecole Polytechnique […] pour l’année scholaire 1836–1837. Paris.
— (1837c), Sur la probabilité du tir a la cible. Mémorial d’artillerie, No. 4, pp. 59–94.
Quetelet A. (1846), Lettres sur la théorie des probabilités. Bruxelles.
— (1869), Physiqe sociale, tt. 1–2. Bruxelles.
Sheynin O.B. Poisson and statistics.
Poisson introduced the concepts of random variable and distribution function. He contributed to limit theorems and brought into use the law of large numbers. He devoted much attention to the study of criminal statistics and systematically determined the significance of empirical discrepancies which proved essential for the development of statistics. His student Gavarret advocated checks of those discrepancies in medicine and introduced the notion of the null hypothesis. Liebermeister noted the impossibility of collecting numerous observations, as demanded by Poisson and Gavarret, in therapeutics, but they are needed in epidemiology.
Араго Ф. (Arago F.)
Бейес Т. (Bayes T.)
Бернулли Д. (Bernoulli D.)
Больман Г. (Bohlmann G.)
Больцман Л. (Boltzmann L.)
Борткевич В. И. (Bortkiewicz L. von)
Бул Дж. П. (Bull J. P.)
Буняковский В. Я.
Бьенеме И. Ж. (Bienaymé I. J.)
Вебер В. Е . (Weber W. E.)
Гаварре Ж. (Gavarret J.)
Галлей Э. (Halley E.)
Гаусс К. Ф. (Gauss C. F.)
Гиллиспи Ч. (Gillispie C.)
Граунт Дж. (Graunt J.)
Дамадор Р. (D’Amador R.)
Дрейфус А. (Dreyfus A.)
Дубль Ф. Ж. (Double F. J.)
Кетле А. (Quetelet A.)
Клаузиус Р. Ю. (Clausius R.)
Колмогоров А. Н.
Курно O. (Cournot A. A.)
Лаплас П. С. (Laplace P. S.)
Лежандр А. М. (Legendre A. M.)
Лексис В. (Lexis W.)
Либермейстер К. (Liebermeister C.)
Либри-Каруччи Г. Б. И. Т. (Libri-Carrucci G. B. I. T.)
Луи П. Ш. А. (Louis P. Ch. A.)
Маквелл Дж. К. (Maxwell J. C.)
Марков А. А.
Мациевский (Maciejwski C.)
Милль Дж. С. (Mill J. S.)
Муавр А. (De Moivre A.)
Остроградский М. В.
Пуанкаре А. (Poincaré H.)
Пуансо Л. (Poinsot L.)
Пуассон С. Д. (Poisson S. D.)
Сенета Ю. (Seneta E.)
Тонти Л. (Tonti L.)
Фрейденталь Г. (Freudenthal H.)
Фурье Ж. Б. Ж. (Fourier J. B. J.)
Хейде Х. Ч. (Heyde C. C.)
Чупров А. А.
Штейнер Г. Г. (Steiner H. G.)
Эйлер Л. (Euler L.)
Оригинал: https://7i.7iskusstv.com/y2021/nomer5/oshejnin/
